Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
методическая разработка по алгебре на тему
Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 20.93 КБ |
Предварительный просмотр:
Самостоятельная работа на тему
«Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Пример 1
Если сократить обе части уравнения на общий множитель
, то получится уравнение
, которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень
. Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.
Пример 2
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим . Решая уравнения найдем корни:
| или | |
Новое уравнение неравносильно исходному уравнению
. Корень
является корнем уравнения, а
не является корнем уравнения, посторонний корень.
При возведении обеих частей уравнения в квадрат (четную степень) могут появляться посторонние корни:
Пример 3
Если неверно раскрыть модуль, то получится уравнение ,
Корень уравнения , происходит потеря корня
Пример 4
Уравнение равносильно совокупности двух систем
Уравнение имеет корни
, неравенству
они не удовлетворяют, следовательно, первая система решений не имеет.
Решением уравнения являются числа
, которые удовлетворяют неравенству
. Следовательно, данные числа являются решениями второй системы совокупности, а поэтому и корнями уравнения. В решении этого уравнения могут появляться посторонние корни.
Пример 5
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля
Так как при знаменатель обращается в нуль, то заданное уравнение не имеет корней. В решении этого уравнения могут появляться посторонние корни.
Пример 6
Общим знаменателем имеющихся дробей является , получаем
при знаменатель превращается в нуль, следовательно данное уравнение имеет один корень
.
Следовательно при решении рациональных уравнений могут появиться посторонние корни, отсеять их можно проверкой или условием знаменатель не равен нулю.
Пример 7
Проверка:
если , то
корень не удовлетворяет уравнению, следовательно он посторонний
если , то
является корнем уравнения.
Если в иррациональных уравнениях не делать проверку, то могут появляться посторонние корни.
Проверку можно выполнить областью определения:
Пример 8
Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условию
, т.е.
еще раз возведем левую и правую часть уравнения в квадрат
– не принадлежит области определения, следовательно уравнение имеет один корень
Пример 9
В этом примере сложно его решение.
Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу
ОДЗ нашего уравнения содержит только два корня, а вне ОДЗ решений быть не может. Подстановка дает, что не является решением уравнения.
Ответ: 1.
Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость.
Так, например, в равносильном переходе требование
задает ОДЗ. Однако, если искать
очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких
выполнено неравенство
.
Пример 10
нет решений, т.к.
Ошибкой может быть ;
можно пользоваться только для корней уравнения
Пример 11
Ответ:
Если разделить на , то получим уравнение
Происходит потеря корней.
Пример 12
Проверку можно сделать, подставив в уравнение значение корней или выполнив решение системы неравенств
этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 нет, 4 – посторонний корень.
Ответ: -3.
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению являющемуся следствием исходного. Уравнению - следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но кроме них, уравнение – следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни обычно поступают так: все найденные корни уравнения – следствия проверяют подстановками в исходное уравнение.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Самостоятельная работа по теме "Показательные уравнения" (база)
Работа предназначается для гуманитарных классов...
![](/sites/default/files/pictures/2015/03/23/picture-595050-1427098351.jpg)
Самостоятельная работа по теме "Тригонометрические уравнения", содержит 32 варианта базового уровня , рассчитана на 15 мин урока.
Самостоятельная работа по теме "Тригонометрические уравнения " содержит 32 варианта базового уровня, рассчитана на 15 минут урока,Проверяет компетенции: 1)работу с тригонометрическим круго...
![](/sites/default/files/pictures/2014/12/14/picture-550766-1418581516.jpg)
Самостоятельная работа по теме "Показательные уравнения"
Самостоятельная работа содержит четыре варианта по три уравнения различной степени сложности....
![](/sites/default/files/pictures/2015/11/04/picture-702034-1446632445.jpg)
Варианты самостоятельных работ по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства» (Алгебра 10 класс)
Варианты самостоятельных работ по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства»...
7 класс Самостоятельная работа по теме "Линейное уравнение с двумя переменными и его график"
Материал для контроля по теме "Линейное уравнение с двумя переменнными"...
![](/sites/default/files/pictures/2016/03/13/picture-180086-1457852819.jpg)
Самостоятельная работа по теме "Квадратные уравнения"
Самостоятельная работа по алгебре для 8 класса по теме "Квадратные уравнения" в двух вариантах....
![](/sites/default/files/pictures/2018/07/27/picture-1047821-1532684160.jpg)
Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры...