Основные понятия и предмет теории вероятностей
консультация по алгебре (10 класс) на тему

Основные понятия и предмет теории вероятностей

                                                                                         (теория)

“Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей.”

 П.С.Лаплас

          Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому охотились тогда коллективно.

           Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

           Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите  знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

            Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные ,достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт - подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев.

             Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон (1707-1788 гг.) в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал  монету - герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале прошлого  столетия подбрасывал ее 24000 раз – герб выпал 12012 раз.  В 60-х годах двадцатого века американские экспериментаторы повторили опыт. При 10000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

             Рассмотрим другой, более сложный пример-эксперимент с так называемой доской  Гальтона.  Доска размещена вертикально.   Из верхнего резервуара стальные шарики  катятся (на отдельных  участках падают) вниз и накапливаются в нижних гнездах. Каждый шарик, встретив на своем пути очередное препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд. Между тем правильное расположение шариков (симметричное, при котором в центральных гнездах их много, а в крайних мало), повторяющееся от эксперимента к эксперименту, убедительно свидетельствует о существовании объективного закона их распределения.

            Итак, случайности могут подчиняться относительно простым и более сложным закономерностям. Но, спрашивается, где же математика, где математические задачи?

             Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие таких «наглядных пособий», как монета или игральная кость. Формированию основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности жизни, подсчет населения, практика страхования.

           К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей. Слово «азар» по-арабски означает «трудный». Так, арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Например, при бросании двух костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.

           В 1494 году итальянский математик Л.Пачиоли (1454-1514) опубликовал энциклопедический труд по математике, где разбирал следующую ситуацию.

          Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл   а (а<m),а второй – b (b<m) партий. Как справедливо разделить ставку?

          Сам Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку в отношении a/b, не учитывая числа партий, которые нужно еще выиграть, чтобы получить свою ставку.

Спустя без малого 50 лет другой итальянский математик Д.Кардано (1501-1576) поверг рассуждения Пачиоли справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.

            Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была, наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б.Паскалем (1623-1662) и П.Ферма (1601-1665).

             Посмотрим, как решил Б.Паскаль задачу в случае m=3,   a=2,  b=1. Допустим, что игра прервана, когда у игрока А две выигранные партии, а у игрока В одна. Как делить ставку, пока неясно. Но все упростилось бы, если бы игроки сыграли еще одну партию. В самом деле:

1. если эту партию выигрывает игрок А, то он как набравший заветное число m=3 выигрышей получает всю ставку;
2. если партию выигрывает игрок В, то справедливо разделить ставку пополам, так как у каждого по две выигрышные партии.

Возможности у каждого из этих исходов одинаковы.

Таким образом, игрок А может выиграть всю ставку или ½ ставки, т.е. в среднем

                 ( 1+½)/2=¾ ставки.

У игрока В возможности поскромнее: он может или ничего не  выиграть, или выиграть½ ставки, т. е. в среднем

                ( 0+½)/2=¼ ставки.

Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3/1 (а не 2/1, как предлагал Пачиоли).

              В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем временам названием « Учение о случаях». Её автор - французский математик А.Муавр (1667-1754). Самое большое его достижение – открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в случайных явлениях. Он впервые заметил и теоретически обосновал роль распределения, которое позднее было названо нормальным. Закон нормального распределения имеет важное практическое значение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных и много других случайных событий физической и биологической природы. А.Муавру также принадлежит слава введения понятия независимости событий, открытия теоремы умножения вероятностей.

               Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П.Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».

                В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей».

                В 1846 году Петербургская академия наук издала книгу В.Я.Буняковского (1804-1889) под названием  «Основания математической теории вероятностей». Это был первый русский учебник по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский математик П.Л.Чебышев (1821-1894). Хотя он по теории вероятностей написал не так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное значение вплоть до наших дней. Ученик П.Л.Чебышева А.А.Марков (1856-1922) развил труды своего учителя. Ему принадлежит слава открывателя важной области применения теории вероятностей - теории вероятностных (стохастических), процессов.

