Программа элективного курса по математике для учащихся 9 класса: "Простейшие преобразования графиков"
рабочая программа по алгебре (9 класс) на тему

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное  учреждение

« Мокшинская средняя  общеобразовательная школа »

Программа

Элективного курса по математике

для учащихся 9 класса

«Простейшие преобразования графиков»

(52 часов)

учитель математики:

Чебакова Ольга Николаевна

2016г.

Пояснительная записка

        Данный курс для профильной подготовки учащихся 9-х классов непосредственно связан с основным курсом математики.

      В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной общеобразовательной подготовки, в том числе и графической. В ходе решения задач - основной деятельности на занятиях предпрофильного курса - развивается творческая и прикладная сторона мышления.

      Использование математического языка дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые средства.

      Общеизвестно, что геометрическая интерпретация алгебраических задач, или иначе - перевод алгебраической задачи на геометрический язык, является эффективным средством решения задач. Например, при решении уравнений и неравенств построение графиков входящих в них функций делает их наглядными, помогает найти решение и убедиться в его правильности или обнаружить ошибку. Да и некоторые уравнения (системы уравнений) и неравенства (их системы) можно решить только графически, т. е. графический метод решения является универсальным.

      Умение изображать геометрические функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса математики. Задачи на построение графиков и их использование при решении алгебраических задач предлагаются на вступительных и выпускных экзаменах. Опыт преподавания показывает, что у многих учащихся построение графиков функций вызывает затруднения. Они в значительной степени объясняются тем, что вопросы графического изображения функций в школьном курсе разбросаны по разным разделам, изучаются фрагментами, а общие приемы построения графиков практически не рассматриваются.

      Данный курс по выбору включает углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки. Поэтому будет целесообразным включение данного курса в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике. Он дополняет базовую программу, не нарушая её целостности, способствует эстетическому воспитанию учащихся, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, развивает воображение, пространственные представления.

     Содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Вопросы, включенные в этот курс, доступны и интересны всем учащимся.

    Данный курс способствует удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие ученики получают индивидуальные задания (нестандартные задачи), им будет рекомендована дополнительная литература. Таким образом, развитие интереса к математике - важнейшая цель данного курса.

Процесс обучения ориентирован на рациональное сочетание устных и письменных, практических видов работ - как при изучении теории, так и при решении задач; развитие речи учащихся, формирование у них навыков умственного труда (планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов).

    Предлагаемый предметный курс по выбору будет способствовать повышению математической подготовки учащихся, самоопределению в выборе профиля обучения, уточнению готовности и способности ученика осваивать выбранный курс на повышенном уровне.

Данный курс рассчитан на 52 часов.

Цели и задачи курса:

– углубленное изучение общих свойств функций;
– совершенствование умений распознавать, строить графики элементарных функций (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, степенной, тригонометрических, показательной, логарифмической);
– повторение и систематизация графических способов решения уравнений и неравенств; 
– совершенствование умений исследовать функции с помощью производной;
– обучение умению интерпретировать графики реальных зависимостей

- ознакомить учащихся с основными приёмами преобразования и построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами.

- привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности.

Изучение курса построено в виде лекций и практических занятий, на которых решается большое количество задач. Практические занятия проходят в компьютерном классе с использованием электронного учебника «Алгебра. Функция». Работа с электронными пособиями позволяет ученику работать в индивидуальном режиме. Уходит чувство дискомфорта, соперничества на отдельном этапе, боязни неправильного ответа, ведь в любом электронном пособии существует помощник, готовый в любую минуту поддержать и помочь, на что часто у учителя нет времени на уроке. Тем самым высвобождается время у самого учителя на индивидуальную работу, он уже выступает в роли консультанта и координатора действий учащихся.

При работе с учащимися используются наглядные, графические методы исследования функций, применяются информационные технологии. Данный материал способствует развитию у учащихся интуиции при исследовании функций.

Итоговая аттестация проводится в виде итогового тестирования. По окончании курса учащиеся представляют и защищают компьютерные презентации «Функции вокруг нас».

