Тесты "КОНТРПРИМЕРЫ"
тест по алгебре (9 класс) на тему

ТЕСТ «КОНТРПРИМЕРЫ»

Хорошая математическая подготовка во многом зависит от умения строить контрпримеры, опровергающие ложные утверждения. Это непростое искусство незаменимо при решении трудных задач, когда, пробираясь к ответу, приходится постоянно выдвигать все новые предположения, большая часть которых, как правило, отвергается как раз с помощью подобных «плохих» примеров, показывающих, что то или иное уиверждение неверно.

Предлагаю к рассмотрению задачи, в каждой из которых требуется проверить данное утверждение, либо доказать, либо опровергнуть его подходящим примером.

Практически все они решаются устно, без рисунков и томительных вычислений, тем не менее, даже если ответы к некоторым задачкам покажутся вам очевидными, обязательно сверьте их с теми, что приведены в конце теста – возможно, вы обнаружите, что не учли ту или иную тонкость в определении или в условии.

1-й уровень

1. Произведение трех последовательных целых чисел делится на каждое из них. Да/Нет
2. Сумма двух расходящихся последовательностей –расходящаяся последовательность. Да/Нет
3. Сумма двух простых чисел – составное число. Да/Нет
4. Если число n не является чётным, то и число n2 не является чётным. Да/Нет
5. Если натуральное число n е делится на 3, а натуральное число m не делится на 7, то число mn не делится на 21. Да/Нет
6. Прямая, имеющая с параболой ровно одну общую точку, является касательной к ней. Да/Нет
7. Если прямые l1 и l2 скрещиваются, и прямые l2 и l3 тоже скрещиваются, то и прямые l1 и l3 скрещиваются. Да/Нет
8. Пусть l1, l2 ,l3 – некоторые прямые. Если l1 l2 , l2 l3 , то l1  и l3  параллельны. Да/Нет
9. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Да/Нет
10. Биссектриса, медиана и высота, проведенные из разных вершин произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Да/Нет
11. Область значений функции, непрерывной и монотонно возрастающей на (a, b), - интервал (f (a ), (f (b ). Да/Нет
12. Функция, непрерывная на каждом из двух данных промежутков, будет непрерывна на их объединении. Да/Нет
13. Касательная к графику функции может иметь с ним бесконечно много общих точек. Да/Нет
14. Если векторы и – коллинеарны и векторы и коллинеарны, то векторы  и  коллинеарны. Да/Нет
15. Касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны. Да/Нет
16. Сумма двух монотонно возрастающих на (a, b) функций – монотонно возрастающая на (a, b) функция. Да/Нет
17. Произведение двух монотонно возрастающих функций – монотонно возрастающая функция. Да/Нет
18. Если каждая высота треугольника меньше 1 мм, то его периметр меньше 10 мм. Да/Нет
19. Производная монотонной (соотв. немонотонной) функции – монотонная (соотв. немонотонная) функция. Да/Нет
20. Квадрат нечётной функции – чётная функция. Да/Нет
21. Если расстояние от точки А до рямой l равно расстоянию от точки В до этой прямой, то прямые (АВ) и l параллельны. Да/Нет
22. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то и функция f(x-1) непрерывна на этом отрезке. Да/Нет
23. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Тогда если f(x)= f( ǀ x ǀ ) при любом х, то функция f(x) - чётная. Да/Нет
24.  [ǀxǀ]=ǀ[x]ǀ для всех действительных значений х. Да/Нет
25. [{x}]={[x]} для всех действительных значений х. Да/Нет
26. а) [x+y]=[x]+[y] для всех действительных значений х и у. Да/Нет

б){x+y}={x}+{y} для всех действительных значений х и у. Да/Нет

27. а) [xy]=[x][y] для всех действительных значений х и у. Да/Нет

б) {xy}={x}{y} для всех действительных значений х и у. Да/Нет

28.Для всех х [0;] справедливо равенство:

а) [sin2x]+[cos2x]=1. Да/Нет

б) {sin2x}+{cos2x} =1. Да/Нет

29. [sin2x]+[cos2x]+ {sin2x}+{cos2x}=1 для всех     х [0;]. Да/Нет

30. У треугольной пирамиды может быть 5 плоских прямых углов. Да/Нет

31.Если производная функции f(x) – периодическая функция, то и функция f(x) – периодическая. Да/Нет

32.Если три вектора на плоскости удовлетворяют условиям  ,  то скалярное призведение∙=ǀǀ∙ǀǀ. Да/Нет

33. Окружности совпадают, если они имеют:

а) три общие точки. Да/Нет

б) две общие хорды. Да/Нет

в) три общие касательные. Да/Нет

34. Треугольники совпадают, если они имеют:

а) три общие точки, не лежащие на одной прямой. Да/Нет

б) четыре общие точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Да/Нет

35. Если стороны двух треугольников лежат на прямых l1, l2 ,l3 то треугольники равны. Да/Нет

36. Если все стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник – ромб. Да/Нет

37. Если две окружности касаются друг друга, то у них есть три различных общих касательных. Да/Нет

38. На плоскости дан четырёхугольник ABCD и точка О внутри него. Тогда SABCD=AAOB+SBOS+SSOD+SAOD. Да/Нет

39. Для всех действительных значений х справедливы неравенства:

а) х ≥ [x]. Да/Нет

б) х ≥ {x}. Да/Нет

40. Если две стороны плоского четырёхугольника взаимно перпендикулярны, и две другие тоже взаимно перпендикулярны, то