             Наследие русских математиков получило развитие в работах  Е.Е.Слуцкого С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина и особенно академика А.Н. Колмогорова.

До появления ТВ как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определенных условий однозначно определяет результат.

Но во многих случаях на практике такой подход не применим. То есть предсказать наступление данного явления при реализации соответствующих условий не всегда возможно: это явление может произойти, а может и не произойти (выпадение герба при бросании монеты нельзя гарантировать, продолжительность жизни определенного человека заранее неизвестна и т.д.)

Определение. Случайным событием, связанным с данным опытом, называется такое событие, которое может наступить, а может и не наступить при осуществлении данного опыта.

Случайные события обозначаются латинскими буквами A, B, C, D,...

Приведем примеры случайных событий.

Пример 1. Опыт: монета бросается один раз.

A – выпадение герба;                         B – выпадение решки;

C – зависание монеты в воздухе (или падение на ребро);    D – монета упадет.

Пример 2. Опыт: игральная кость бросается один раз.

A1 – выпадет одно очко;

A2 – выпадет два очка;

             .  .  .

A6 – выпадет шесть очков;

B – выпадет четное число очков;

C – выпадет нечетное число очков;

D – выпадет число очков, кратное трем;

М – выпадет меньше трех очков.

Пример 3. Опыт: наудачу вынимаем одну карту из колоды в 36 карт.

A1 – возьмем пиковую шестерку;

A2 – возьмем крестовую шестерку;

             .  .  .

A36 – возьмем червовый туз;

B – возьмем карту красной масти;

C – возьмем карту червовой масти;

D – возьмем карту черной масти;

М – возьмем картинку;

К – возьмем туза.

Определение. Случайное событие, связанное с данным опытом, называется достоверным, если оно обязательно наступает в результате данного опыта.

Достоверное событие обозначается буквой  Е.

В примере 1 E=D; в примере 2 достоверным событием является выпадение не больше шести очков.

Определение. Случайное событие, связанное с данным опытом, называется невозможным, если оно никогда не  наступает в результате данного опыта.

В примере 1 невозможным событием является событие С; в примере 2 невозможным событием является выпадение 7 очков; в примере 3 невозможным событием является извлечение джокера; при выборе пяти карт из обычной колоды невозможно извлечь 5 тузов и т.д.

Замечание 1. Обращаем внимание на необходимость слов «связанное с данным опытом»! Если в определении невозможного события пропустить эти слова, то, например, событие «Выпадет 6 очков» можно объявить невозможным, так как оно никогда не наступает при бросании монетки.

Замечание 2. Оговорить с учениками, что мы изучаем «нормальную» теорию вероятностей, то есть отражающую реальную действительность. Поэтому, например, при бросании монеты в обычных условиях событие «Монета упала на ребро» считается невозможным, а событие «Монета упала» - достоверным. Разные фантастические ситуации рассматриваются в другой науке – которая,  кажется, называется «теория катастроф».

Пусть с некоторым опытом связаны два события А и В.

Определение. Случайные события А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого (в этом же опыте). В противном случае события называются совместными.

Таким образом, несовместные события в одном опыте одновременно наступить не могут.

В примере 1 несовместными событиями являются А и В.

В примере 2 для события А1 несовместными являются события А2 ,..., А6, В, D. События В и С несовместны, а события В и D – совместны (так как при выпадении шести очков они оба одновременно наступают).

В примере 3 для события А36 несовместными являются события А1,..., А35, D. События В, С, М, К совместны с А36.

Пусть есть некоторый опыт и связанное с ним событие А.

Определение. Противоположным для события А называется событие, обозначаемое , наступающее тогда и только тогда, когда событие А не наступает.

Таким образом, противоположные события никогда не могут одновременно наступить (А и  всегда являются несовместными), и никогда не могут одновременно не наступить!

В дальнейшем нас будут интересовать только такие опыты, которые в принципе можно повторить неограниченное число раз (бросание монеты, обследование изделия на брак, покупка лотерейного билета и т.д.). Любое случайное событие, которое может наступить в такого рода опытах называют массовым или статистическим. Массовые случайные события следует отличать от единичных, обладающих той особенностью, что опыт, с которым связаны эти события принципиально не может быть повторен.

