Элективный курс "Решение уравнений и неравенств "
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Авторская программа элективного курса

для учащихся 11 класса

«Решение уравнений и неравенств»

(11  класс)

      Учитель математики                                            

                                                                  высшей  квалификационной категории

                                                              Аксанова Ильсияр Исмагиловна

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»                                                                       

 Пояснительная записка.

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

 Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.

 В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические  и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

• умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
• умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
• мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

На изучение вопросов, представленных  в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

Цели курса:

• формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
• освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
• развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

Задачи:

• систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
• обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в  данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
• формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
• развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
• формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
• оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

Используемые технологии:

• лекционно-семинарская система обучения;
• модульное обучение;
• исследовательский метод в обучении;
• индивидуальные формы работы;
• дифференцированное обучение.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.

Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о роли математики в познании действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
• знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
• умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
• умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

Ожидаемые результаты:

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

                                             Содержание курса

Основное содержание курса

1.   Уравнения и неравенства с модулем (3 ч.)

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод  интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Уравнения, содержащие модули.

Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:

решение линейных уравнений;

решение квадратных уравнений;

решение тригонометрических уравнений;

решение показательных и логарифмических уравнений.

Неравенства, содержащие модуль.

Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.

Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:

неравенства, содержащие выражения ׀x׀;

неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)

неравенства вида ׀ƒ1(x)׀±׀ƒ2(x)׀±…± ׀ƒn(x)׀> g(x).

Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

1. Рациональные уравнения и неравенства. (4ч.)
   Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно- рациональных уравнений. Дробно- рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод замены при решении  неравенств.

1. Уравнения и неравенства с радикалами. (5 ч.)
   Уравнения и неравенства с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений и  с квадратными радикалами. Освобождение от кубических радикалов. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные  схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Аналитические методы решения иррациональных уравнений, содержащих параметры: ; ; .

2. Показательные уравнения и неравенства.(6 ч.)
   Свойства показательных функций. Основные свойства степеней. Методы решения показательных уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной. Метод интервалов при решении показательных неравенств.

3. Логарифмические уравнения и неравенства. (6ч.)
   Основное логарифмическое тождество. Формулы преобразования логарифмов. Эквивалентные переходы, позволяющие избавится от логарифмов. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств: функционально – графический метод; метод потенцирования; метод введения новой переменной.

6.         Смешанная тригонометрия. (4 ч.)

Тригонометрические методы решения уравнений, методы решения уравнений с радикалами. Методы решения уравнений, содержащие модули.

1.   Уравнения и неравенства, содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы (6 ч.)

2.   Итоговый урок. (1 ч.)

Презентации проектов учащихся по решению уравнений и неравенств.

 1.                  .

Решение.

Рассмотрим два случая:           и     .

Первое неравенство первого случая выполняется при любых х из ОДЗ,      т.е. при  ,  Значит, решение первой системы состоит из таких х, что  

Первое неравенство второй системы выполняется только при .

Ответ: 

Задача 2.         .

Решение.

ОДЗ данного неравенства состоит из всех таких х, что .

В ОДЗ имеем , и наше неравенство принимает вид . Это стандартное неравенство, которое разбивается на две системы    и   .

Решим первую систему. Если x > 6, то и первое неравенство приобретает вид . При х > - 6 второе неравенство равносильно тому, что х + 6 > 1 и первая часть ответа будет: .

Если х < - 6 , то  и имеем неравенство , которое выполняется при всех х так, что вторую часть ответа получаем из неравенства –х – 6 > 1      х < - 7 .

Вторая система решений не имеет.

Ответ:.

Задача 3.        

Решение.

Второе уравнение системы эквивалентно тому, что . Подставим это значение у в первое уравнение:

.

Последнее уравнение эквивалентно тому, что либо х = 1, либо

.

Ответ: 1, .

План-конспект занятия по теме «Уравнения с радикалами. Некоторые приёмы решения»

Цели урока :

• Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, познакомить с некоторыми приёмами решения иррациональных уравнений.

• Развивающая –способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора.

• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство ответственности, самоконтроля.

Тип урока :

• Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
• Отработка умений и навыков решения иррациональных уравнений.