Изучение курса способствует более осознанному выбору математического профиля обучения в старшей школе.

В результате изучения курса учащийся должен:

• понимать функцию как соответствие между элементами множеств, причём значениями функции могут быть совсем не числа;
• понимать, что функция — это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между величинами;
• правильно употреблять функциональную терминологию, понимать её в тексте, в речи, в формулировке задач;
• среди всевозможных линий в координатной плоскости распознавать графики функций;
• иметь наглядное представление об основных свойствах функций, иллюстрировать их с помощью графических изображений;
• читать графики функций, описывать их основные свойства, указывать по графике промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения функции на данном интервале;
• применять простейшие преобразования графиков функции, заданных стандартно.

Содержание курса

Простейшие преобразование графиков.

Математическая задача служит не только целью, но и средством обучения. Умение выполнять простейшие преобразования графиков основывается на хорошем знании теории преобразований и умелом приложении своих знаний в конкретной ситуации. Логическая структура преобразования, теоремы в теории и содержании основных  положений, испытывают затруднения в применении теорем на практике, т.е. в их знаниях отсутствует именно система. С целью разрешения затруднений в этом плане выделен некоторый набор задач, представляющих формулировку факта или представление метода, часто используемых в других задачах. При решении ключевых преобразований рассматриваются следующие темы:

А) симметрия относительно оси ординат и оси абсцисс;

Б) параллельный перенос вдоль оси ординат и абсцисс;

В) сжатие и растяжение графиков вдоль оси ординат и абсцисс;

        Г) графики  1) f(x) и  f(x+a)+b и  mf(x+a)+b;

2) f(x) и mf(kx) и mf(kx+a)+b;

Для каждой ключевой задачи рассматривается в приложении 3-4 с намеченной канвой решения, заполняемые в ходе решения. Предполагаемые  задачи варьируются по трудности от простых до более трудных. Делается акцент на то, что все факты необходимо обосновать. При изложении материала преподавателем предлагается обратить внимание на анализ содержания условия, используемые методы решения.

Т.о. ученик, рассматривая систему ключевых задач, получает возможность увидеть всю теорию преобразования графиков в целом. Это поможет в старших классах успешно изучать данную тему, грамотно строить графики, решать уравнения, неравенства, тем самым этот раздел предпрофильного курса необходим для подготовки учащихся к ЕГЭ и  к вступительным экзаменам в ВУЗы.

В данной части курса рассматриваются построение графиков функций, которые не изучаются в учебнике под редакцией Теляковского, т.е. включает углубление и расширение в изучении новых формул и построение графиков этих формул. Это графики функций, содержащих выражение под знаком модуля (линейные функции и квадратичные функции), графики дробно-линейных функций y={x}.

Некоторые из задач весьма трудны и возможно, что даже способный школьник с ними справится не сразу, но тем не менее важно, чтобы потрудился над ними. Это имеет и развивающее и воспитательное значение. Каждое занятие заканчивается решением уравнений, неравенств и уравнений с параметрами. В заключении курса учащиеся выполняют и защищают проект по темам: а) использование методов сложения (вычитания) при построении графиков; б) использования метода умножения; в) построение графиков, содержащих абсолютной величины; г) применение графиков  в физике и химии.

Учитывая сложность и разнообразие задач, которые должны решать учащиеся в ходе выполнения исследования, каждый проект может быть выполнен группой, состоящей из 2-3 учащихся. Целью работы над проектами – практическая направленность использование графиков, т.е. осознание действительного использования графиков, констатация личных достижений учащихся по освоению содержания курса.

Общие свойства функций – 3 часа.

Функция, график функции, способы задания функции. Область определения, множество значений функции. Обратная функция.

Исследование функций – 5 часов.

Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания. Четность и нечетность функции. Периодичность, ограниченность, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение функции. Построение графиков функций с предварительным исследованием ее свойств.

Основные элементарные функции, их графики – 5 часов.

Линейная функция. Обратная пропорциональность. Квадратичная функция. Степенная функция. Тригонометрические функции. Показательная, логарифмическая функция.

