Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
методическая разработка по алгебре на тему

Самостоятельная работа на тему

«Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Пример 1

Если сократить обе части уравнения  на общий множитель , то получится уравнение , которое неравносильно первоначальному, так как имеет всего один корень . Таким образом, сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения.

Пример 2

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим . Решая уравнения найдем корни:

Новое уравнение  неравносильно исходному уравнению     . Корень  является корнем уравнения, а  не является корнем уравнения, посторонний корень.

        При возведении обеих частей уравнения в квадрат (четную степень) могут появляться посторонние корни:

Пример 3

Если неверно раскрыть модуль, то получится уравнение ,

Корень уравнения , происходит потеря корня

Пример 4

Уравнение равносильно совокупности двух систем

Уравнение  имеет корни , неравенству  они не удовлетворяют, следовательно, первая система решений не имеет.

Решением уравнения являются числа , которые удовлетворяют неравенству . Следовательно, данные числа являются решениями второй системы совокупности, а поэтому и корнями уравнения. В решении этого уравнения могут появляться посторонние корни.

 Пример 5

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля

Так как при  знаменатель обращается в нуль, то заданное уравнение не имеет корней. В решении этого уравнения могут появляться посторонние корни.

Пример 6

Общим знаменателем имеющихся дробей является , получаем

при  знаменатель превращается в нуль, следовательно данное уравнение имеет один корень .

Следовательно при решении рациональных уравнений могут появиться посторонние корни, отсеять их можно проверкой или условием знаменатель не равен нулю.

Пример 7

Проверка:

если , то

корень не удовлетворяет уравнению, следовательно он посторонний

если  , то

 является корнем уравнения.

Если в иррациональных уравнениях не делать проверку, то могут появляться посторонние корни.

Проверку можно выполнить областью определения:

Пример 8

Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условию

                     , т.е.

еще раз возведем левую и правую часть уравнения в квадрат

  – не принадлежит области определения, следовательно уравнение имеет один корень

Пример 9

В этом примере сложно его решение.

Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу

ОДЗ нашего уравнения содержит только два корня, а вне ОДЗ решений быть не может. Подстановка дает, что  не является решением уравнения.

Ответ: 1.

Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость.

Так, например, в равносильном переходе  требование  задает ОДЗ. Однако, если искать  очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких    выполнено неравенство  .

Пример 10

нет решений, т.к. 

Ошибкой может быть ;  можно пользоваться только для корней уравнения

Пример 11

Ответ:

Если разделить на , то получим уравнение

Происходит потеря корней.

Пример 12

Проверку можно сделать, подставив в уравнение значение корней или выполнив решение системы неравенств

  этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 нет, 4 – посторонний корень.

Ответ: -3.

        Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению являющемуся следствием исходного. Уравнению - следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но кроме них, уравнение – следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни обычно поступают так: все найденные корни уравнения – следствия проверяют подстановками в исходное уравнение.