Главные вкладки

    Элективный курс "Решение уравнений и неравенств "
    элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

    Аксанова Ильсияр Исмагиловна

    В данном элективном курсе рассмотрены различные способы решения  рациональных, логарифмических, показательных, тригонометрических, иррациональных  уравнений и неравенств. А также уравнения и неравенства с модулем. Программа рассчитана на учеников 11 классов.

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Авторская программа элективного курса

    для учащихся 11 класса

    «Решение уравнений и неравенств»

    (11  класс)

          Учитель математики                                            

                                                                      высшей  квалификационной категории

                                                                  Аксанова Ильсияр Исмагиловна

    МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

    Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»                                                                       

     Пояснительная записка.

    Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

    Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

    Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

     Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.

     В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические  и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

    умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

    • умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
    • умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
    • мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

    Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

    Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

    На изучение вопросов, представленных  в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

    Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

    Цели курса:

    • формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
    • освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
    • овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
    • развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

    Задачи:

    • систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
    • обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в  данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
    • формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
    • развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
    • формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
    • оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

    Используемые технологии:

    • лекционно-семинарская система обучения;
    • модульное обучение;
    • исследовательский метод в обучении;
    • индивидуальные формы работы;
    • дифференцированное обучение.

    Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

    Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.

    Требования к уровню освоения содержания курса:

    В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

    • имеют представление о роли математики в познании действительности;
    • умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
    • знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
    • умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
    • умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
    • умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

    Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

    Ожидаемые результаты:

    Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

                                                 Содержание курса

    тема

    Количество

     часов

    1.

    Уравнения и неравенства с модулем

    3

    2.

    Рациональные уравнения и неравенства

    4

    3.

    Уравнения и неравенства с радикалами

    5

    4.

    Показательные уравнения

    3

    5.

    Показательные неравенства

    3

    6.

    Логарифмические уравнения

    3

    7.

    Логарифмические неравенства

    3

    8.

    Тригонометрические уравнения

    2

    9.

    Тригонометрические неравенства

    2

    10.

    Уравнения, содержащие логарифм, модуль и радикалы

    3

    11.

    Неравенства, содержащие логарифм, модуль и радикалы

    3

    12.

    Итоговый контроль

    1

    всего

    35

    Основное содержание курса

    1.   Уравнения и неравенства с модулем (3 ч.)

    Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод  интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

    Уравнения, содержащие модули.

    Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:

    решение линейных уравнений;

    решение квадратных уравнений;

    решение тригонометрических уравнений;

    решение показательных и логарифмических уравнений.

    Неравенства, содержащие модуль.

    Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.

    Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:

    неравенства, содержащие выражения ׀x׀;

    неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)

    неравенства вида ׀ƒ1(x)׀±׀ƒ2(x)׀±…± ׀ƒn(x)׀> g(x).

    Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.

    Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

    уравнения

    неравенства

    1.  

    2.      

    3.        

    4.        

        4.    

    5.      

    1. Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.)
      Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при решении  неравенств.

    уравнения

    неравенства

    2.

    1. Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.)
      Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений и  с квадратными радикалами. Освобождение от кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные  схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ; ; .

    уравнения

    неравенства

    1.  

    2.    

    3.        

    4.  

    1. Показательные уравнения и неравенства.(6 ч.)
      Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств.

    уравнения

    неравенства

    1.  

    2.  

    3.  

    4.  

    5.  

    6.    

    1. Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.)
      Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

    уравнения

    неравенства

    1.  

    1.    

    2.    

    2.    

    3.    

    3.      

    4.       

    4.    

    5.      

    5.  

    6.         Смешанная тригонометрия. (4 ч.)

    Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.

    уравнения

    неравенства

    1.    

    1.    

    2.    

    2.  

    3.    

    3.    

    4.      

    4.    

    1.   Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы (6 ч.)

    уравнения

    неравенства

    1.  

    1.    

    2.  

    2.  

    3.  

    3.  

    4.

    4.      

    5.  

    5.    

    1.   Итоговый урок. (1 ч.)

    Презентации проектов учащихся по решению уравнений и неравенств.

     1.                  .

    Решение.

    Рассмотрим два случая:           и     .

    Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ,      т.е. при  ,  Значит, решение первой системы состоит из таких х, что  

    Первое неравенство второй системы выполняется только при .

    Ответ: 

    Задача 2.         .

    Решение.

    ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких х, что .

    В ОДЗ имеем , и наше неравенство принимает вид . Это стандартное неравенство, которое разбивается на две системы    и   .

    Решим первую систему. Если x > 6, то и первое неравенство приобретает вид . При х > - 6 второе неравенство равносильно тому, что х + 6 > 1 и первая часть ответа будет: .

    Если х < - 6 , то  и имеем неравенство , которое выполняется при всех х так, что вторую часть ответа получаем из неравенства –х – 6 > 1      х < - 7 .

    Вторая система решений не имеет.

    Ответ:.

    Задача 3.        

    Решение.

    Второе уравнение системы эквивалентно тому, что . Подставим это значение у в первое уравнение:

    .

    Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х = 1, либо

    .

    Ответ: 1, .

    План-конспект занятия по теме «Уравнения с радикалами. Некоторые приёмы решения»

    Цели урока :

    • Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приёмами решения иррациональных уравнений.

    • Развивающая –способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.

    • Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

    Тип урока :

    • Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
    • Отработка умений и навыков решения иррациональных уравнений.

