Решение задач с помощью квадратных уравнений
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему
Опубликовано 11.01.2016 - 13:33 - Кутоманова Евгения Михайловна
Подписи к слайдам:
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Подготовила:Учитель математики Кутоманова Е.М.2015-2016 учебный год
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
Необходимость решать квадратные еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
древнегреческий математик из Александрии
Он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
В верхней строке записано уравнение
Лист из Арифметики
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в”Книге об абаке”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Этот вывод и был сформулирован впервые французским математиком Франсуа Виетом, который все знают как теорема Виета
В приведенном квадратном уравнении сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение его корней равно свободному коэффициенту x1 + x2 = –p x1 • x2 = q
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком М.Штифелем.
Спортивная площадка площадью 1800кв.м имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки.
Х м
х м- ширина площадки,(х+5)м- длина площадки,S=х(х+5).х(х+5)=1800,х2+5х-1800=0,D=25+7200=7225>0,х=(-5±85):2,х1=-45 не удовлетворяет условию задачи, х2=40, х+5=45Ответ: 40м и 45м
Задача №2
Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132.Пусть х и х+1 – неизвестные числа, тогда х(х+1)=132,х2 + х -132=0,D=1+528=529>0,х=(-1±23):2, х1=-12- не удовлетворяет условию задачи,х2=11, х+1=12.Ответ: 11 и 12.
Справка.Натуральные числа: 1,2,3,4,5,6,7,…
Задача №3
Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195.Пусть х и х+2 – искомые числа, тогда х(х+2)=195,х2+2х-195=0,D=1+195=196>0,х=-1±14,х1=-15-не удовлетворяет условию задачи,х2=13, х+2=15.Ответ: 13и15.
Справка.Нечетные числа: 1,3,5,7,9,11,..
Задача №4 Периметр прямоугольника равен 10 м, площадь-6 м2. Найти его стороны.
Пусть а и b – стороны прямоугольника, тогда Р=2(а+b), 2(а+b)=10, а+b=5, а=5-b; S=b(5-b), 5b-b2 =6, b2 -5b+6=0, D=25-24=1>0, b=(5±1):2, b1=3, b2=2; а1=2, а2 =3.Ответ: 2м и 3м.
Задача5.Индусская задача
«На две партии разбившисьЗабавлялись обезьяны.Часть восьмая их в квадратеВ роще весело резвиласьКриком радостным двенадцатьВоздух свежий оглашали...Вместе сколько ты мне скажешь,Обезьян там было в роще?»
решение
Задача имеет два решения
Задача №6
Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой.
Справка1га=10000мІ
решение
хм – сторона поля;(х+400)м- другая сторона.По условию площадь 1400000м2.Составим уравнение.х(х+400)=1400 000, х 2 + 400 х – 1400 000=0,D = 160000 + 5600 000 = 5760000
х1 =1000, х2 =1400.
Ответ. 1000м, 1400м.
Х м
Задача №6
Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
решение
х км/ч-расстояние между городами;х/90 ч-время скорого поезда;х/60 ч-время товарного поезда;х/90 меньше х/60 на 1,5часа.Составим уравнение:х/60 - х/90 = 3/2;3х-2х=270;х=270. Ответ. 270 км.
Задача №7
Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?
Решение.
х-вся работа;х/18 ч.- время затраченное мастером;х/12 ч.- время затраченное учеником;х/18 меньше х/12 на 3 часа.Составим уравнение:х/12 – х/18 = 3;3х-2х=108;х=108. Ответ.108 деталей.
Задача №8
Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?
решение
Скорость(км/ч)
Время(ч)
Путь(км)
Автобус
Х
60/Х
60
Такси
Х+10
60/(Х+10 )
60
60/(х+10) меньше 60/х на1/12. Составим уравнение: 60/х -60/(х+10)=1/12; 720(х+10)-720х=х(х+10); 720х+7200-720х= хІ+10х; хІ+10х-7200=0; D=28900; x1=-90 не удовлетворяет условию задачи; х2= 80. Ответ. 80 км/час.
Задача №9
Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?
Тоннаж машин (т)
Число Машин(шт)
Общий груз (т)
Заказано
80/х
х
80
На самом деле
80/(х-4)
х-4
80
=
80/(х-4) больше 80/х на 1 тонну.Составим уравнение:80/(х-4)-80/х=1;80х-80х+320 = хІ-4х;хІ-4х-320=0;D=1296; x 1=-16 –не удовлетворяет условию задачи; х2 =20.Ответ. 20 машин.
1. Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? 2.Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 3.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
Ответы:
1. 480/(х-4) – 480/х = 20; х = 82. 18/х + 40/(х+3) = 2, х = 273. 270км
Решение задач.
