Контрольные работы по Алгебре 10 класс
тест по алгебре (10 класс) по теме

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант 1

1. Задает ли указанное правило функцию

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках 0, 1, 3, –1;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию  на четность.

3. На числовой окружности взяты точки  Найдите все числа t, которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN. Сделайте чертёж.

4. Задайте аналитически и постройте график функции  у которой

5. Найдите функцию, обратную функции  Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций.

6. Известно, что функция  убывает на R. Решите неравенство

Вариант 2

1. Задает ли указанное правило функцию

В случае положительного ответа:

а) найдите область определения функции;

б) вычислите значения функции в точках –4, –2, 0, 4;

в) постройте график функции;

г) найдите промежутки монотонности функции.

2. Исследуйте функцию  на четность.

3. На числовой окружности взяты точки  Найдите все числа t, которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN. Сделайте чертёж.

4. Задайте аналитически и постройте график функции  у которой

5. Найдите функцию, обратную функции  Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций.

6. Известно, что функция  возрастает на R. Решите неравенство

ройте график функции  у которой

5. Найдите функцию, обратную функции  Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций.

6. Известно, что функция  возрастает на R. Решите неравенство

Рекомендации по оцениванию контрольной работы

Каждый вариант контрольной работы выстроен по одной и той же схеме: задания обязательного минимума – до первой черты, задания среднего уровня – между первой и второй чертой, задания уровня выше среднего – после второй черты. Шкала оценок за выполнение контрольной работы может выглядеть так: за успешное выполнение только заданий обязательного минимума – оценка «3»; за успешное выполнение заданий обязательного минимума и одного дополнительного (после первой или второй черты) – оценка «4»; за успешное выполнение заданий всех трех уровней – оценка «5». При этом оценку не рекомендуется снижать за одно неверное решение в первой части работы (допустимый люфт).

Решение контрольной работы

Вариант 1

1. Правило задает функцию, если, во-первых, можно выполнить действия, а во-вторых, соблюдается однозначность функции.

В случае

условия не соблюдаются: f(0) = 0 и f(0) = –1.

б)  – не определено;

г) на [0; 2) и на [2; +∞) функция возрастает, в точке х = 2 функция имеет разрыв.

2.  – симметрична относительно начала координат.

 значит, функция f(х) – нечетная.

5. у = 2 – х2 Квадратичная функция определена и убывает при х ≥ 0, значит, существует обратная функция: у = 2 – х2;

Функция

6. у = f(х) убывает на R.

 значит, неравенство верно при  Возведем обе части в квадрат:

Ответ:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Вариант 1

1. Вычислите.

2. Упростите выражение

3. Решите уравнение.

4. Известно, что  Найдите:

5. Расположите в порядке возрастания следующие числа:

Вариант 2

1. Вычислите.

2. Упростите выражение

3. Решите уравнение.

4. Известно, что  Найдите:

5. Расположите в порядке убывания следующие числа:

Решение контрольной работы

Вариант 1

    так как аргумент t принадлежит второй четверти.  

 так как аргумент t принадлежит второй четверти.

Ответ: а) –0,8; б) 0,6.

Учитывая, что π ≈ 3,14, нанесем на числовую окружность значения 4; 6; 7:

Ответ: d, c, b, a.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Вариант 1

1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции  точка:

2. Исследуйте функцию на четность.

3. Исследуйте функцию  на периодичность; укажите основной период, если он существует.

4. Решите графически уравнение

5. Постройте график функции, указанной в пункте а) или б).

6. При каком значении параметра а неравенство  имеет единственное решение? Найдите это решение.

Вариант 2

1. Не выполняя построения, установите, принадлежит ли графику функции  точка:

2. Исследуйте функцию на четность.

3. Исследуйте функцию  на периодичность; укажите основной период, если он существует.

4. Решите графически уравнение

5. Постройте график функции, указанной в пункте а) или б).

6. При каком значении параметра а неравенство  имеет единственное решение? Найдите это решение.

Решение контрольной работы

Вариант 1

а)  значит, точка  не принадлежит графику функции.

б)  значит, точка  принадлежит графику функции.

Ответ: а) нет; б) да.

2. а)

 значит, функция нечетная.

        б)

f(x), значит, функция четная.

в)

 значит, функция ни четная, ни нечетная.

Ответ: а) нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная.

3.

Пусть Т – основной период функции, тогда

Т = П – основной период для функции

Т = 2П – основной период для функции у = cos х. 

Значит, f(x).

Ответ: Т = 2П.

4.

Построим графики функций  y = tg x и

Ответ:

5. а)

График функции получен параллельным переносом графика функции  у = cos х на  единиц вправо и на 1 единицу вверх.

б)

График функции получен из графика функции  у = sin х растяжением от оси х и от оси у в 2 раза.

6.

     у = а – х2

     у = ⏐sin х⏐

Если а < 0, то неравенство не имеет решений;

            а > 0, то неравенство имеет бесконечно много решений;

            а = 0, то неравенство имеет единственное решение х = 0.