Пример. 10 июля 2009 года в Брянске будет идти дождь – исключительное событие. Повтор этого дня невозможен. 10 июля в Брянске будет дождь – массовое событие.

 Теория вероятности занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям. (Случайным событиям свойственны закономерности: при бросании монеты средний результат большого числа бросаний утрачивает случайный характер, становится закономерным: отношение числа выпавших гербов и решек стремится к 1 при количестве бросаний, стремящемся к бесконечности.)

Статистическое определение вероятности случайного события

Говоря о случайных событиях, упоминают, например, что одно из них более вероятно (с большей степени возможности, имеет больше шансов наступить), чем другое (выпадение герба при бросании монеты более вероятно, чем совпадение дня рождения у двух случайно выбранных людей).

Чтобы придать подобным сравнениям точный количественный смысл необходимо с каждым событием связать число, выражающее степень возможности данного события. Это делается следующим образом.

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт произведён N раз, и при этом событие А наступило в N случаях. Составим отношение

,

называемое частотой наступления события А в рассматриваемой серии опытов.

Практически для всех случайных событий частота обладает свойством устойчивости. Это означает, что с увеличением числа опытов частота приближается к некоторому числу (или колеблется около некоторого числа). Это число, выражающее степень возможности события А, решили называть его вероятностью.

Определение 1. Вероятностью случайного события называется число, около которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

Обозначается вероятность события А символом .

Таким образом, .

Пример 1. Для изучения частот выпадения герба были произведены эксперименты, которые дали следующие результаты.

Очевидно, что . Значит, вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5.

Пример 2. По официальным данным шведской статистики относительная частота рождения девочек по месяцам 1935 года характеризуется следующими числами (расположенными в порядке следования месяцев с января):

0,486;                0,489;                0,490;                0,471;                0,478;                0,482;                

0,462;                0,484;                0,485;                0,491;                0,482;                0,473.                

Эти частоты группируются около числа 0,482, которое можно считать вероятностью рождения девочки.

Вообще, принято считать вероятность рождения девочки равной 0,485, хотя по мнению некоторых исследователей за последние полвека эта вероятность в мире увеличилась.

Для школьных задач рождение мальчика и девочки считают равновероятными событиями, то есть вероятность каждого равна 0,5.

Заметим, что устойчивость частоты представляет собой одну из простейших закономерностей, проявляющуюся в сфере случайного. Эта закономерность составляет основу всех приложений теории вероятности в практике.

Определение 1 называется статистическим определением вероятности.

Это определение исторически появилось первым. Значит, оно самое простое. В школьном курсе математики тоже целесообразно рассматривать статистическое определение при первом же знакомстве с вероятностью события.

Статистическое определение не является математическим в строгом смысле слова: «опыт», «колебание», «длинная серия» точно не определены. Математической основой теории вероятностей является аксиоматическое определение вероятности. Но статистическое определение не является лишним. Оно играет важную роль для приложений теории вероятностей. Практическое истолкование результатов, полученных с помощью теории вероятностей, связано именно со статистическим определением. Если нашли теоретическим путём, что , то реальная ценность результата состоит прежде всего в предсказании того, что при большом числе опытов частота наступления событий А будет близка к числу p.

Из статистического определения вероятности следует, что  так как , то и

При этом, если событие А достоверно, то есть N=N, =1, . Таким образом, вероятность достоверного события равна 1.

Если А - невозможное событие, то N=0, , , то есть вероятность невозможного события равна нулю.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим некоторую совокупность событий: . Если в результате каждого испытания обязательно наступает хотя бы одно из этих событий, то говорят, что событие  образует полную группу событий.

Пример. Опыт: игральная кость бросается один раз.

а) А1 - выпадение 1 очка;

    А2 - выпадение 2 очков;

    - - - - - - - - - - - - - - - - -

    А6 - выпадение 6 очков.            А1,…, А6 - полная группа событий.

б) А1 - выпадение чётного числа очков;

    А2- выпадение нечётного числа очков.     А1, А2  – полная группа событий.