№1.х страниц предполагал читать ученик в день,480/х дней предполагал ученик читать книгу,(х+20) страниц читал ученик в день,480/(х+20) дней читал ученик книгу,480/х- 480/(х+20) =4,480(х+20)-480х=4х(х+20),120(х+20)-120х=х(х+20),120х+2400-120х=х2+20х,х2+20х-2400=0,D1=100+2400=2500>0,х=-10±50,х1=-60 не удовлетворяет условию задачи,х2=40, х+20=60, 480:60=8(дней) читал ученик книгу.Ответ: 8 дней.
№2х км/ч-скорость теплохода по озеру,18/х ч шёл теплоход по озеру,(х+3)км/ч – скорость теплохода по течению реки,40/ (х+3)ч шёл теплоход по реке,18/х+ 40/ (х+3)=2,18 (х+3)+40х=2х (х+3),9(х+3)+20х=х(х+3),9х+27+20х=х2+3х,х2 -26х-27=0,D1=169+27=196>0,х=13±14,х1=-1 не удовлетворяет условию задачи,х2=27.Ответ: 27 км/ч
№3.
х км- расстояние между городами;х/90 ч затратил скорый поезд на весь путь;х/60 ч затратил грузовой поезд на весь путь;х/60 > х/90 на 1,5;х/60-х/90=1,5;умножим обе части уравнения на 180, получим3х-2х=270;х=270.Ответ: 270км
Подготовила:Учитель математики Кутоманова Е.М.2015-2016 учебный год
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №30 имени А.И.Колдунова
Необходимость решать квадратные еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
древнегреческий математик из Александрии
Он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
В верхней строке записано уравнение
Лист из Арифметики
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в”Книге об абаке”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Этот вывод и был сформулирован впервые французским математиком Франсуа Виетом, который все знают как теорема Виета
В приведенном квадратном уравнении сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение его корней равно свободному коэффициенту x1 + x2 = –p x1 • x2 = q
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году немецким математиком М.Штифелем.
Спортивная площадка площадью 1800кв.м имеет форму прямоугольника, длина которого на 5м больше ширины. Найдите размеры площадки.
Х м
х м- ширина площадки,(х+5)м- длина площадки,S=х(х+5).х(х+5)=1800,х2+5х-1800=0,D=25+7200=7225>0,х=(-5±85):2,х1=-45 не удовлетворяет условию задачи, х2=40, х+5=45Ответ: 40м и 45м
Задача №2
Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132.Пусть х и х+1 – неизвестные числа, тогда х(х+1)=132,х2 + х -132=0,D=1+528=529>0,х=(-1±23):2, х1=-12- не удовлетворяет условию задачи,х2=11, х+1=12.Ответ: 11 и 12.
Справка.Натуральные числа: 1,2,3,4,5,6,7,…
Задача №3
Найти два последовательных нечетных числа, если их произведение равно 195.Пусть х и х+2 – искомые числа, тогда х(х+2)=195,х2+2х-195=0,D=1+195=196>0,х=-1±14,х1=-15-не удовлетворяет условию задачи,х2=13, х+2=15.Ответ: 13и15.
Справка.Нечетные числа: 1,3,5,7,9,11,..
Задача №4 Периметр прямоугольника равен 10 м, площадь-6 м2. Найти его стороны.
Пусть а и b – стороны прямоугольника, тогда Р=2(а+b), 2(а+b)=10, а+b=5, а=5-b; S=b(5-b), 5b-b2 =6, b2 -5b+6=0, D=25-24=1>0, b=(5±1):2, b1=3, b2=2; а1=2, а2 =3.Ответ: 2м и 3м.
Задача5.Индусская задача
«На две партии разбившисьЗабавлялись обезьяны.Часть восьмая их в квадратеВ роще весело резвиласьКриком радостным двенадцатьВоздух свежий оглашали...Вместе сколько ты мне скажешь,Обезьян там было в роще?»
решение
Задача имеет два решения
Задача №6
Определите стороны прямоугольного поля площадью 140 га, если одна его сторона на 400 м больше другой.
Справка1га=10000мІ
решение
хм – сторона поля;(х+400)м- другая сторона.По условию площадь 1400000м2.Составим уравнение.х(х+400)=1400 000, х 2 + 400 х – 1400 000=0,D = 160000 + 5600 000 = 5760000
х1 =1000, х2 =1400.
Ответ. 1000м, 1400м.
Х м
Задача №6
Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
решение
х км/ч-расстояние между городами;х/90 ч-время скорого поезда;х/60 ч-время товарного поезда;х/90 меньше х/60 на 1,5часа.Составим уравнение:х/60 - х/90 = 3/2;3х-2х=270;х=270. Ответ. 270 км.