    Метод обучения :

    • Репродуктивный
    • Частично – поисковый

    Формы организации учебной деятельности :

    • Индивидуальная
    • Фронтальная
    • Групповая
    • Взаимопроверка

    План урока

    1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
    2. Актуализация опорных знаний.
    3. Изучение новой темы. Лекция.
    4. Закрепление нового материала :

     а) на уровне воспроизведения,

     б) на уровне применения знаний.

    5. Подведение итогов.

    Ход урока

     

    1. Организационный момент.

     2.Актуализация знаний.

     Вспомним а) определение и основные свойства корня n – ой степени,

     б) определение уравнения, что означает «решить уравнение».

     3. Изучение новой темы : «Иррациональные уравнения. Некоторые приёмы решения». (лекция)

     а) Определение иррационального уравнения.

     б) Примеры :  ,  и т. д.

     в) Что значит решить иррациональные уравнения ? Это значит : найти все такие

     значения переменной х, при которых уравнение превращается в верное равенство,

     либо доказать, что таких значений не существует. Другие понятия для иррациональных

     уравнений определяются так же, как и для рациональных уравнений.

     Широко распространёнными иррациональными уравнениями, предлагаемыми на

     вступительных экзаменах являются уравнения вида  - алгеб-

     раические выражения, где неизвестная величина содержится под знаком корня и

     уравнения вида .

     Вернёмся к уравнению вида

     Показывается способ решения уравнения данного вида :(1)

     Примеры : 1) ; 2) .

     Учитель показывает решение этих двух уравнений на доске :

     Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно

     налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения

     арифметического корня n – ой степени.

     Имеем . Пришли к системе

     х1 = 4 , х2 = 1 – посторонний корень, не удовлетворяет условию х ? 2.

     Ещё один вид иррационального уравнения  сводится к системе

      ( 2 )

     Кстати, можно проверять и А (х) ? 0, т.е. то, что в данной задаче проще. Если

     уравнение не относится ни к одному из видов, то с помощью различных

     преобразований можно привести уравнения к Ι или ΙΙ виду.

    0сновные методы решения иррациональных уравнений:

     Ι) Уединение радикала и возведение в степень.

     1) Решить уравнение :

     

     

     Рассмотрим уравнение системы

     х1 = 11, х2 = 6 – пост. корень, т.к. х ? 8.

    2) Решить уравнение :

    Данное уравнение равносильно системе :

    Решим второе уравнение системы :

    х1=2, х2=42 – посторонний корень.

    Ответ : 2.

     ΙΙ. Метод введения вспомогательного неизвестного.

     1)

     Пусть

     Получим новое уравнение

     у1=2, у2=-6 – посторонний корень, т.к. у0.

     Вернёмся к замене  уравнение дорешать дома.

     2) Решим уравнение :  ОДЗ:

     Пусть  Получим уравнение :

     

     у1=-1 – посторонний корень, т.к. у>0, у2=2.

     

     Возвращаемся к подстановке

     Х=2,5. Уравнение дорешать дома.

     Часто этот метод встречается при решении других уравнений, не только

     иррациональных.

    ΙΙΙ. Нестандартный подход.

    1) Пример : . Разделим обе части уравнения на х0, получим уравнение

    .

    Пусть , тогда , получим

     уравнение закончить  дома.

     2) Попробуйте решить:

     Решение :

     Ответ : нет решений.

     3) Пример :

     Т.к. правая часть отрицательная, уравнение не имеет решения.

     Ответ : нет решения.

    4.Закрепление

    Работа в парах и индивидуально.

    1. Подведение итогов.

    Список использованной литературы:

    1. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,2006.

                 2.  В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,  

                        «Просвещение», 2007

                 3.  А.Г.Каспаржак  «Элективные курсы в профильном обучении», М., НФПК,    

                      2004.

    4.  М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.                                 Москва, изд. МГУ, 2005.

                5.   В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.

                6. С. И. Колесникова. Решение сложных задач единого государственного

                 экзамена. Москва, изд. АЙРИС ПРЕСС, 2006.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Программа элективного курса: « Уравнения и неравенства » 11 класс

    Многие математические задачи сводятся к решению уравнений и неравенств. За время обучения математике школьникам приходится решать достаточно много уравнений и неравенств: линейных, квадрат...

    Элективный курс "Уравнения и неравенства"

    Элективный курс по математике «Уравнения и неравенства», рассчитан на 17 часов. Курс построен в соответствии со схемой «от простого - к сложному». При решении заданий второй части экзаменационной рабо...

    Элективный курс "Уравнения и неравенства"

    -расширение знаний учащихся по теме «Уравнения и неравенства»;-выработка умений решать уравнения и неравенства;-освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемы...

    Рабочая программа элективного курса "Уравнения и неравенства"

    Элективный курс по алгебре "Уравнения и неравенства"10-11 класс 69 часов...

    Программа элективных курсов "Уравнения и неравенства с параметрами", 9 класс

    Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся, обладают высокой диагностической и прогностической ценностью, существенно повышают ...

    Рабочая программа элективного курса "Уравнения и неравенства с параметрами"

    Данная рабочая программа элективного курса предназначена для учащихся 10-11 классов общеобразовательной школы. Она может использоваться в качестве программы для профильного обучения. Программа данного...

    рабочая программа по элективному курсу "Уравнения и неравенства с параметрами" для учащихся 10-11 классов

    Рабочая программа составлена на основе авторской программы А.Х.Шахмейстера-4 изд.-М.:издательство МЦНМО. КТП составлено из  расчета 34 часа за один учебный год....