Практикум по решению уравнений функциональным методом
план-конспект урока по алгебре (10, 11 класс) по теме
Данный практикум может стать модулем элективных курсов для 10-11 классов, предполагающих изучение методов решения уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ/
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 1_praktikum.docx | 13.54 КБ |
| 2_funktsionalnyy_metod_resheniya_uravneniy.docx | 20.31 КБ |
| 3_primery-1.docx | 18.34 КБ |
Предварительный просмотр:
Практикум
по решению уравнений функциональным методом.
Пояснительная записка.
Данный практикум может стать модулем элективных курсов для 10-11 классов, предполагающих изучение методов решения уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ. Так как в школьном курсе математики содержится много заданий, для решения которых можно использовать функциональный метод, основанный на свойствах функций, такой подход дает возможность решить уравнение проще, чем с помощью других приемов. Учитывая, что в ЕГЭ встречаются задания, решаемые с использованием свойств функций, функциональный метод решения уравнений приобретает актуальность. Основные приемы, характеризующие данный подход к решению уравнений, приведены в таблице 1. Приемы решения уравнений с использованием свойств функций, не отраженные в таблице, приведены в разделах: «Использование понятия области значения функции» (пр. 1 – 3), «Использование свойства четности или нечетности функции» (пр. 4 – 6).
Цели: - систематизация приемов использования свойств функций при решении уравнений;
- формирование умений применять полученные знания при решении нестандартных уравнений.
Задачи: - познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений;
- расширить и углубить знания о приемах и методах решения уравнений;
- развить интеллектуальные способности, логическое мышление, познавательный интерес.
Планируемый результат: в результате изучения данного модуля учащиеся должны уметь выбирать рациональный метод решения уравнений.
Предварительный просмотр:
Функциональный метод решения уравнений (некоторые приёмы).
Использование области определения | Использование неотрицательности функции | Использование ограниченности функции | Использование монотонности функции |
Дано уравнение f(x)=g(x), f(x)и g(x)- элементарные функции. А и В – области определения этих функций. А∩В=М, если: 1. М – множество, состоящее из одного или нескольких элементов, то необходимо проверить, будут ли эти числа корнями уравнения. Пример:
Решение: ОДЗ: Проверим, будет ли х=2 корнем уравнения.
2. М = Ø– уравнение корней не имеет. Пример: ОДЗ: решений нет, т.е. уравнение корней не имеет. Ответ. Корней нет. 3. М- числовой промежуток, то необходимо рассмотреть не всю область определения, а лишь её подмножество, на котором функция принимает значение, удовлетворяющее некоторым условиям. Пример. Решите уравнение.
х= - 0,5. Проверка показала, что -0,5 – корень уравнения. Ответ. -0,5. | Пусть дано уравнение F(х) = f1(x)+f2(x)+…+fn(x), если f1(x)≥0, f2(x)≥0, … fn(x)≥0 для любого х из области определения функций, то уравнение F(х)= =0 равносильно системе Пример. Решите уравнение.
и f2(x)= │ неотрицательна для любого х из области их определения, значит уравнение равносильно системе Первое уравнение имеет два корня: х1=7, х2=-2. Из них только х1=7 удовлетворяет второму уравнению. Система имеет единственное решение х=7, значит 7 – корень данного уравнения. Ответ. 7. Пример. 9х-2·6х+2·4х-2·2х+1=0. Перепишем уравнение в виде: (3х-2х)2+(2х-1)2=0, перейдем к равносильной системе
| Дано уравнение f(x)=g(x), f(x)и g(x)- элементарные функции. А и В – области определения этих функций. А∩В=М, пусть для любого х ϵ М справедливы неравенства f(x) ≥ K, g(х) ≤ К, К- некоторое число, тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе Пример. Решите уравнение. Оценим границы левой и правой частей уравнения. Л.ч. 0≤ П.ч. 3+ Следовательно, заданное уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение системы, получим х = 0. Подставим найденное значение во второе уравнение, получим верное равенство, значит х = 0 – решение системы, а следовательно корень данного уравнения. | Дано уравнение f(x)=g(x). Пусть функция f(x)возрастает, а функция g(x) убывает на промежутке М, где М – общая часть областей определения этих функций. Если х0 ϵ М и f(x0)=g(x0), то х0 един-ственный корень уравнения f(x)=g(x). Пример. Решите уравнение.
Функция f(x)= Ответ. 3. |
Предварительный просмотр:
Использование понятия области значений функции.
Областью значений функции y=f(x) называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной х.
Если дано уравнение f(x)=g(x) и области значений функций имеют общие элементы, то решение будет сведено к случаю, описанному в таблице в разделе ограниченность функции .Если же таких общих элементов множества значений функций не содержат ,то уравнение не имеет корней.
Пример 1. Решите уравнение. +
=1.
Решение. ОДЗ: ; х
. Очевидно, что
+
Следовательно, уравнение корней не имеет.
Ответ. Корней нет.
Пример 2. Решите уравнение. +
= -2.
Решение. +
при любых х из области определения функции
f(x) = +
. Следовательно, корней нет.
Ответ. Корней нет.
Пример 3. Решите уравнение. (8х2+10х+7)lg2(x+1)= -1.
Решение. 8х2+10х+7 ; lg2(x+1)≥0 при всех допустимых значениях х. Следовательно, корней нет.
Ответ. Корней нет
Использование свойств четности или нечетности функции.
Для применения в решении уравнений свойств четности или нечетности функций, важно помнить, что для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная - равные по модулю, но противоположные по знаку.
Полезны будут следующие теоремы:
Т.1.Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.
Т.2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.
Таким образом, чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x)-четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (отрицательные) корни, после чего записывают симметричные указанным.
Для нечетной функции корнем будет х=0, если это значение входит в область определения F(х).
Для четной функции х=0 проверяется подстановкой в уравнение.
Пример. х2 + 5│х│- 24 = 0.
Решение. Функция f(x)= х2 + 5│х│- 24 – четная; х = 0 не является корнем уравнения. Для х>0 данное уравнение имеет корень х = 3. Тогда х = -3 так же является коврвнвевм уравнения.
Ответ. -3; 3.
Проверочные задания.
log2 (3-х) + logх-32 = 1 Ответ. 1.
arcsin(х2 - 2х + 2) = Ответ. 2.
+
= 3х – 2 Ответ. Корней нет.
│2х2 – 3х - 5│+ 72х2-3х-5 = 0 Ответ. Корней нет.
аrcсos(х+4) = -х2 - 8) Ответ. -3
3 + (х-π)2 = 1-2cos x Ответ. π.
3│х│= cos Ответ. 0.
+
= х2 + 8х +18 Ответ. -4.
(0,6)х + 1,4 = 2х Ответ. 1.
Х6 + 2х4 +3х2 = 6 Ответ. -1; 1
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация к уроку алгебры в 11 классе "Функционально-графические методы решения уравнений".
Презентацию можно использовать на уроках итогового повторения....
элективный курс " Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств"
программа элективного курса "Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств" для 8-11 классов...
ПРОБЛЕМА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Одной из основных содержательных линий в изучении математики является линия уравнений и неравенств. Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объ...
Дидактическое пособие для учащихся по математике : Функциональный метод решения уравнений.
Пособие для учащихся 11 классов при повторении темы:"Функциональный метод решения уравнений"....
Урок Функционально – графический метод решения уравнений
Цель урока: сформировать умения решать уравнения определенного типа функционально – графическим методом, с использованием свойств ограниченности и монотонности функцийСтруктура урока:- вступител...