Варианты заданий для подготовки к ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Вариант № 1

Задание 1. Найдите наибольшее значение  , удовлетворяющее системе неравенств 

Задание 2. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn.

Найдите сумму первых 5 её членов.

Задание 3. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ...  .

Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?

Задание 4. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна  

48, а сумма второго и третьего членов равна 144.

Найдите первые три члена этой прогрессии. 

Задание 5. Найдите значение выражения   при a = −83, b = 5,4.

Задание 6. Решите систему неравенств 

На каком из рисунков

изображено множество её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта. 

 Задание 7. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности.

Найдите ∠ C , если ∠A = 44. Ответ дайте в градусах. 

Задание 8. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Задание 9. Прямая касается окружности в точке K. ТочкаO — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 60°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Задание 10. Центральный угол AOB опирается на хорду ABдлиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности

Задание  11 .  Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

 Задание 12. Какие из следующих утверждений верны?

1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
2. Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
3. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
4. Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

 Задание 13. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Задание 14. Лестница соединяет точки    и   , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту   (в метрах), на которую поднимается лестница.

Задание 15. Найдите значение выражения   если   .

Задание 16. Один из корней уравнения    равен 1. Найдите второй корень.

Задание 17. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Задание 18. В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

 Задание 19. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Вариант № 2

Задание 1. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств 

Задание 2. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

Задание 3. Геометрическая прогрессия    задана формулой  n - го члена  . Укажите третий член этой прогрессии.

Задание 4. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

Задание 5. Найдите значение выражения   при  , .

Задание 6. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств                                                                             

В  ответе укажите номер правильного варианта. 

Задание 7. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 39.

Задание 8. Найдите градусную меру ∠MON, если известно ,NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Задание 9. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если  KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.

Задание 10. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Задание 11.  На рисунке изображен параллелограмм   .  

 Используя  рисунок,   найдите  .

     Задание 12. Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Задание 13. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4 м. На какую высоту (в метрах) поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м?

Задание 14.Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)?

Задание 15.  Сократите  дробь:    

Задание 16. Сократите дробь 

Задание 17. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точкиО равно 8.

Задание 18. Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношенииm:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Задание 19. Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и Bлежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

1. Задание 4 № 314490. Найдите наибольшее значение , удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

Решим систему:

Искомое наибольшее решение равно −3.

Ответ: −3.

Ответ: -3

Источник: Банк заданий ФИПИ

2. Задание 4 № 314529. Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

Решим систему:

Искомое наименьшее решение равно −6.

Ответ: −6.

Ответ: -6

Источник: Банк заданий ФИПИ

3. Задание 6 № 341206. Геометрическая прогрессия задана условием b1 = −7, bn + 1 = 3bn. Найдите сумму первых 5 её членов.

Решение.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

Сумма первых  членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

Необходимо найти  имеем:

Ответ: −847.

Ответ: -847

Источник: Банк заданий ФИПИ

4. Задание 6 № 321579. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 448; 112; 28; … Найдите сумму первых четырёх её членов.

Решение.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

Найдём четвёртый член геометрической прогрессии:  Следовательно, сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии 

Ответ: 595.

Примечание.

Сумма первых  членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 595

5. Задание 6 № 316254. Дана арифметическая прогрессия: 11, 7, 3, ... . Какое число стоит в этой последовательности на 7-м месте?

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: −13.

Ответ: -13

Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90106

6. Задание 6 № 311373. Геометрическая прогрессия    задана формулой  n - го члена  . Укажите третий член этой прогрессии.

Решение.

По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем: 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.6)

7. Задание 6 № 314633. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 48, а сумма второго и третьего членов равна 144. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.

Решение.

По условию   Запишем эти равенства в виде системы уравнений на первый член и знаменатель прогрессии, и решим эту систему:

Теперь найдём второй и третий члены прогрессии:

Ответ: 12; 36; 108.

Ответ: 12;36;108

Источник: Банк заданий ФИПИ

8. Задание 6 № 311330. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём разность прогрессии: 

Тогда для пятого члена прогрессии 

Ответ: 11.

Ответ: 11

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 2)

9. Задание 7 № 341519. Найдите значение выражения  при a = −83, b = 5,4.

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при a = −83, b = 5,4:

Ответ: −16,6

Ответ: -16,6

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90902.