Ответ: а = 0.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Вариант 1

Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5. Решите уравнение:

6. Найдите корни уравнения  принадлежащие отрезку

Вариант 2

Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5. Решите уравнение:

6. Найдите корни уравнения  принадлежащие отрезку

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1.

Ответ:

2.

Ответ:

3.

    cos х = а

    cos х = 1        или        cos х = –3

            нет решений.

Ответ:

4.

     tg x = а

    tg x = –1           или                

Ответ:

5.

     tg x = а

     tg x = 1                или                tg x = 3

Ответ:

6.

    tg 3x = 1

при

при

при

при

при

Ответ:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5

Вариант 1

1. Вычислите.

а)

б)

в)

2. Упростите выражение

3. Решите уравнение

4. Найдите корни уравнения  принадлежащие полуинтервалу

5. Решите уравнение

6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство

Вариант 2

1. Вычислите.

а)

б)

в)

2. Упростите выражение

3. Решите уравнение

4. Найдите корни уравнения  принадлежащие промежутку

5. Решите уравнение

6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1. а)

б)

в)

Ответ: а)  б) 0; в)

2.

3.

Ответ:

4.

        или      

Отберем корни, принадлежащие полуинтервалу

Ответ:

5.

            или      

Ответ:

6.

     – верно, так как аргумент  принадлежит II координатной четверти (≈ 458 °), значит,

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6

Вариант 1

1. Вычислите 1, 5 и 100-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а)                 б)

в)                         г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция  удовлетворяет соотношению

6. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

Вариант 2

1. Вычислите 1, 7 и 200-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой

2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 2,(27) в виде обыкновенной дроби.

3. Найдите производную функции.

а)                 б)

в)                                 г)

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой

5. Докажите, что функция  удовлетворяет соотношению

6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

.

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1.

Ответ:

2. 1,(18) = 0,18 18 18 18… =

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой

Значит, 1(18) =

Ответ:

3. а)

    б)

    в)

    г)

4. ,    

Ответ: 21.

5.

Найдем у' и подставим во второе равенство:

Имеем:

   Доказано.

6. Пусть ап – произвольный член геометрической прогрессии, q – знаменатель этой прогрессии.

Тогда ап + 1, ап + 2, ап + 3,… – последующие члены этой прогрессии. Найдем их сумму:

По условию ап в 6 раз больше этой суммы. Получим уравнение:

.

Значит, знаменатель

Ответ:

Вариант 1

1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке

2. Составьте уравнения касательных к графику функции  в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точку ппересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции  в точке с абсциссой  параллельна биссектрисе первой координатной четверти.

Вариант 2

1. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке

2. Составьте уравнения касательных к графику функции  в точках его пересечения с осью абсцисс. Найдите точ-кку пересечения этих касательных.

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы и постройте её график.

4. Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции  в точке с абсциссой  параллельна прямой

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1.

Уравнение касательной:

Ответ:

2.

Найдем точки пересечения с осью 0х:

Составим уравнение касательной в точке х = 1:

Получим,

Составим уравнение касательной в точке х = –1:

Получим

Найдем точку пересечения касательных:

 х = 0

Ответ: ,  (0; –6).

3.

1) Область определения:

2) Чётность / нечётность:

     – чётная.

3) Асимптоты.

    Асимптот нет.

4) Монотонность и экстремумы.

    х = 0,   х = ± 1

5) Контрольные точки:

4.

Биссектриса первой координатной четверти имеет уравнение у = х. Если касательная ей параллельна, то она имеет такой же угловой коэффициент, то есть  k = 1.

Таким образом, нужно найти такое значение параметра а, при котором производная данной функции в точке  равна 1.

Ответ:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8

Вариант 1

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [0; 1];

б)  на отрезке [–π; 0].

2. Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет три корня?

Вариант 2

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а)  на отрезке [–2; 1];

б)  на отрезке

2. В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из неё проведены прямые, параллельные катетам. Получился прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

3. Исследуйте функцию  на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение  имеет два корня?

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1. а)    [0; 1]

          у (0) = 10

Ответ:

б)     [–π; 0].

Ответ:

2.                              

Пусть дан прямоугольный , в котором  АВ = 18, АС = 24. Пусть AKMN – прямоугольник, вписанный в .

1) Оптимизируемая величина – площадь прямоугольника AKMN. Обозначим её буквой S.

Пусть KM = х, тогда NС = 24 – х. Треугольники АВС и NMС подобны. Составим пропорцию:

Откуда

Выразим площадь прямоугольника AKMN:

2)

Найдем производную полученной функции:

 х = 12

3) При х = 12 функция достигает наибольшего значения. Найдем стороны прямоугольника AKMN:

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника:

Ответ: 15 см.

3.

1) Если  то

    Если  то

Получим:

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

3)

4.  – 3 корня.

Решим это уравнение графически. Построим график функции

Прямая у = а будет пересекать график этой функции в трёх точках, если

Ответ: