Дифференциальные уравнения и их приложения
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

 Элективный курс «Дифференциальные уравнения и их приложения»   

Пояснительная записка

Программа элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения»  образовательной области «Математика» ориентирована на обучающихся старшей школы. Курс может рассматриваться в группах с  естественнонаучным и физико-математическим профилем.  Он может читаться параллельно с их изложением основного курса математического анализа или с некоторым опережением.  Основная цель курса — дать учащимся представление о дифференциальных уравнениях, как о важнейшем вычислительном аппарате классической физики, геометрии, биологии. «Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями» – высказал И. Ньютон.  При этом представляется важным формулировать основные понятия математического анализа физическим и геометрическим языком, избегая математической формализации изложения.  

Основной задачей курса является обучение слушателей составлению дифференциального уравнения как  методу моделирования физического, биологического или любого другого процесса, проходящего в природе.

Содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса математики, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся. Данный курс дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными способами решения математических задач, способствует формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления.

Крупные открытия и исследования очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом многих ученых. Это относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов – теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Поэтому мной была выбрана тема элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения». Приведённые задачи не являются полностью математическими. Точнее, речь идёт о задачах на составление и решение дифференциальных уравнений, включая доведение задачи до числового ответа, что важно в приложениях.

При успешной реализации курса обучающиеся учатся работать с устной, печатной и ИКТ информацией. От обучающихся требуется больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд.

При составлении настоящего элективного курса использовались материалы сети Интернет. Основными методами элективного курса стали исследовательская деятельность и  метод учебного проекта. В каждом разделе курса были созданы творческие группы исторического, математического, физического направления и искусство. Результаты представлены в виде презентаций.

Элективный курс рассчитан на 34 часа в год, 1 час в неделю.

Данный курс апробирован в течение 2 лет в МБОУ СОШ №4 с УИОП в старших классах физико-математического профиля.  

Цели курса:

• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса;
• формировать построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
• развитие самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.
• развитие логического мышления, математическую интуицию,  творческие способности, необходимые для применения их в дальнейшей будущей профессиональной деятельности;

• дать учащимся представление о дифференциальных уравнениях, как о важнейшем вычислительном аппарате классической физики, геометрии, биологии, археологии, медицине;
• обобщить и систематизировать знания учащихся по таким разделам математики, как пределы функции, производная и первообразная функции;
• познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения дифференциальных уравнений, выходящих за рамки школьного курса математики;
• формировать умения применять полученные знания при решении нестандартных задач;
• выработать умения работать в творческой группе.

Задачи курса:

• развивать интерес и положительную мотивацию изучения математики;
• помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
• формировать умение находить пределы функции, производную и первообразную функций;
• повышать мотивацию школьников к изучению математики на основе метапредметной интеграции;
• формировать у учащихся основные информационно-коммуникативные компетентности в исследовательской и проектной деятельности;
• формирование навыков дистанционного обучения;
• демонстрация межпредметных связей математики с другими дисциплинами;
• развивать и совершенствовать навыки самообразования, направленные на выполнение творческих работ, на самостоятельное составление задач;
• развивать навыки самостоятельной работы с информацией.

К результатам освоения курса  и организации продуктивной деятельности обучающихся относятся следующие:

в направлении личностного развития:

• знакомство с фактами исторического развития дифференциальных уравнений;
• готовность и способность к самообразованию; творческой и ответственной деятельности;
• готовность и способность вести диалог со сверстниками, находить общие цели  и сотрудничать для их достижения;
• формирование навыков сотрудничества со сверстниками и  педагогами  в учебно-исследовательской, проектной деятельности;
• полученные знания и умения помогут успешно обучаться в профильном классе и сдать государственную итоговую аттестацию.

предметных результатов:

• анализировать задачи и их решение, комментировать ход решения задачи, самостоятельно составлять задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений;
• составлять и решать некоторые простейшие типы дифференциальных уравнений;
• использовать чертеж для схематичной записи условия задачи;
• составлять дифференциальные уравнения в ходе решения задачи;
• проводить полные обоснования при решении разнообразных задач математики и смежных областей знаний, производственной практики;
• составлять алгоритмы решения задач с помощью производной и первообразной функции;
• находить общее решение  простейших дифференциальных уравнений;
• сформировать алгоритм решения задачи Коши;
• рассмотреть решение уравнений с разделяющимися переменными;
• освоить способы деятельности, применимых на занятиях с интеграцией в физику, биологию, экологию, археологию, демографию населения и численности фауны.

в метапредметном направлении:

• самостоятельно определять цель и составлять план деятельности, осуществлять и корректировать деятельность, использовать все возможные ресурсы для реализации проектной деятельности;
• владение умениями совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими ее участниками; объективное оценивание своего вклада в решение общих задач коллектива;
• владеть навыками учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов (наблюдение, сравнение, моделирование и др.)
• использование для решения познавательных и коммуникативных задач различных источников информации, включая энциклопедии, словари, Интернет-ресурсы и другие базы данных;
• умение самостоятельно оценивать свои учебные достижения;
• создание письменных высказываний, адекватно передающих прослушанную и прочитанную информацию с заданной степенью свернутости (кратко, выборочно, полно);
• приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов;
• отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;
• осознавать социальную, практическую и личную значимость учебного материала;
• создать содержательные и организационные условия  для развития умений решать задачи с помощью дифференциальных уравнений; осознанное определение сферы своих интересов и возможностей;
• развивают логическое и критическое мышление, культуру речи, способности к умственному эксперименту;
• соблюдение правил здорового образа жизни.

Структура курса представляет собой 6 логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность современных компетенций обучающихся. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для обучающихся различной степени подготовки. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Отбор содержания основан на принципах научности, доступности, преемственности, практической направленности.

Формы занятий с учащимися: лекционные и семинарские занятия, групповые и индивидуальные формы работы: лекции, собеседования по изученному материалу, самостоятельное изучение материала, практикумы, исследовательские работы, решение задач.

 Формы и методы контроля: тестирование, доклады, тематические презентации.

Содержание

1. История возникновения и развития понятия дифференциальных уравнений (1 час).

2. Производная и первообразная (8 часов)

Понятие предела. Свойства пределов. Мгновенная скорость.

Производная функции в точке, геометрический смысл, касательная к графику   функции.

Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций.

Показательная и логарифмическая функции. Экспонента как ненулевая функция, совпадающая со своей производной.

Нахождение перемещения по графику скорости. Первообразная, определённый интеграл и формула Ньютона-Лейбница.

Простейшие приёмы интегрирования.  

Общие правила интегрирования.

Интегралы от некоторых элементарных функций.

3.Простейшие дифференциальные уравнения. Уравнение (12 часов).

Дифференциальное уравнение и его решения. Задача Коши.

Закон Мальтуса. Учёт рождаемости и смертности.  Биотический потенциал живых организмов.

Модель неограниченного роста. Примеры реально зафиксированных вспышек роста живых организмов и их  влияние на экосистемы.

Закон радиоактивного распада. Уравнение радиоактивного распада.

Изменение атмосферного давления с высотой.        

Задача о трении намотанного каната.

4. Дифференциальные уравнения вида  (5 часов).  

Модель изменения численности с учётом конкуренции за ресурс (модель Ферхюльста).  Логистическая  кривая.

Задача о нагревании или остывании тела во внешней среде с постоянной температурой.

Задача о вытекании воды из сосуда под действием тяжести.

5. Простейшие типы дифференциальных уравнений  (5 часов).

Обзор некоторых простейших типов дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.

Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными.

Определение возраста горной породы.

Затухающие колебания.        

Модель роста численности «хищник-жертва». Уравнения Лоттки - Вольтерра.

Задача о падении тела в воздухе.

Реактивное движение. Формула Циолковского.

Модель сердечно-сосудистой системы человека. Модель Каараслана – Солодянникова.

6. Дифференциальные уравнения и искусство. Графика А.Т. Фоменко (2 часа).

Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение

Учебники и учебные пособия:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, профильный уровень10 класс, учебник. М.: Мнемозина,2013г.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, профильный уровень11 класс, учебник М.: Мнемозина,2013г.
3. Шубин М. А.  «Математический анализ для решения физических задач» М., МЦНМО, 2003.
4. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения,М., МГТУ им. Баумана, 2004.
5. Боярчук А.К. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., Эдиториал, 2001
6. Алгебра и начала анализа для 9–10 классов: Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986.
7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX–X кл.: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
9. http://www.chronologia.org/art/index.html#manin 
10. http://virtualmathmuseum.org/gallery4.html 

Технические средства обучения:

• мультимедийный компьютер;
• интерактивная доска.

 Информационные средства:

• интернет.