Решение уравнений и неравенств с помощью графиков – 6часов.

Графический способ решения уравнений. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и систем уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем.

Элементарные функции, содержащие аргумент под знаком модуля. 5 часов.

Линейная функция, содержащая аргумент под знаком модуля, ее свойства и график. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, с помощью графиков. Квадратичная функция, содержащая аргумент под знаком модуля, ее свойства и график. Решение квадратных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, с помощью графиков. Контрольная работа по теме “Решение уравнений и неравенств графическим способом”.

Преобразование графиков – 7 часов.

Построение графиков функций путем элементарных преобразований графиков основных функций (сдвиг осей координат вправо-влево, вверх-вниз). Построение графиков функций путем симметричного отображения относительно осей координат графика основной функции. (Построение изображения, симметричного графику функции у = f(х) относительно оси Ох (у = – f(х)). Построение изображения графика, симметричного графику функции у = f(х) относительно оси Оу (у = f(–х)).)

Построение графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля:

а) у = f (|x|),
б) у = f |(х)|,
в) у = | f (|x|)|.

(При построении графика функции у = f (|x|)  строится график функции у = f(х) при  х =/= 0 и отображается относительно оси Оу. При построении графика функции у = f |(x)| строится график функции у = f(х) и ту  часть графика, которая лежит над осью Ох оставляем  без изменения, а ту часть графика, которая лежит ниже оси Ох, отображаем относительно оси Ох.)

Тестирование по теме “ Общие свойства функций. Исследование функций. Преобразование графиков”.

Арифметические действия с графиками – 7часов.

Построение графиков функций видов у = f(х) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x) • g(x), y = f(x)/g(x). Построение графиков обратной  y = f – 1(x) и сложной h = f (g(x)) h = (f • g)(x) функций. Построение графика дробно-линейной функции у = , где а, b, с, d – постоянные, причем с =/=0, ad =/= bc, x =/=– . 

        Полярная система координат и графики функций  в ней – 3часа.

Знакомство учащихся с различными типами систем координат (прямоугольно-декартова система координат – известная из школьного курса математики; полярная система координат; сферическая система координат). Рассмотрение особенностей построения графиков функций в полярной системе координат и видами преобразований графиков в этой системе (симметричное отображение: относительно полюса, относительно полярной оси; деформация вдоль полярной оси: график растянут вдоль оси в m раз, m > 1; сжат в m раз, 0< m <1; скручивание: углы, образованные различными прямыми, исходящими из полюса, уменьшаются в k раз, если 0 < k < 1, и увеличиваются, если k > 1; поворот графика на угол  почасовой стрелке, если  < 0, и против, если  > 0; растяжение  вдоль всех направлений  = const на b масштабных единиц

Исследование функций с помощью производной – 6 часов.

Геометрический смысл производной. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке и на области определения. Нахождение углового коэффициента касательной по графику производной. Определение точек экстремума, стационарных точек по графику функции и по графику производной. Исследование функций с помощью производной. Асимптоты. Построение графиков функций с помощью производной.

Интерпретация графиков реальных зависимостей –3 часа.

Описание реальных зависимостей с помощью графиков. Интерпретация графиков реальных зависимостей.

Итоговые занятия – 3 часа.

Предусматривают помощь в написании проектов по теме «Функции и их графики в реальной жизни» (темы проектов могут быть различны), а также последующую защиту учащимися своих работ.

Учебно-тематический план

Литература для учителя:

1. Гельдфан И. М. Функции и графики (основные приемы). М: Наука, 1971.
2. Кухначев Ю. В., Носов Ю. Т. Учись применять математику. М., 1977. (Серия «Знания»)
3. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб.для 7 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001. .
4. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
5. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб.для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
6. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 8 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
7. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб.для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
8. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 9 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
9. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1987.

Учебно- методическое

обеспечение.

• Дидактический материал
• Электронные учебники
• Методическая литература для ученика и учителя
• Творческие проекты учащихся
• Наличие в учебном классе компьютерного класса