Банк олимпиадных заданий для самостоятельной подготовки учащихся - Математика 10-11 класс
олимпиадные задания по алгебре (10, 11 класс) на тему

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

10 класс

1. Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

2. Докажите, что натуральные числа от 1 до n²  можно разбить на n групп по n чисел так, что суммы чисел в каждой группе будут одинаковыми для a) n=100, б) n=101.

3. В неравнобедренном треугольнике ABC (AB

4. На доске написали в ряд (в порядке возрастания) все целые числа от 0 до 2014. Затем под каждой парой соседних чисел написали их сумму.  С полученной строчкой чисел проделали ту же операцию, и т.д.  – пока не получилась строчка из одного числа. Докажите, что это число делится на 2014.

5. В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1 до 64, причём каждое число встречается ровно один раз. Докажите, что найдутся две соседние (по стороне) клетки, числа в которых отличаются не менее чем на 5.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

10 класс

1. Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных?

2. Докажите, что натуральные числа от 1 до n²  можно разбить на n групп по n чисел так, что суммы чисел в каждой группе будут одинаковыми для a) n=100, б) n=101.

3. В неравнобедренном треугольнике ABC (AB

4. На доске написали в ряд (в порядке возрастания) все целые числа от 0 до 2014. Затем под каждой парой соседних чисел написали их сумму. С полученной строчкой чисел проделали ту же операцию, и т.д. – пока не получилась строчка из одного числа. Докажите, что это число делится на 2014.

5. В клетках шахматной доски расставлены натуральные числа от 1 до 64, причём каждое число встречается ровно один раз. Докажите, что найдутся две соседние (по стороне) клетки, числа в которых отличаются не менее чем на 5.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

11 класс

1. Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий,  Петя – 17. Сколько партий сыграл  Вася?

2. Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

3. Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.

4. В окружности хорда PQ проходит через середину хорды AB,  и перпендикулярна диаметру AC. Найдите AB, если AP=1.

5. Фальшивомонетчик дядя Коля за 10 дней изготовил 2014 фальшивых пятитысячных монет. Его внук Петя с целью оптимизации работы деда рассчитал   производительность труда (количество монет,  изготовленных за k подряд идущих дней, деленное на k) для всех k = 1,2,…,10 и всех этапов производства.  Докажите, что произведение всех полученных Петей  45 чисел – целое число.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

2014-2015 учебный год

11 класс

1. Коля, Петя и Вася играют в настольный теннис «навылет»: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Коля сыграл 8 партий,  Петя – 17. Сколько партий сыграл  Вася?

2. Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?

3. Три острых угла вместе составляют прямой угол. Докажите, что сумма косинусов этих трех углов больше суммы их синусов.

4. В окружности хорда PQ проходит через середину хорды AB,  и перпендикулярна диаметру AC. Найдите AB, если AP=1.

5. Фальшивомонетчик дядя Коля за 10 дней изготовил 2014 фальшивых пятитысячных монет. Его внук Петя с целью оптимизации работы деда рассчитал   производительность труда (количество монет,  изготовленных за k подряд идущих дней, деленное на k) для всех k = 1,2,…,10 и всех этапов производства.  Докажите, что произведение всех полученных Петей  45 чисел – целое число.

Максимальная оценка за каждую задачу 7 баллов