Методическое пособие "Построение кусочно заданных функций"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Методическое пособие по теме

«Построение кусочно-заданных функций»

Понятие о кусочных функциях. На различных участках  числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например: y=f(x), где

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

  Такие функции назовём кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовём составляющими область определения, а их объединение,  является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называется  входящими функциями.

    Наличие таких свойств как чётность, нечётность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учётом особенностей  составляющих области определения и входящих функций.

       Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Ответы:

1)Функция убывает на промежутке [-2; +∞).

2)Функция возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; 2].

3)f(x)≥0, если х=0 и |х|≥ 3⅓;

4)у > 0, если х < -1 и  -1 < х < 1.

5)Прямая y=m имеет с графиком две общие точки при m=3 и m=-1;

6)Прямая y=m имеет с графиком одну общую точку при m=-2 и m>1.

Задания для самостоятельной работы:

1)Постройте график функции y=f(x), где

x-1, если х < -2

                          f(x)=

-1/2x+3, если x ≥ -2.

Укажите промежуток, на котором функция убывает.

2)Постройте график функции у=f(x), где

1/4х2-1, если -2≤ х ≤ 2

                           f(x)=      2-х, если х > 2

                                            х+2, если х < -2.

Укажите промежутки возрастания функции.

3)Постройте график функции у=f(x), где

-х2, если -2≤ х ≤ 2

                             f(x)=       3х-10, если х > 2

-3x-10, если х < -2.

При каких значениях х значения функции у= f(x) неотрицательны?

4)Постройте  график функции у= f(x),где

(х+1)2, если х < 0

                                f(x)=

1-х2, если х ≥0.

При каких значениях х выполняется неравенство у > 0?

5)Постройте график функции  у= f(x),где

х2-4х-1, если х ≥ 4

                               f(x)=

-х2+4х-1, если х < 4

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции две общие точки?

6)Постройте график функции у= f(x),где

   4/х, если х ≤ -2

                                  f(x)=           х, если -2 < х ≤ 1

              х2-4х+4, если х > 1.

При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

             Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики входящих функций,
2. Провести прямые x=a, x=a, x=a, где a-граничные точки,
3. На каждой составляющей области определения (a, a), где i=1…n выбрать тот график, который соответствует входящей функции  на этой составляющей.
4. Выяснить значение функции в граничных точках.

Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть её кусочно-линейной функцией.

f(x)=     х2, -3х-2

             2х+8, -20

Построение:

1. у=х2
2.  -3х-2
3. Выделить часть графика 1.
4. У=2х+8
5. -20
6. Выделить часть графика 2.

Рассмотрим построение графиков кусочных функций.

      Постройте график функции y=f(x), где  

                                                                             f(x)=       -1/2х+3, если х2  

                                                                                               х-4  ,х>2

Укажите промежуток, в котором функция убывает.

Построим в одной системе координат графики функций у=1/2х+3, если х2  и у=х-4  ,х>2

Графиками обеих функций являются прямые. Для построения достаточно двух точек.

у=1/2х+3, х2  

у=х-4  ,х>2

Ответ: Функция убывает на промежутке (-;2]

     Постройте график функции y=f(x), где  

                 2-2x2, если 2

   f(x)=       x-1, если x>1

                -x-1, если x<-1

Укажите промежутки возрастания  функции.

Первым графиком функции является парабола, ветви направлены вниз. Построим график функции на отрезке [-2;2]

Второй график у= х-1 –прямая.

Третий график тоже прямая у=-х-1

Ответ: Функция возрастает на промежутках[-1;0]

и [1;)  

          Постройте график функции у=f(x), где

             х2-1, если х0                                                    

f(x)=     (x-1)2 ,если х>0

 При каких значениях х выполняется неравенство у0            

1)Первым графиком является парабола. Построим её часть (х0) путем сдвига вниз на 1 графика у= х2.

Вторым графиком является тоже парабола. Построим её часть (х>0)путем сдвига вдоль оси  ох вправо на 1 графика у= х2.