а) это прямоугольник. Да/Нет

б) у четырёхугольника есть по крайней мере два прямых угла. Да/Нет

41. Сумма двух непериодических функций – непериодическая функция. Да/Нет

42. Если число Т – период функции f(x), то число:

а) 2Т.   б) .    в)

также период этой функции. Да/Нет

43. Если плоскости α и β не пересекаются с прямой l, то они

а) не пересекаются. Да/Нет

б) пересекаются. Да/Нет

44. Если плоскости α и β не пересекаются с плоскостью γ , то они

а) не пересекаются. Да/Нет

б) пересекаются. Да/Нет

45. Если плоскости m и  n не пересекаются с плоскостью α, то они

а) не пересекаются. Да/Нет

б) пересекаются. Да/Нет

в) параллельны. Да/Нет

г) скрещиваются. Да/Нет

46. Если последовательность {an} возрастающая, то:

а) последовательность {(an)2} также возрастающая. Да/Нет

б) последовательность     убывающая. Да/Нет

47. Если последовательность {an} неограниченная, то:

а) последовательность         ограниченная. Да/Нет

б) последовательность         ограниченная. Да/Нет

48. Если последовательности  {an} и {bn} неограниченные, то:

а) последовательность {an+bn} неограниченная; Да/Нет

б) последовательность {an bn} неограниченная. Да/Нет

49. Если последовательность {an} неограниченная, а последовательность {bn} ограниченная, то:

а) последовательность {an bn} неограниченная; Да/Нет

б) последовательность           ограниченная. Да/Нет 

50. Если функция определена на всей числовой прямой и на каждом интервале (a, b) она:

а) монотонна.

б) непрерывна.

в) ограничена,

то таким же свойством она обладает и на всей числовой прямой. Да/Нет

Ответы, указания, решения

1. Нет. Одно из этих чисел может быть нулём.
2. Нет. Например последовательности {(-1)n}и {-(-1)n}.
3. Нет. Например, 2+3=5.
4. Нет. Например, для n= имеем n2=2/
5. Нет. Например, n=7, m=3.
6. Нет. Например, прямая х=0 не является касательной к параболе у=х2, хотя имеет с ней одну общую точку.
7. Нет. Например, любые две параллельные прямые в данной плоскости α и произвольная, не пересекающаяся с ними прямая, перпендикулярная этой плоскости.
8. Нет. Достаточно рассмотреть координатные оси Ох, Оу и Оz.
9. Нет. Рассмотрите тупоугольный треугольник.
10. Нет. Рассмотрите, например, тупоугольный треугольник.
11.  Нет. Функция может быть не определена в точках a или b.
12. Нет. Например, функция равная нулю на интервале (-1;0) и равная единице на отрезке [0;1].
13. Да. Например, прямая у=1 и график функции y=sin x.
14. Нет. Вектор  может быть нулевым.
15. Да. Рассмотрите сечение сферы плоскостью, проходящей через любые две касательные, проведенные из общей точки.
16. Да.
17. Нет. Например, если f(x)=g(x)=x для всех действительных значений х.
18. Нет. Рассмотрите равнобедренный тупоугольный треугольник с углом при вершине близким к развёрнутому.
19. Нет в обоих случаях. Например, функция х3(соответственно х2).
20. Да.
21. Нет. Например, вершины А и В правильного тетраэдра ABCD находятся на одинаковом расстоянии от прямой CD, однако прямые АВ и CD не параллельны.
22. Нет. Функция f(x-1) может быть не определена на всем отрезке [a; b].
23. Да.
24. Нет. Например, [ǀ-𝜋ǀ]= 3, а  ǀ[-𝜋]ǀ= 4/
25. Да.
26. а) Нет. б) Нет.
27. а) Нет. б) Нет.
28. а) Нет. б) Нет.
29. Да.
30. Нет. В противном случае в одной из четырёх граней этой пирамиды было бы два прямых угла.
31. Нет. Например, функция x+sin x.
32. Нет. Векторы и могут иметь противоположные направления.
33. а) Да. б) Да. в) Нет. Например, вписанная и вневписанная в некоторый треугольник окружности. г) Нет. Например, вписанные в один угол пересекающиеся окружности.
34. Нет в обоих случаях.
35. Да.
36. Нет. Четырёхугольникне обязательно плоский.
37. Нет. Окружности могут касаться внутренним образом.
38. Нет. Это справедливо только для выпуклых четырёхуголиков.
39. а) Да. б) Нет.
40. а) Да. б) Нет. Рассмотрите невыпуклый четырёхугольник.
41. Нет. Например, функции  и
42. а) Да. б) Нет. Например, функция sin x. в) Нет. Например, функция{x}.
43. а) Нет. б) Нет.
44. а) Да. б) Нет.
45. Нет во всех случаях.
46. а) Нет. Например, последовательность . б) Нет. Один из членов последовательности  может равняться нулю.
47. а) Нет. Рассмотрите последовательность 1, , 2, , 3, , … б) Нет. Например, последовательность  .
48. а) Нет. Например, если. б) Нет. Используйте последовательность из пункта 47а.
49. а) Нет. Рассмотрите последовательность 1, 2, 3, 1… и последовательность 1, , 1, , 1, , … б) Нет. Например,  как и в 47а), а  = {1}.
50. а) Да. б) Да. в) Нет. Например, у = х.