Презентация.Алгебра 11 класс. Предел последовательности.
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме
Урок 1,2 по теме «Предел последовательности» по учебнику:Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: ввести понятие предела последовательности; рассмотреть свойства сходящихся последовательностей.
Числовые последовательности Кратко последовательность обозначают символом {Х n } или (Х n ), при этом Х n называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена Х n . Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Х n, n € N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.
Множество значений последовательности {(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1, а множества значений последовательностей { n ² } и {1/n} — бесконечны. Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся . Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Предел числовой последовательности. Рассмотрим две числовые последовательности: : 2, 4, 6, 8, 10, …, ,…; : 1, , , , , … , … Изобразим члены этих последовательностей точками на координатных прямых. Обратите внимание как ведут себя члены последовательности.
Замечаем, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности таковой точки не наблюдается. Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.
Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r - положительное число. Интервал (a-r, a+r ) называют окрестностью точки a , а число r - радиусом окрестности . Геометрически это выглядит так:
Теперь можно перейти к определению точки «сгущения», которую математики назвали « пределом последовательности ». Например: (-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен 0. 3.
Определение 2 . Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут: . Читают: стремится к . Либо пишут: . Читают: предел последовательности при стремлении к бесконечности равен .
Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся . Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся ; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Теорема 1 Если последовательность { X n } является возрастающей(или неубывающей) и ограничена сверху, т. е. X n≤M для всех n , то она имеет предел. Теорема 2 Если последовательность { X n } является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n ≥ M для всех n , то она имеет предел.
Пример: Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса , если 1. Решение.
Определение: Число a называют пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , … если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство | a n – a | < ε . Условие того, что число a является пределом числовой последовательности a 1 , a 2 , … a n , … , записывают с помощью обозначения и произносят так: «Предел a n при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
Пример 1 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство: Пример 3 . Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство: Пример 4 . Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство: Пример 5 . Последовательность: – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена a n = (– 1) n , предела не имеет. Предел числовой последовательности
На уроке: №1(1,3), №4(1)
Домашнее задание. §1стр. 44 №1(2,4) №2(2,4,6) №4(2)
Предел последовательности. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 2010.— 336 с. Урок 2. МБОУ СОШ №103. г.Нижнего Новгорода. Учитель : Лукьянова Е.Ю.
Цель урока. Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей; Сформировать умения вычисления пределов.
Свойства пределов числовых последовательностей Рассмотрим две последовательности a 1 , a 2 , … a n , … , и b 1 , b 2 , … b n , … . Если при существуют такие числа a и b , что и , то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, выполнено условие, то при существует предел дроби
Пример 6 . Найти предел последовательности
Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3 , получаем Ответ .
Пример 7 . Найти предел последовательности
Решение . Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем Ответ .
Пример 8 . Найти предел последовательности
Решение . Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю: : Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем
Ответ .
Пример 9 . Найти предел последовательности
Решение . В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов» . .
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1 , получаем Ответ .
Пример 10 . Найти предел последовательности
Решение . Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство , получаем Ответ . 1 .
На уроке: №5(1,3,5) №6(1,3)
Домашнее задание: №5(2,4,6) №6(2,4),стр.52
Практические задания 1. Запишите окрестность точки радиуса в виде интервала, если: 2. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал: 3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:
Итоговое практическое задание Существует ли номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки радиуса : 2. Постройте график последовательности и составьте, если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
Итоговое практическое задание 3. Найдите - й член геометрической прогрессии , если: 4. Вычислить:
Важно! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.
Рефлексия : (Обучающиеся ставят звезду на картинку, которая соответствует их усвоению материала и внутреннему восприятию урока (Эффект множественного клонирования)) узнал новое буду использовать расскажу друзьям было интересно
Итог урока. - Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела числовой последовательности, правилами вычисления пределов последовательностей.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация алгебра 10 класс "Тригонометрические неравенства"
Эта презентация поможет наглядно показать принцип решения простейших тригонометрических неравенств. Обязательны устные комментарии...
![](/sites/default/files/pictures/2015/09/14/picture-667126-1442229560.jpg)
Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»
Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»...
![](/sites/default/files/pictures/2021/12/24/picture-744043-1640325616.jpg)
Презентация: Алгебра 10 класс "Решение тригонометрических уравнений"
Основные способы решения тригонометрических уравнений....
Методическая разработка теоретического занятия для преподавателя ТЕМА: «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»
Данная методическая разработка предназначена для преподавателей СПО работающих на 1 курсе....
Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия...
Презентация к уроку алгебры (10 класс) "Предел последовательности"
Презентация к уроку алгебры и начала анализа (10 класс) "Предел последовательности"...
Презентация Алгебра 7 класс "Преобразование многочлена в квадрат двучлена"
Презентация Алгебра 7 классПреобразование многочлена в квадрат двучлена...