10. Задание 7 № 333089. Найдите значение выражения  при , .

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при  

Ответ: 14.

Ответ: 14

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90602

11. Задание 8 № 311949. Решите систему неравенств 

На каком из рисунков изображено множество её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Решим систему:

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.

12. Задание 8 № 340973. На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств 

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Решим систему:

Решением системы является отрезок, изображённый под номером 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90102.

13. Задание 10 № 341329. Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C , если ∠A = 44. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ABC − прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно треугольник ABC − прямоугольный, а 

Ответ: 46.

Ответ: 46

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.04.2015 вариант МА90701.

14. Задание 10 № 341496. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 39.

Решение.

Сторона квадрата равна диаметру вписанной в него окружности, значит площадь данного квадрата равна:

Ответ: 6084.

Ответ: 6084

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90901.

15. Задание 10 № 340337. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому следовательно, треугольник  — равнобедренный. Откуда  Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга равна 108°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 108°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 36.

Ответ: 36

16. Задание 10 № 311319. Найдите градусную меру ∠MON, если известно,NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Решение.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

Ответ: 144

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

17. Задание 10 № 340980. Прямая касается окружности в точке K. ТочкаO — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 60°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 60° = 120°. Угол KOM — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол KOM равен 120°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 120°)/2 = 30°.

Ответ: 30.

Ответ: 30

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90102.

18. Задание 10 № 311464. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине — точке K. Найдите длину хорды MN, если  KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.

Решение.

Найдем отрезок OK: OK = OB − KB = 13 − 1 = 12. Так как OB перпендикулярен MN, треугольникMOK — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник MON — равнобедренный так как MO = ON = r, тогда MK = KN. Таким образом, MN = MK·2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1(2 вар)

19. Задание 10 № 90. Центральный угол AOB опирается на хорду ABдлиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

20. Задание 10 № 311479. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Решение.

Пусть R — радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2R.

По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 3. (1 вар)

21. Задание 12 № 323618. Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Решение.

Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: 

Ответ: 2.

Ответ: 2

22. Задание 12 № 311356. На рисунке изображен параллелограмм  . Используя рисунок, найдите  .

Решение.

Синус угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Треугольник  — прямоугольный, поэтому 

Вычислим по теореме Пифагора длину гипотенузы :

Тогда

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)

23. Задание 13 № 169917. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.» — неверно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.

2) «Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.» — верно, сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.» — верно, если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.

4) «Через любые три точки проходит не более одной прямой.» — верно, через три точки либо нельзя провести прямую, если они не лежат на одной линии, либо можно, но только одну.

Ответ: 234.

Ответ: 234

24. Задание 13 № 340894. Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.» — неверно, площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

2) «Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.» — неверно, Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180 градусам.

3) «Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.» — верно, биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Ответ: 3.

Ответ: 3

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90203.

25. Задание 17 № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение.

Заметим, что высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней линии, искомое расстояние в два раза больше первоначального экрана: 250·2 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике.

26. Задание 17 № 311516. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4 м. На какую высоту (в метрах) поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м?

Решение.

Найдём синус угла, на который опустится короткое плечо:

Угол подъема длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x — высота, на которую поднимется длинное плечо, имеем:

Таким образом, длинное плечо поднимется на 2 м.

Ответ: 2.

Ответ: 2

Источник: ГИА-2012. Математика. Контрольная работа (2 вар)

27. Задание 17 № 311524. Лестница соединяет точки    и   , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту   (в метрах), на которую поднимается лестница.

Решение.

Профиль каждой ступеньки имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 14 и 48 см. Найдём гипотенузу каждого из них:

Так как расстояние от A до B равно 25 метрам можем найти количество ступеней: 25 : 0,5 = 50 шт.

По условию задачи высота одной ступени равна 14 см, таким образом, найдем высоту лестницы: 50 · 14 см = 700 см = 7 м.

Ответ: 7.

Ответ: 7

Источник: ГИА-2012. Математика. Тренировочная работа № 3 (1 вар)

28. Задание 17 № 340291. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)?

Решение.

Объём одной коробки равен 0,3 · 0,5 · 0,9 = 0,135 . Объём кузова машины равен 2,4 · 3 · 2,7 = 19,44 . Таким образом, в кузов можно поместить 19,44/0,135 = 144 коробки.

Ответ: 144.

