Конспект урока в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия".
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

                                      Конспект урока

Тема:  «Арифметическая прогрессия»

Класс:   9

Тип урока:   объяснение нового материала.                                      

Цели  урока:

   Образовательные:

   - выделить из множества числовых последовательностей арифметическую прогрессию ;

    - дать чёткое определение арифметической прогрессии ;

    - вывести формулу n-го члена прогрессии ;

    - описать характеристическое свойство арифметической прогрессии ;

    - на примерах осуществить первичную отработку применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

   Воспитательные и развивающие:

    - развивать логическое  и аналитическое мышление ;

    - память ;

    - развитие и осмысление использования в речи математических терминов при ответах на вопросы теории  алгебры.                                                    

                                                   Ход    урока

1.Оргмомент :

Учитель сообщает тему и цель урока , план работы на уроке.

2.Устная работа 

На доске:                                  Учитель задает вопросы:

1) -4; -3,5; -3; …              1)Какая закономерность наблюдается

2) 2; 0,2; 0,02;…                  в каждой последовательности?    

3) 7; 71/3; 72/3;…            2) Найдите последующий 4-ый и 5-ый члены                                        

4)120; 117; 114;…              каждой из числовых  последовательностей.

5) 1;4;9;…

3)А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общем признаком?                                                                                                

 3.Объяснение нового материала 

Учитель подводит ученика к определению :

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность , в которой каждый последующий член равен предыдущему , сложенным с одним и тем же числом.

Слово прогрессия в переводе с латинского означает    «движение вперед».

  Число , которое прибавляют к каждому члену прогрессии , что бы найти последующий член называется разностью арифметической прогрессии                              

                                    d  =  an+1 - an

Найти разность арифметической прогрорессии:       (устно)  

на доске :

4,5; 4,25; …                                                   Учитель комментирует:  

-6; -10; -14; …                                              d-может быть любым числом;

а1; а2; 30; 40; …                                          если  d>0, прогрессия возрастающая;

8; 8; 8; 8; …                                                  если d<0 – убывающая.

Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию достаточно задать:

1способ: 2; 10;  (два члена её) ;             2способ: а1=-6;   d=0,4;

другие способ будут рассматриваться далее.

Вспомним, как называется формула для нахождения любого члена числовой последовательность которого используется предыдущим члены (или члена)

-рекуррентная формула

Т. е. найти любой член арифметической прогрессии можно с помощью рекуррентной формулы

                            an+1=an+d        

Найдите       4-е члена арифметической прогрессии:a1=2;d=0,4

a2=2+0,4=2,4

a3=2,4+0,4=2,8

a4=2,8+0,4=3,2

А что если нужно найти 31- й  или 100 –й член прогрессии?

Понятно,что выше использованный способ нахождениялюбого(в том числе с большим порядковым номером) члена арифметической прогрессии неудобен из-за значительных вычислений.

Попробуем вывести формулу n-ого члена прогрессии.

Рассмотрим арифметическую прогрессию (an),в которой

an-1-ый член ,d-разность.

По определению арифметической прогрессии:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d

a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d

Учитель задаёт вопрос: а нет ли какой-то связи между порядковым номером числа прогрессии и числа,стоящего перед d.

Есть:она на 1 меньше.

Тогда an=a1+d(n-1)

Это и есть формула n-ого (т.е. общего) члена арифметической прогрессии.

a26=a1+25d; 5=20+25d; -15=25d; d=-3/5

 4.Первичное закрепление

№ 354(a)-ученик у доски

                         Решение:

c1=10

c15=1,2      c15=c1+d(n-1)

d-?             1,2=-10+14d,d=0,8

Следующее задание:

Число "-22" является членом арифметической прогрессии 44;32.Найдите номер этого члена прогрессии.

Решение: 1) d=a2-a1;d=38-44=-6

(учитель)  2) a22=a1-6(n-1);  -22=44-6(n-1);  -22=44-6n+6;  -72=-6n; n=12

Значит  12-ый член прогрессии равен =-22

Аналогичный номер из учебника №359(б)-ученик у доски.

a1=2                                                     Решение:

a2=9                                        1) d=a2-a1;d=9-2=7

число 295 является                2)Пусть 295=an

числом этой прогрессии-?    3)Тогда an=a1+d(n-1)

                                                 295=2+7(n-1); 295=2+7n-7;  300=7n;  n=43 1/7

Так как n=43 1/7 не принадлежит N => число 295 не является членом этой арифметической прогрессии.