Метод обучения :

• Репродуктивный
• Частично – поисковый

Формы организации учебной деятельности :

• Индивидуальная
• Фронтальная
• Групповая
• Взаимопроверка

План урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Изучение новой темы. Лекция.
4. Закрепление нового материала :

 а) на уровне воспроизведения,

 б) на уровне применения знаний.

5. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент.

 2.Актуализация знаний.

 Вспомним а) определение и основные свойства корня n – ой степени,

 б) определение уравнения, что означает «решить уравнение».

 3. Изучение новой темы : «Иррациональные уравнения. Некоторые приёмы решения». (лекция)

 а) Определение иррационального уравнения.

 б) Примеры :  ,  и т. д.

 в) Что значит решить иррациональные уравнения ? Это значит : найти все такие

 значения переменной х, при которых уравнение превращается в верное равенство,

 либо доказать, что таких значений не существует. Другие понятия для иррациональных

 уравнений определяются так же, как и для рациональных уравнений.

 Широко распространёнными иррациональными уравнениями, предлагаемыми на

 вступительных экзаменах являются уравнения вида  - алгеб-

 раические выражения, где неизвестная величина содержится под знаком корня и

 уравнения вида .

 Вернёмся к уравнению вида

 Показывается способ решения уравнения данного вида :(1)

 Примеры : 1) ; 2) .

 Учитель показывает решение этих двух уравнений на доске :

 Обратите внимание на правые части уравнений. Во втором уравнении должно

 налагаться дополнительное условие, которое вытекает из определения

 арифметического корня n – ой степени.

 Имеем . Пришли к системе

 х1 = 4 , х2 = 1 – посторонний корень, не удовлетворяет условию х ? 2.

 Ещё один вид иррационального уравнения  сводится к системе

  ( 2 )

 Кстати, можно проверять и А (х) ? 0, т.е. то, что в данной задаче проще. Если

 уравнение не относится ни к одному из видов, то с помощью различных

 преобразований можно привести уравнения к Ι или ΙΙ виду.

0сновные методы решения иррациональных уравнений:

 Ι) Уединение радикала и возведение в степень.

 1) Решить уравнение :

 Рассмотрим уравнение системы

 х1 = 11, х2 = 6 – пост. корень, т.к. х ? 8.

2) Решить уравнение :

Данное уравнение равносильно системе :

Решим второе уравнение системы :

х1=2, х2=42 – посторонний корень.

Ответ : 2.

 ΙΙ. Метод введения вспомогательного неизвестного.

 1)

 Пусть

 Получим новое уравнение

 у1=2, у2=-6 – посторонний корень, т.к. у0.

 Вернёмся к замене  уравнение дорешать дома.

 2) Решим уравнение :  ОДЗ:

 Пусть  Получим уравнение :

 у1=-1 – посторонний корень, т.к. у>0, у2=2.

 Возвращаемся к подстановке

 Х=2,5. Уравнение дорешать дома.

 Часто этот метод встречается при решении других уравнений, не только

 иррациональных.

ΙΙΙ. Нестандартный подход.

1) Пример : . Разделим обе части уравнения на х0, получим уравнение

.

Пусть , тогда , получим

 уравнение закончить  дома.

 2) Попробуйте решить:

 Решение :

 Ответ : нет решений.

 3) Пример :

 Т.к. правая часть отрицательная, уравнение не имеет решения.

 Ответ : нет решения.

4.Закрепление

Работа в парах и индивидуально.

5. Подведение итогов.

Список использованной литературы:

1. В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н Олехник, П.И. Пасиченко. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Наука»,2006.

             2.  В.В. Вавилов . Задачи по математике Уравнения и неравенства. М.,  

                    «Просвещение», 2007

             3.  А.Г.Каспаржак  «Элективные курсы в профильном обучении», М., НФПК,    

                  2004.

4.  М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств.                                 Москва, изд. МГУ, 2005.

            5.   В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. Москва, изд. МЦНМО, 2006.

            6. С. И. Колесникова. Решение сложных задач единого государственного

             экзамена. Москва, изд. АЙРИС ПРЕСС, 2006.