Задача №7
Ученику и мастеру дано задание изготовить одинаковое количество деталей. Мастер, изготовляя 18 деталей в час, затратил на выполнение задания на 3 ч меньше, чем ученик, который изготавливал лишь 12 деталей в час. Сколько деталей было заказано?
Решение.
х-вся работа;х/18 ч.- время затраченное мастером;х/12 ч.- время затраченное учеником;х/18 меньше х/12 на 3 часа.Составим уравнение:х/12 – х/18 = 3;3х-2х=108;х=108. Ответ.108 деталей.
Задача №8
Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?
решение
Скорость(км/ч)
Время(ч)
Путь(км)
Автобус
Х
60/Х
60
Такси
Х+10
60/(Х+10 )
60
60/(х+10) меньше 60/х на1/12. Составим уравнение: 60/х -60/(х+10)=1/12; 720(х+10)-720х=х(х+10); 720х+7200-720х= хІ+10х; хІ+10х-7200=0; D=28900; x1=-90 не удовлетворяет условию задачи; х2= 80. Ответ. 80 км/час.
Задача №9
Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?
Тоннаж машин (т)
Число Машин(шт)
Общий груз (т)
Заказано
80/х
х
80
На самом деле
80/(х-4)
х-4
80
=
80/(х-4) больше 80/х на 1 тонну.Составим уравнение:80/(х-4)-80/х=1;80х-80х+320 = хІ-4х;хІ-4х-320=0;D=1296; x 1=-16 –не удовлетворяет условию задачи; х2 =20.Ответ. 20 машин.
1. Ученик решил прочитать книгу, содержащую 480 страниц, за несколько дней. Но каждый день он читал на 20 страниц больше, чем предполагал, и поэтому прочитал книгу на 4 дня раньше. За сколько дней была прочитана книга? 2.Теплоход прошёл 18 км по озеру и 40 км по течению реки за 2 ч. Найдите скорость теплохода при движении по озеру, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 3.Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами?
Ответы:
1. 480/(х-4) – 480/х = 20; х = 82. 18/х + 40/(х+3) = 2, х = 273. 270км
Решение задач.
№1.х страниц предполагал читать ученик в день,480/х дней предполагал ученик читать книгу,(х+20) страниц читал ученик в день,480/(х+20) дней читал ученик книгу,480/х- 480/(х+20) =4,480(х+20)-480х=4х(х+20),120(х+20)-120х=х(х+20),120х+2400-120х=х2+20х,х2+20х-2400=0,D1=100+2400=2500>0,х=-10±50,х1=-60 не удовлетворяет условию задачи,х2=40, х+20=60, 480:60=8(дней) читал ученик книгу.Ответ: 8 дней.
№2х км/ч-скорость теплохода по озеру,18/х ч шёл теплоход по озеру,(х+3)км/ч – скорость теплохода по течению реки,40/ (х+3)ч шёл теплоход по реке,18/х+ 40/ (х+3)=2,18 (х+3)+40х=2х (х+3),9(х+3)+20х=х(х+3),9х+27+20х=х2+3х,х2 -26х-27=0,D1=169+27=196>0,х=13±14,х1=-1 не удовлетворяет условию задачи,х2=27.Ответ: 27 км/ч
№3.
х км- расстояние между городами;х/90 ч затратил скорый поезд на весь путь;х/60 ч затратил грузовой поезд на весь путь;х/60 > х/90 на 1,5;х/60-х/90=1,5;умножим обе части уравнения на 180, получим3х-2х=270;х=270.Ответ: 270км
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение задач с помощью квадратных уравнений
В работе представлены два урока с презентациями и методическими рекомендациями. Преподавание ведется по учебнику Ю.Н. Макарычев и др. "Алгебра - 8"...
Урок "Решение задач с помощью квадратных уравнений"
образовательная программа – углублённое изучение математики,тема: «Решение задач, с помощью квадратных уравнений», 8 - класс.автор УМК Виленкин Н.Я. Глава 6 - Квадратные уравнения. Сис...
урок по теме Решение задач с помощью квадратных уравнений
Цели урока: закрепть решение квадратных уравнений, научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений. Урок построен в форме игры. Учащиеся , решая квадратные уравнеия всех видов, зарабатывают ден...
Решение задач с помощью квадратных уравнений
Тема: решение задач с помощью квадратных уравнений.Цель: обучение решению задач с помощью квадратных уравнений, развитие логического мышления, воспитание внимания и у...
Открытый урок. Алгебра 8 класс. Тема : Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Открытый урок. Алгебра 8 класс. Тема : Решение задач с помощью квадратных уравнений....
Разработка урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений» 8 класс
Цель урока: - научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений; - закреплять навыки решения квадратных уравнений; - развивать логическое мышление учащихся.Задачи урока: Науч...
урок по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений"
решение задач из жизни с помощью квадратных уравнений....