Материал для подготовки с заданию С1 ЕГЭ (задания для разбора + раздаточный материал)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Задание

Комментарии

Ответ

                                                 Блок 1. (обязательный минимум)

• Для решения удобно применить формулу синус двойного угла, и, тем самым, заменить два первых множителя одним.
• Приравнивая первый множитель к 0, надо не забыть выбрать корни, лежащие в промежутке . Это удобно сделать как на тригонометрическом круге, так и на прямой, значительно проще, чем чисто алгебраически.
• Заметим, что в ответ учащиеся часто автоматически выносят серии решений тригонометрического уравнения (с периодом), или забывают корни .

• Как правило, при решении подобного уравнения не возникает проблем с заменой переменной в числителе, и неравенство, определяющее ОДЗ, бывает написано. Далее требуется произвести отбор корней, и тут либо корни отбрасывают целыми сериями, либо вообще забывают про ограничение.
• Удобнее всего провести отбор по рисунку на круге, НЕ решая тригонометрическое неравенство.

• Классическая задача на отбор корней простейших тригонометрических уравнений.  Проще всего выписать все ограничения, не решая, и провести отбор на круге.
• Есть опасность забыть об ограничении по области существования котангенса и выписать в ответ решения уравнения .

• В этой задаче сложно не заметить все ограничения на котангенс, вследствие которых в область допустимых значений переменной не входят все точки пересечения с осями;  в остальном она очень сходна с предыдущей.  Меняются допустимые четверти.

• Задача отличается от предыдущих необходимостью решить уравнение, возникающее из первого множителя в числителе дроби. Поможет любая из формул: либо косинус двойного угла через косинус х, либо сумма косинусов. После нужно аккуратно провести работу с кругом.
• При неверном решении основного тригонометрического уравнения баллы за задачу получить невозможно!

•  На этот раз есть две "запрещенные" точки на окружности, так что отбор корней требует четкого рисунка на тригонометрическом круге.
•   Кроме того, требуется провести отбор с ограничением по синусу, в то время как уравнение решено относительно косинуса. Нужно понимать, что в «запрещенную зону» может попасть не вся серия решений, а только ее часть.

• Задание внешне похоже на номер 6, с той разницей, что ограничений больше, неявно присутствует необходимость существования и неположительности (и неравенства 0) тангенса.

• Простейшее кубическое уравнение вынесением множителя сводится к квадратному, далее отбор корней по кругу.
• Заметим, что основная сложность задания не в решении кубического уравнения, а в соотнесении периодов уравнения из числителя и ограничения из знаменателя. То есть рассматривать решения уравнения относительно котангенса здесь придется на ПОЛНОМ круге.

• Задание аналогично предыдущему, но включает простейшее уравнение с логарифмом.

• Логарифм содержится в знаменателе дроби, а, значит, влияет на ОДЗ. Приходится записывать тригонометрическое неравенство.
• Надо заметить, что, в отличие от комбинированных НЕРАВЕНСТВ, в УРАВНЕНИИ можно не решать полностью неравенство, определяющее ОДЗ, то есть не проделывать лишнюю работу, а изобразить иллюстрацию на тригонометрическом круге, или просто подставить полученные из числителя серии корней в ограничение, и подходящие вынести в ответ.

                                           Блок 2.(желательно выполнить)

• Необходимо учитывать, что корни числителя получаются через значения котангенса, у которого период , а ограничение получается при решении квадратного уравнения относительно косинуса, период которого . Так что общий период , и решение нужно смотреть на полном круге.

• В первом уравнении легко увидеть замену переменной. Надо сказать, что замена всего корня при решении значительно выгоднее, чем замена квадратичного выражения без корня.
• Учащиеся должны либо решить уравнение, сведя к квадратному, и выбрать неотрицательный корень, либо продемонстрировать умение решать простейшие иррациональные уравнения вида  , не забывая ограничение на правую часть, после чего найденные значения  подставить во вторую строку системы, и верно решить простейшее тригонометрическое уравнение.
• Забывшие, что при написании ответа в системе уравнений нужно указывать как , так и , получат за задание неполный балл.

• Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. а остальные существуют. Необходимо записать все ограничения на ОДЗ. Далее на полученных ограниченных множествах переменные смогут принимать только конечное множество значений (чтобы выполнялись равенства нулю).
• Найденные значения переменных нужно правильно скомбинировать в пары , удовлетворяющие системе.

• Перемножив строки системы, мы получаем квадратное уравнение для переменой  .
• Надо не забыть, что   - положительная величина, так как равна степени двойки. (Тогда и правая часть второй строки тоже положительна, автоматически, так как их произведение равно 1.)
• Произведя отбор корней для промежуточной переменной, выражаем  и находим соответствующий х.

• С помощью простейшей тригонометрической формулы в первой строке получаем квадратное уравнение на .
• Далее можно, пока не вычисляя само значение , рассмотреть два случая, подставив оба значения  противоположных знаков во вторую строку. И только затем разумно довести задачу до окончательного ответа. Важно при написании ответа соблюсти соответствие значений переменных.

• "Честно" подобные уравнения не решаются. Это означает, что типового способа решения чисто алгебраическими методами дать нельзя. Придется применять функциональный подход, то есть использовать свойства функций. В данном случае необходимо изучить множество значений левой и правой частей, убедиться, что пересекаются данные множества только в одной точке 3, и указать, что исходное уравнение равносильно системе, где в каждой строке соответствующая часть уравнения приравнивается к 3.
• Учащиеся, привыкшие решать любое написанное уравнение, рискуют проделать большую лишнюю работу, так как левая часть равна 3 только при одном значении переменной, и остается всего лишь проверить, обращается ли в 3 правая часть при найденном х.

Задание

Указания

Ответ

Требуются минимальные навыки работы со степенями.

Проведя замену переменной во второй строке, нужно решить алгебраическое уравнение, после чего второе уравнение системы заменяется на линейное, и система решается стандартным образом.

Задание аналогично предыдущему с той разницей, что если в показательном уравнении отбор корней для промежуточной положительной переменной уменьшает объем необходимых работ (в случае получения неположительных корней), то в логарифмических уравнениях помимо потенцирования нужно записывать и учитывать дополнительные ограничения по ОДЗ.

• Не забудьте записать ограничения на основание логарифма! Можно его не решать до конца, а отобрать корни с помощью тригонометрического круга!

• Решив квадратное уравнение относительно синуса для числителя, не забудьте проверить ОДЗ!
• Можно не получать решения уравнения "Знаменатель равен 0",  а проверить найденные серии для каждой точки на круге по отдельности.

• Рассмотрите множества значений обеих частей уравнения, убедитесь, что в них есть только одна общая точка.
•  Проверьте, при каких значениях переменной такое значение обеих частей достигается (лучше для одной части найти, а для другой – проверить подстановкой).
• Достигаться должно одновременно
• (в одной точке х), иначе решений нет!

3

• Решая уравнение типа , не забываем  при возведении в квадрат ограничение на часть без радикала. Именно в этом и будет состоять решение задачи. Заметим, что основное уравнение, получающееся после возведения в квадрат обеих частей, является тождеством! Остается записать решение неравенства.

• Используйте прием домножения и деления на сопряженное выражение! Предварительно придется поколдовать с расположением слагаемых в обеих частях.
• Не забудьте при решении про ОДЗ! Сокращать на выражение с переменной противопоказано. Вместо этого надо перенести все в одну часть и вынести общий множитель за скобки. Рассмотрите повнимательней знак страшной скобки!

2

Блок 4. Домашнее задание.

Задание

Ответ