в) А1 - выпадение 1 очка;

А2  - выпадение четного числа очков;

А3 – выпадение числа очков, кратного трём;

А4 – выпадение 5 очков.       А1,…, А4 - полная группа событий.

Из примера видно, что для одного и того же опыта можно построить разные полные группы событий.

Пусть с некоторым опытом связана система конечного числа событий , обладающая свойствами:

1) система  образует полную группу событий;

2) эти события попарно несовместны;

3) события  - равновозможны, то есть не существует никаких объективных причин, из-за которых одно из событий будет наступать чаще, чем другие.

Пусть имеется событие А, которое наступает при появлении некоторых из событий и не наступает при появлении других. Те из элементарных событий , при наступлении которых наступает также и событие А, называются благоприятными для А. Допустим, что из общего числа N, рассматриваемых исходов опыта , благоприятными для события А являются Nбл исходов.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А, связанного с некоторым опытом, называется отношение числа исходов опыта, благоприятных для А, к общему числу всех равновозможных, попарно несовместных исходов опыта:

.

Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков? не менее трёх очков? 6 очков?

Решение. Опыт - бросание игральной кости один раз. С этим опытом можно связать разные группы событий, удовлетворяющие условиям 1)-3):

I. А1 - выпадение 1 очка;

    А2 - выпадение 2 очков;

    - - - - - - - - - - - - - - - - -

    А6 - выпадение 6 очков.  N=6

II. А1 - выпадение чётного числа очков;

    А2- выпадение нечётного числа очков.  N=2.

Вероятность события А – выпадение четного числа очков – можно найти с помощью любой из этих систем событий:

в I-м случае N=6, Nбл=3, ;

во II-м случае N=2, Nбл=1, .

Но уже вероятность события В – выпадение не менее трёх очков – с помощью системы событий II найти невозможно, так как события А1,  А2 не являются для события В ни благоприятными, ни неблагоприятными. Причина этого состоит в том, что в системе II события «сложные», их можно сформулировать через более простые.  Поэтому обычно при нахождении вероятности события с помощью классического определения выбирают систему так называемых элементарных исходов опыта, то есть таких, которые невозможно представить через более простые. Заметим, что элементарные исходы опыта всегда являются попарно несовместными. Тогда классическое определение вероятности можно переформулировать следующим образом.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А, связанного с некоторым опытом, называется отношение числа исходов опыта, благоприятных для А, к общему числу всех элементарных равновозможных исходов опыта:

.

Это определение обычно и используют при решении задач.

Тогда в рассматриваемом примере вероятности событий находим, рассматривая систему событий I, N=6: для события В Nбл=4, ; для события С – выпадение 6 очков – Nбл=1, .

Из классического определения вероятности (поскольку ) также следует, что .

Если Е - достоверное событие, то ему благоприятны все события, то есть Nбл =N, следовательно, р(Е)=1.

Если U - невозможное событие, то Nбл =0, следовательно, р(U)= 0.

Сумма и произведение событий.

Вероятность суммы событий

Напомним определение противоположного события (унарная операция над событиями).

Определение. Противоположным для события А называется событие, обозначаемое , наступающее тогда и только тогда, когда событие А не наступает.

Пример. Если событие А - выпадение чётного числа очков при бросании игральной кости, то  - выпадение нечётного числа очков. Если событие А заключается в том, что при случайном выборе четырёх карт из колоды все выбранные карты окажутся тузами, то  - хотя бы одна из выбранных карт не туз.

Рассмотрим бинарные операции над событиями.

Пусть с некоторым опытом связаны два события  А и В.

Определение. Суммой событий А и В называется событие, обозначаемое А+В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы  одно из событий А или В.

(То есть операция сложения событий аналогична операция дизъюнкции  для высказываний.)

Суммой  называется событие, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий .

Пример 1. Из урны, содержащей шары белого, синего, чёрного цвета на удачу извлекают 1 шар. События А и  А  означают появление белого и чёрного шаров соответственно. Тогда событие А+А означает появление или чёрного шара или белого, то есть не синего.

