Тесты "КОНТРПРИМЕРЫ"
тест по алгебре (9 класс) на тему
При решении трудных задач важно уметь строить контрпримеры, опровергающие ложные утверждения. Расмотрены задачи, в которых требуется проверить данное утверждение, либо опровергнуть его подходящим примером. Практически все они решаются устно, без рисунков и трудных вычислений.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 40.28 КБ |
Предварительный просмотр:
ТЕСТ «КОНТРПРИМЕРЫ»
Хорошая математическая подготовка во многом зависит от умения строить контрпримеры, опровергающие ложные утверждения. Это непростое искусство незаменимо при решении трудных задач, когда, пробираясь к ответу, приходится постоянно выдвигать все новые предположения, большая часть которых, как правило, отвергается как раз с помощью подобных «плохих» примеров, показывающих, что то или иное уиверждение неверно.
Предлагаю к рассмотрению задачи, в каждой из которых требуется проверить данное утверждение, либо доказать, либо опровергнуть его подходящим примером.
Практически все они решаются устно, без рисунков и томительных вычислений, тем не менее, даже если ответы к некоторым задачкам покажутся вам очевидными, обязательно сверьте их с теми, что приведены в конце теста – возможно, вы обнаружите, что не учли ту или иную тонкость в определении или в условии.
1-й уровень
- Произведение трех последовательных целых чисел делится на каждое из них. Да/Нет
- Сумма двух расходящихся последовательностей –расходящаяся последовательность. Да/Нет
- Сумма двух простых чисел – составное число. Да/Нет
- Если число n не является чётным, то и число n2 не является чётным. Да/Нет
- Если натуральное число n е делится на 3, а натуральное число m не делится на 7, то число mn не делится на 21. Да/Нет
- Прямая, имеющая с параболой ровно одну общую точку, является касательной к ней. Да/Нет
- Если прямые l1 и l2 скрещиваются, и прямые l2 и l3 тоже скрещиваются, то и прямые l1 и l3 скрещиваются. Да/Нет
- Пусть l1, l2 ,l3 – некоторые прямые. Если l1 l2 , l2 l3 , то l1 и l3 параллельны. Да/Нет
- Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Да/Нет
- Биссектриса, медиана и высота, проведенные из разных вершин произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Да/Нет
- Область значений функции, непрерывной и монотонно возрастающей на (a, b), - интервал (f (a ), (f (b ). Да/Нет
- Функция, непрерывная на каждом из двух данных промежутков, будет непрерывна на их объединении. Да/Нет
- Касательная к графику функции может иметь с ним бесконечно много общих точек. Да/Нет
- Если векторы
и
– коллинеарны и векторы
и
коллинеарны, то векторы
и
коллинеарны. Да/Нет
- Касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны. Да/Нет
- Сумма двух монотонно возрастающих на (a, b) функций – монотонно возрастающая на (a, b) функция. Да/Нет
- Произведение двух монотонно возрастающих функций – монотонно возрастающая функция. Да/Нет
- Если каждая высота треугольника меньше 1 мм, то его периметр меньше 10 мм. Да/Нет
- Производная монотонной (соотв. немонотонной) функции – монотонная (соотв. немонотонная) функция. Да/Нет
- Квадрат нечётной функции – чётная функция. Да/Нет
- Если расстояние от точки А до рямой l равно расстоянию от точки В до этой прямой, то прямые (АВ) и l параллельны. Да/Нет
- Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то и функция f(x-1) непрерывна на этом отрезке. Да/Нет
- Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Тогда если f(x)= f( ǀ x ǀ ) при любом х, то функция f(x) - чётная. Да/Нет
- [ǀxǀ]=ǀ[x]ǀ для всех действительных значений х. Да/Нет
- [{x}]={[x]} для всех действительных значений х. Да/Нет
- а) [x+y]=[x]+[y] для всех действительных значений х и у. Да/Нет
б){x+y}={x}+{y} для всех действительных значений х и у. Да/Нет
27. а) [xy]=[x][y] для всех действительных значений х и у. Да/Нет
б) {xy}={x}{y} для всех действительных значений х и у. Да/Нет
28.Для всех х [0;] справедливо равенство:
а) [sin2x]+[cos2x]=1. Да/Нет
б) {sin2x}+{cos2x} =1. Да/Нет
29. [sin2x]+[cos2x]+ {sin2x}+{cos2x}=1 для всех х [0;]. Да/Нет
30. У треугольной пирамиды может быть 5 плоских прямых углов. Да/Нет
31.Если производная функции f(x) – периодическая функция, то и функция f(x) – периодическая. Да/Нет
32.Если три вектора на плоскости удовлетворяют условиям ,
то скалярное призведение
∙
=ǀ
ǀ∙ǀ
ǀ. Да/Нет
33. Окружности совпадают, если они имеют:
а) три общие точки. Да/Нет
б) две общие хорды. Да/Нет
в) три общие касательные. Да/Нет
34. Треугольники совпадают, если они имеют:
а) три общие точки, не лежащие на одной прямой. Да/Нет
б) четыре общие точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Да/Нет
35. Если стороны двух треугольников лежат на прямых l1, l2 ,l3 то треугольники равны. Да/Нет
36. Если все стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник – ромб. Да/Нет