Ответ: 144

29. Задание 21 № 338134. Найдите значение выражения  если 

Решение.

Найдём значение выражения:

Ответ: −1.

Ответ: -1

30. Задание 21 № 311593. Сократите дробь:   

Решение.

Имеем:

Ответ:  

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (2 вар.)

31. Задание 21 № 311552. Один из корней уравнения    равен 1. Найдите второй корень.

Решение.

Представим уравнение в виде:  По теореме Виета  откуда второй корень 

Ответ: −0,6.

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 1. (вар. 2) 02.10.12г.

32. Задание 21 № 311965. Сократите дробь 

Решение.

Ответ: 126.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.11.2013 вариант МА90202.

33. Задание 24 № 340853. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Решение.

Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

 откуда 

Ответ: 16.

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.

34. Задание 24 № 314832. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точкиО равно 8.

Решение.

Проведём радиусы  и  в точки касания. Получили два прямоугольных треугольника, катет  где  — радиус окружности, гипотенуза  этих двух прямоугольных треугольников — общая, следовательно эти треугольники равны. То есть, имеется равенство углов

Теперь из треугольника  найдём радиус 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Источник: Банк заданий ФИПИ

35. Задание 25 № 316386. В окружности через середину O хорды BD проведена хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

Решение.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен BO:OD. Поскольку BO = OD , эти треугольники равны, следовательно, AO = OC.

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90502.

36. Задание 25 № 340324. Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношенииm:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Решение.

Проведём построения и введём обозначения как показано на рисунке. Пусть  Рассмотрим треугольники и  они прямоугольные, углы  и  равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 

37. Задание 26 № 314972. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольникABC.

Решение.

Введём обозначения, приведённые на рисунке. Лучи и  — соответственно биссектрисы углов  и , поскольку эти лучи проходят через центры вписанных окружностей.  — середина основания следовательно  Углы  и  равны друг другу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники  и  — они прямоугольные и имеют равные углы  и , следовательно эти треугольники подобны:

Отсюда следует, что радиус вписаной окружности:

Ответ: 

Источник: Банк заданий ФИПИ

38. Задание 26 № 333132. Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки A и Bлежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение.

Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, т. е. 49. Опустим перпендикуляр OP из центра меньшей окружности на радиус  второй окружности. Тогда

Из прямоугольного треугольника  находим, что

Опустим перпендикуляр  из точки  на прямую . Прямоугольный

треугольник  подобен прямоугольному треугольнику  по двум углам, поэтому . Следовательно.

Ответ: 40.

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

1

314490

-3

2

314529

-6

3

341206

-847

4

321579

595

5

316254

-13

6

311373

12

7

314633

12;36;108

8

311330

11

9

341519

-16,6

10

333089

14

11

311949

3

12

340973

2

13

341329

46

14

341496

6084

15

340337

36

16

311319

144

17

340980

30

18

311464

10

19

90

6

20

311479

6,5

21

323618

2

22

311356

0,6

23

169917

234

24

340894

3

25

44

500

26

311516

2

27

311524

7

28

340291

144

29

338134

-1

30

314832

4

1. А) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

             В)Укажите номера верных утверждений. 

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Вертикальные углы равны.

3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

2. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

3. А)Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100. Укажите номера верных утверждений. 

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

      4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

4. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

           В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

      4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей В)  

5. А)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

6. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

7. А)Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь,делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность.

8. А)Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

9. А)Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь,делённую на 

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

10. А)В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

11. А)Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 

12. А)В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

13. А)В равнобедренном треугольнике . Найдите , если высота .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

4) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

14. А)Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

15. А)Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

16. А)В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

2) Сумма смежных углов равна 180°.

3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

17. А)В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

18. А)Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

В) Укажите номера верных утверждений. 1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают.

2) Существует квадрат, который не является ромбом.

3) Сумма углов любого треугольника равна 180° .

19. А)В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. 

1. А) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В)Укажите номера верных утверждений. 

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Вертикальные углы равны.

3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

2. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен 60°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

3. А)Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100. Укажите номера верных утверждений. 

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

      4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

4. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

           В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

      4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей В)  

5. А)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. 

6. А)В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

7. А)Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь,делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность.

8. А)Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, делённую на .

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

9. А)Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь,делённую на 

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

10. А)Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 

11. А)В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.

В) Укажите номера верных утверждений. 

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.