Пример 2. Бросается игральная кость один раз.

Событие А - выпадение чётного числа очков.

Событие В - выпадение хотя бы трёх очков.

Событие С – выпадение нечётного числа очков.

Тогда событие А+В – выпадение 2-х или 3-х, или 4-х, или 5-ти или 6-ти очков, то есть выпадение хотя бы двух очков.

Событие  – выпадение чётного или нечётного числа очков – наступает всегда, то есть является достоверным событием: .

Замечание. Из определений противоположных событий и суммы событий следует, что .

Пример 3. Покупается три лотерейных билета. Пусть события  означают выигрыш по первому, второму, третьему билету соответственно. Тогда событие  означает выигрыш или по первому, или по второму, или по третьему билету, то есть выигрыш хотя бы по одному из билетов.

Определение. Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда,  наступают оба события А и В одновременно.

(То есть операция произведения событий  аналогична операции конъюнкции для высказываний.)

Произведением событий  называется событие, которое заключается в одновременном наступлении событий .

Пример 3. Бросается игральная кость один раз.

Событие А - выпадение чётного числа очков.

Событие В - выпадение числа очков, кратного трём.

Событие С – выпадение нечётного числа очков.

Тогда событие АВ – выпадение  6 очков.

Событие  – одновременное выпадение чётного и нечётного числа очков – является невозможным событием.

Замечание. Из определений противоположных событий и произведения событий следует, что  – невозможное событие.

Пример 4. Покупается три лотерейных билета. Если события  означают выигрыш по первому, второму, третьему билету соответственно, то событие  означает выигрыш по всем трём билетам.

Теорема 1. Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей каждого из них:

         (1)

Доказательство (с помощью статистического определения вероятности).

Пусть проводится серия из N опытов.

 - столько раз при этом наступило событие А,

        - столько раз наступило событие В.

 =+, так как события А и В в одном опыте одновременно наступить не могут.

Делим равенство на N: .

При  дробь слева  колеблется около величины , а справа  –  около величины . Следовательно, .

Методом математической индукции формула (1) распространяется на случай любого конечного числа событий: если события  попарно несовместны, то .

Применяя теорему 1 к противоположным событиям (которые всегда являются несовместными), получаем: . Так как  - достоверное событие, следовательно, . Тогда

,    (2)

то есть сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Из формулы (2) можно получить два важных вывода.

1)  - правило нахождения вероятности противоположного события;

2)  - способ решения задач, при котором искомая вероятность события А находится через вероятность противоположного события (применяется в случае, когда   находится легче, чем ).

Теорема 2. Если события А и В совместны, то

.

Условная вероятность. Независимые события.

Вероятность произведения событий

При рассмотрении двух случайных событий А и В возникает вопрос: насколько эти события связаны друг с другом? В какой мере наступления одного из них влияет на возможность наступления другого?

Возможны следующие случаи.

1. События событий А и В никак не связаны друг с другом (примеры будут дальше).
2. Между событиями А и В  существует строгая следственная зависимость: наступление одного из них обязательно приводит к наступлению другого (или ему противоположного).

Пример. Событие А - случайно выбранное изделие данного предприятия не содержит брака,  событие В – выбранное изделие является первосортным. Ясно, что наступление события В обязательно приводит к наступлению события А.

3) Вместе с вышеуказанными «крайними случаями» существует «промежуточная» ситуация: непосредственная причинно-следственная  зависимость между событиями А и В  отсутствует, но некоторая зависимость между ними  всё же имеется.

 Пример. Бросается игральная кость один раз. Событие А - выпадение чётного числа очков. Событие В -  выпадение  числа очков, большего 3.

Из события А не следует событие В, так как если выпало чётное число очков, то оно может быть и не больше 3 (например, 2 очка). Аналогично,                       из В не следует А,  из А не следует  , и так далее.  Но связь между этими событиями есть!

Из 3 случаев, к которым сводится В (выпадение 4,5,6 очков), событию А благоприятны два. Поэтому, если считать событие В наступившим, то вероятность события А  будет равна 2/3.