37. Если две окружности касаются друг друга, то у них есть три различных общих касательных. Да/Нет
38. На плоскости дан четырёхугольник ABCD и точка О внутри него. Тогда SABCD=AAOB+SBOS+SSOD+SAOD. Да/Нет
39. Для всех действительных значений х справедливы неравенства:
а) х ≥ [x]. Да/Нет
б) х ≥ {x}. Да/Нет
40. Если две стороны плоского четырёхугольника взаимно перпендикулярны, и две другие тоже взаимно перпендикулярны, то
а) это прямоугольник. Да/Нет
б) у четырёхугольника есть по крайней мере два прямых угла. Да/Нет
41. Сумма двух непериодических функций – непериодическая функция. Да/Нет
42. Если число Т – период функции f(x), то число:
а) 2Т. б) . в)
также период этой функции. Да/Нет
43. Если плоскости α и β не пересекаются с прямой l, то они
а) не пересекаются. Да/Нет
б) пересекаются. Да/Нет
44. Если плоскости α и β не пересекаются с плоскостью γ , то они
а) не пересекаются. Да/Нет
б) пересекаются. Да/Нет
45. Если плоскости m и n не пересекаются с плоскостью α, то они
а) не пересекаются. Да/Нет
б) пересекаются. Да/Нет
в) параллельны. Да/Нет
г) скрещиваются. Да/Нет
46. Если последовательность {an} возрастающая, то:
а) последовательность {(an)2} также возрастающая. Да/Нет
б) последовательность убывающая. Да/Нет
47. Если последовательность {an} неограниченная, то:
а) последовательность ограниченная. Да/Нет
б) последовательность ограниченная. Да/Нет
48. Если последовательности {an} и {bn} неограниченные, то:
а) последовательность {an+bn} неограниченная; Да/Нет
б) последовательность {an bn} неограниченная. Да/Нет
49. Если последовательность {an} неограниченная, а последовательность {bn} ограниченная, то:
а) последовательность {an bn} неограниченная; Да/Нет
б) последовательность ограниченная. Да/Нет
50. Если функция определена на всей числовой прямой и на каждом интервале (a, b) она:
а) монотонна.
б) непрерывна.
в) ограничена,
то таким же свойством она обладает и на всей числовой прямой. Да/Нет
Ответы, указания, решения
- Нет. Одно из этих чисел может быть нулём.
- Нет. Например последовательности {(-1)n}и {-(-1)n}.
- Нет. Например, 2+3=5.
- Нет. Например, для n=
имеем n2=2/
- Нет. Например, n=7, m=3.
- Нет. Например, прямая х=0 не является касательной к параболе у=х2, хотя имеет с ней одну общую точку.
- Нет. Например, любые две параллельные прямые в данной плоскости α и произвольная, не пересекающаяся с ними прямая, перпендикулярная этой плоскости.
- Нет. Достаточно рассмотреть координатные оси Ох, Оу и Оz.
- Нет. Рассмотрите тупоугольный треугольник.
- Нет. Рассмотрите, например, тупоугольный треугольник.
- Нет. Функция может быть не определена в точках a или b.
- Нет. Например, функция равная нулю на интервале (-1;0) и равная единице на отрезке [0;1].
- Да. Например, прямая у=1 и график функции y=sin x.
- Нет. Вектор
может быть нулевым.
- Да. Рассмотрите сечение сферы плоскостью, проходящей через любые две касательные, проведенные из общей точки.
- Да.
- Нет. Например, если f(x)=g(x)=x для всех действительных значений х.
- Нет. Рассмотрите равнобедренный тупоугольный треугольник с углом при вершине близким к развёрнутому.
- Нет в обоих случаях. Например, функция х3(соответственно х2).
- Да.
- Нет. Например, вершины А и В правильного тетраэдра ABCD находятся на одинаковом расстоянии от прямой CD, однако прямые АВ и CD не параллельны.
- Нет. Функция f(x-1) может быть не определена на всем отрезке [a; b].
- Да.
- Нет. Например, [ǀ-𝜋ǀ]= 3, а ǀ[-𝜋]ǀ= 4/
- Да.
- а) Нет. б) Нет.
- а) Нет. б) Нет.
- а) Нет. б) Нет.
- Да.
- Нет. В противном случае в одной из четырёх граней этой пирамиды было бы два прямых угла.
- Нет. Например, функция x+sin x.
- Нет. Векторы
и
могут иметь противоположные направления.
- а) Да. б) Да. в) Нет. Например, вписанная и вневписанная в некоторый треугольник окружности. г) Нет. Например, вписанные в один угол пересекающиеся окружности.
- Нет в обоих случаях.
- Да.
- Нет. Четырёхугольникне обязательно плоский.
- Нет. Окружности могут касаться внутренним образом.
- Нет. Это справедливо только для выпуклых четырёхуголиков.
- а) Да. б) Нет.
- а) Да. б) Нет. Рассмотрите невыпуклый четырёхугольник.
- Нет. Например, функции
и
- а) Да. б) Нет. Например, функция sin x. в) Нет. Например, функция{x}.
- а) Нет. б) Нет.
- а) Да. б) Нет.
- Нет во всех случаях.
- а) Нет. Например, последовательность
. б) Нет. Один из членов последовательности
может равняться нулю.
- а) Нет. Рассмотрите последовательность 1,
, 2,
, 3,
, … б) Нет. Например, последовательность
.
- а) Нет. Например, если
. б) Нет. Используйте последовательность из пункта 47а.
- а) Нет. Рассмотрите последовательность 1, 2, 3, 1… и последовательность 1,
, 1,
, 1,
, … б) Нет. Например,
как и в 47а), а
= {1}.
- а) Да. б) Да. в) Нет. Например, у = х.