Ответ: при у>0, x<-1,01

       Постройте график функции у=f(x), где  

             -х2-4х-3, если x-1                                                    

f(x)=      x+1, если -11

              2/x, если х>1

При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции две общие точки.

Построим в одной системе координат графики функций.

1) Первым графиком функции является часть параболы, ветви направлены

вниз. Найдём вершину параболы по формуле х=-b/2a

х=-(-4)/(-1·2)=-2, то у=-(-2)2-4·(-2)-3=1.Итак, вершина параболы

в точке с координатой (-2;1).

Найдём точки пересечения с осью OX;

у=0. -х2-4х-3=0

         х1=-3

         х2=-1

Точки пересечения с осью OX: (-3;0) и (-1;0).

Найдём точки пересечения с осью Oу:

х=0

у=-(0)2-4·0-3=3

Точки пересечения с осью OX: (0;3).

Найдём дополнительные точки

2) Второй график у= х+1 –прямая.

Построим часть прямой

3)Третьим графиком является гипербола.

Построим часть гиперболы при х>1

Ответ: прямая у=m имеет с графиком этой функции две общие точкипри m=0 и 1

 Постройте график функции у=f(x), где

 f(x)=    -х2, если |х|1                                                    

               x2-1если |х| >1

Укажите промежутки возрастания  функции.

        Раскрывая знак модуля данную систему можно записать в следующем виде:

f(x)=    -х2, если -1х1                                                    

               x2-1если ,        х >1

                                        x<1

Графиками данных функций является парабола. Построим первый график.

у=-х2 ,если -1х1                                                    

x2-1если ,      х >1

                                                                      x<1

 Ответ: функция возрастает на промежутках(- ;-1] и [0;1]

      Постройте график функции у=f(x), где  

             х2-4х+4, если x>1                                                    

f(x)=      x, если -21

              4/x, если х-2

При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции одну общую точку?

Построим в одной системе координат графики функций.

1) Первым графиком функции является часть параболы, ветви направлены

вверх. Найдём вершину параболы по формуле х=-b/2a

х=-(-4)/2·1=2

у=22-4·2+4=0

Итак, вершина параболы

в точке с координатой (2;0).

Найдём точки пересечения с осью OX;

у=0

х2-4х+4=(х-2)2   ; х=0    

Точки пересечения с осью OX: (0;2).

 Найдём точки пересечения с осью Oу: х=0

 у=02-4·0+4=4

Точки пересечения с осью OX: (0;4).

Найдём дополнительные точки

2) Второй график у= х –прямая, проходящая через начало координат.

Часть прямой, находящийся в 1 и 3 четверти.

3)Третьим графиком у=4/x,  является гипербола, которая находится в 3 четверти.  

Построим часть гиперболы при х-2

Ответ: прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=-2 и m>1

       Постройте график функции у=. При каких значениях х выполняется неравенство у3?

Область определения данной функции D(у)=(-;0)(0;2) (2;+).

Разложим числитель и знаменатель на множители дроби вынесением общего множителя за скобки. Дальше числитель разложим на множители по формуле

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

Преобразуем дробь: у====-х-1

у=-х-1-линейная функция, графиком является прямая, рисунок 1

                                      рис.1

Для того , чтобы ответить на вопрос

рассмотрим рисунок 2

Рис.2

Ответ: неравенство у3 выполняется при

 -4х<0, 02.

Найдите все значения к, при которых прямая у=кх пересекает в трёх точках ломанную, заданную условием:

            2х+4, если х<-3

у=       -2, если-33

            2х-8,если х>3

Прямая y= kx  пересекает в трех

различных точках эту ломаную, если ее угловой

коэффициент больше углового коэффициента

прямой, проходящей через точку –(3; -2), и

меньше углового коэффициента прямой,

парал. прямым у=2х+4 ,у=2х-8 .

Найдем угловой коэффициент прямой,

проходящей через точку (-3;-2)

-2=-3к, к=2/3

Угловой коэффициент k прямой, парал.

Прямой у=2х+8 , равен 2.

Ответ: прямая имеет с ломанной три общие точки при 2/3<к<2