В то же время при отсутствии предварительной информации об исходе бросания вероятность события А равна 1/2. Так как 2/3 больше 1/2, то ясно, что наступление события В увеличивает вероятность события  А.

Определение. Пусть А и В - два случайных события по отношению к некоторому опыту, причем . Тогда число

            (1)

называется вероятностью события  А при условии, что наступило событие В (или просто условной вероятностью события А).

Из равенства (1) следует, что

  (2)

Таким образом, вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из этих событий, при условии другого, умноженной на вероятность самого условия.

Пример.  Все грани игральной кости заклеены бумагой: грани 1,2,3 - красной, грани 4,5,6 – чёрной. При бросании кости выпала чёрная грань. Какова вероятность того, что на этой грани стоит чётное число?

Решение. Пусть событие А – выпадет чётное число, событие В - выпадет чёрная грань. Тогда - вероятность выпадения чётного числа на чёрной грани - равна

 .

Заметим, что безусловная вероятность события А равна 1/2.  

Числа   и , вообще говоря, различны, т.е. наступление события В изменяет вероятность события А. Но бывают и ситуации, когда этого не происходит.

Определение 1. Если  (то есть наступление события В не меняет вероятность события А), то говорят, что событие А не зависит от В.

Тогда если событие А не зависит от В, то из формулы (2) получаем, что:

 .                (3)

Формула (3) называется правилом умножения вероятности. Справедлива только для независимых событий!!!

Справедливо и обратное предложение: если выполнено (3), причем , то А не зависит от В.

Если , то равенство (3) получается верным автоматически. (Действительно,  – всегда верно. Так как , ,  – неотрицательные числа, то:  ==0, то есть  (3)- верно.)

Далее независимость события А от В будем понимать, как выполнение равенства (3). Таким образом, получаем другое определение независимых событий.

Определение 2. Событие А называется независимым от события В, если выполняется .

Определение 1 – смысловое, а определение 2  во многих случаях более удобно в работе. Например, с его помощью легко показать, что если событие А не зависит от В, то и В не зависит от  А.

Действительно, так как ВА=АВ, то из (3) следует, что , что по определению 2 означает независимость события В от А.

Таким образом, отношение независимости является симметричным. Поэтому в дальнейшем события называются просто независимыми.

Пример. Из колоды игральных карт выбирают наугад одну карту. Событие А – будет вынут туз. Событие В – будет вынута карта пиковой масти. Интуитивно ясно, что А и В – не зависят друг от друга (цена карты не зависит от масти).

Докажем это по определениям 1 и 2. Найдем (с помощью классического определения вероятности) вероятности событий  А, В, и  АВ (будет вынут пиковый туз):

.

Так как , то по определению 2   А и В - независимые события.

Теорема. Если события  А и В – независимы, то и независимы и события ,В.

Доказательство. Так как  А и В  независимы, то . Значит,

. (4)

С другой стороны, . Следовательно , откуда получаем:

.   (5)

 Из равенств (4) и (5) следует, что , то есть по определению 2 события  и  В – независимы.

Дважды применяя теорему, получаем, что если А и В независимы, то независимы и события , .

На практике для установления независимости  одного события от другого редко пользуются определениями. Обычно в задачах независимость рассматриваемых событий определятся интуитивно или дана по условию.

Определение 3. События  называются независимыми, если вероятность любого из них  не меняется при наступлении какого угодно  числа других событий из той же совокупности.

Определение 3 равносильно определению 3 .

Определение 3 . События  – независимы, если для них справедливы соотношения:

               (4)

для любого подмножества  множества .

Например, при n=3 соотношения (4) принимают вид:

         (6)

Замечание. Выполнение равенств (5) не обеспечивает (6), то есть попарная независимость событий не гарантирует их независимость в совокупности!

Пример. Бросаются две монеты. Рассмотрим события:

А1 - на первой монете выпадет герб;

А2- на второй монете выпадет герб;

А3- обе монеты упали на одну сторону.

, . Следовательно, , то есть события А1, А2, А3 -  попарно независимы. Но

,

 то есть условие (6) не выполняется. Значит, события А1, А2, А3  зависимы.