Методы решения тригонометрических уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение нестандартных уравнений, систем уравнений, неравенств, уравнений с параметрами и двумя переменными

Тригонометрию можно считать самой сложной частью школьного курса алгебры. Поэтому мне пришлось уделить ей так много времени. Надеюсь, что работа моя заинтересует вас, а может и пригодится кому-нибудь. Если начало покажется вам скучным, загляните в X главу.

Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного тригонометрического уравнения. Первый этап занимает куда больше времени и усилий, так как не все уравнения можно решить стандартными способами. Хотя и умение группировать ответы и объединять их всегда приветствовалось. Существует девять основных методов решения тригонометрических уравнений. Мы рассмотрим стандартные уравнения и способы их решения, а также оригинальные уравнения, неравенства и системы уравнений с различными способами решений.

I. Метод замены переменной.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменной. Решить уравнения:

1)

Решение:

Обозначим .

Получаем квадратное уравнение .

Его корнями являются числа  и .

Уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям

Ответ:

2)

Решение:

Обозначим

Тогда уравнение примет вид  

 не удовлетворяет условию , а .

Значит ;

Ответ:

3)

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения:

Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:

;

.

Обозначив , получим

 Решив данное квадратное уравнение имеем:

Но , и решение исходного уравнения:

Ответ:

4)

Решение:

Обозначим .

Тогда , и  

Исходное уравнение можно переписать так:

Вернёмся к переменной х:

Второе уравнение не имеет решений, т.к. .

Тогда

Ответ:

5)

Решение:

Разделим на (т.к. не является решением данного уравнения).

;

;

.

Обозначим .

Уравнение примет вид: .

Так как сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то корнем уравнения является единица.

Разделим на .

Получим .

Следовательно, (второй множитель больше нуля при любых ).

Тогда ;

Ответ:

II. Условия равенства тригонометрических функций.

Решить уравнения:

6)

Решение:

.

Решая уравнение, находим .

Имеем две группы решений:  

Ответ:

7)

Решение:

Используя условия равенства тригонометрических функций .

Решая эти квадратные уравнения, получаем:

Ответ:

8)

Решение:

Ответ:

9)

Решение:

Так как ,то n = k = 0, т.е.

Ответ:

III. Разложение на множители.

Решить уравнения:

10)

Решение:

I способ

Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

;

;

;

 Ответ:

II способ

Преобразуем выражение в левой части уравнения:

 Ответ:

11)

Решение:

; ;

 ;

;

 Ответ:

12)

Решение:

;

;

;

;

Так как второй ответ включает третий, то останется только первый и второй.

 Ответ:

13) .

Решение:

;

;

;

 ;

.

Ответ: .