Приведём примеры числовых последовательностей,которые являются арифметическими прогрессиями:

Учитель работает устно с классом:

-ряд натуральных чисел;

-чётных натуральных;

-кратных 7;

-кратных 10 и т.д.

Запишем арифметическую прогрессию,которая представляет ряд чисел(натуральных) кратных 5 и арифметическую прогрессию заданную

a1=2;d=3

Тогда возвращаясь к a31

a31=a1+d*30

a31=2+0,4*30=14

Число :"А по какой формуле вы найдёте a41;a125;a207-?

№ 348(б) К доске вызывается ученик.

              Решение:

a1=11          d=a2-a1;d=7-11=-4

a2=7            a23=a1+22d;a23=11+22*(-4)=-77

a23-?            an=a1+d(n-1);an=11+(-4)(n-1)

an-?

Учитель: Вернёмся к формуле n-ого члена арифметической прогрессии и проанализируйте её.

Часто с формулами вы работаете на уроках и знаете что из одной формулы можно выразить любую неизвестную (в данной задаче) величину,зная все остальные переменные.

Аналогично и по формуле нахождения n-ого члена прогрессии можно найти

-a1;

-n;  Если известны остальные переменные.

-d;

Следующий номер:

a1=20;a20=5;d-?

5;10;15;20;25;30;35;...

2;5;8;11;14;17;...

Рассмотрим любые три подряд следующие члены прогрессий.

Вопрос: "А как бы вы могли найти средний из этих трёх чисел,зная последующий и предыдущий? число 25(зная 20 и 30)

                       число 11(зная 8 и 14)"

Ответ: Сложить два соседних и разделить на два.

А как называется значение этого выражения?

-Это среднее арифметическое между 2-мя соседними.

А верно ли это для любой арифметической прогрессии?

Попробуем доказать это свойство, характерное для любой арифметической прогрессии.

Пусть an-1;an;an+1-три любые подряд         члена арифметической прогрессии an

Запишем разность d с помощью этих членов

an+1-an=an-an-1

an+1+an-1=2an

an=(an+1+an-1/2),n>=2

Эта формула выражает характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со 2-ого члена является средним арифметическим между двумя соседними с ним членами.

Почему начиная со 2-ого члена: так как у 1-ого члена прогрессии нет предыдущего члена.

Верно и обратное утверждение: Если в числовой последовательности любой член, начиная со второго, является средним арифметическим между двумя соседними, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

То есть данное утверждение можно рассматривать как признак арифметической прогрессии.

Найти: a19,если  a20=120;a18=80

a19=(120+80/2)=100

Учащиеся устно находят a19 используя основное свойство прогрессии.

Последнее задание: a8=40;a28=320

Найти d

Учитель вместе с учащимися анализирует условие задачи(и да    ),находит,что воспользоваться формулой для нахождения d в данном задании не приведёт к решению.Следовательно нужно искать иной способ решения.

Рассмотрим арифметическую прогрессию(an),в которой известны ak,an,где k>n

Запишем формулу каждого члена арифметической прогрессии:

ak=a1+d(k-1);an=a1+d(n-1)

Составим разность:

ak-an=a1+d(k-1)-a1-d(n-1)=a1+dk-d-a1-dn+d=dk-dn=d(k-n)

ak-an=d(k-n) или d=(ak-an/k-n) или ak=an-d(k-n)

Эта формула выражает связь между двумя любыми членами арифметической прогрессии(следующими не подряд,и среды пятерых нет a1.

Тогда предложенная задача решается просто при использовании выведенной формулы:

d=a28-a8/10; d=340-40/20=14.

5. Итог урока: учитель работает фронтально с классом, задавая вопросы по объяснённому материалу.

Учитель оценивает учащихся, отвечающих у доски и активно с места.

Ученики записывают домашнее задание.