Решение уравнений с модулем и параметром
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

 Пирогова Татьяна Николаевна г. Таганрог МОУ СОШ № 10.

 Тема: «Решение уравнений с модулем и параметром»

10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».

План урока.

1. Мотивация.
2. Актуализация знаний.
3. Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
4. Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
5. Исследовательская работа   по определению зависимости количества корней уравнения

| |х| - а |= в  от значений  а и в.

6. Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
7. Рефлексия.

Ход урока.

Мотивация.  Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей».  «Мера» на латинском языке - «modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится,  и в конце  урока мы с вами  станем мудрее.

Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле. 

• Определение модуля. Модулем  действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное  ему число, если оно отрицательно.

• Геометрический смысл модуля.  Модуль  действительного числа  а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой  а  на числовой прямой.

          –a                   0                   a

               |–a| = |a|              |a|                      x

•  Геометрический смысл модуля разности величин.  Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,

 т.е. длина отрезка [а в]

          1) Если a < b                                   2) Если a > b

                 a              b                                                 b            a

                    S = b – a                                                    S = a – b         

       3) Если  a = b, то   S = a – b =  b – a = 0

• Основные свойства модуля

1. Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x| ≥ 0 для любого x
2. Модули противоположных чисел равны, т.е. |x| = |–x|   для любого x
3. Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е.|x|2 =x2  для любого x

4.   Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b| = |a| · |b|

5.   Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0

          6.  Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства:

| |a| – |b| | ≤  |a + b| ≤  |a| + |b|

| |a| – |b| | ≤  |a – b| ≤  |a| + |b|

• График модуля  у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
• Как построить графики функций? у =  |х –4|, у =  |х +3|, у =  |х –3|, у =  |х| + 1,
•  у =  |х| – 3, у =  |х| – 5, у =  |х – 3| + 3, у =  |х – 3| – 2, у =  |х + 2| – 5. у =  ||х| – а|     

Пример.        Решить уравнение   .

Способ 1.   Метод раскрытия модулей по промежуткам.

 Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля. 

Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.

 Способ 3. Использование геометрического смысла модуля.

           Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.

Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Здесь используется свойство модуля

 и то, что обе части уравнения неотрицательные.

Способ 5. Графическое решение уравнения .

Обозначим  . Построим графики функций  и :

Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни  

 и .

Самостоятельная работа

 решите уравнения:

А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:

Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в?   От чего это зависит?

Исследовательская работа по теме

«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в   от а и в»

Проведем работу по группам, с использованием     аналитического, графического и геометрического способов решения.

Определим, при каких условиях данное уравнение  имеет 1 корень, 2 корня,              3 корня, 4 корня и не имеет корней.

1 группа   (по определению)  

2 группа    (используя геометрический смысл модуля)                              

3 группа   (используя графики функций)

Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.

Конечно, необязательно эту схему запоминать. Главное в проведенном нами исследовании  было – увидеть эту зависимость, используя  разные методы, и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений  нам будет уже несложно.

Ведь решение задания с параметром  всегда подразумевает некоторое исследование.

Решение уравнений с двумя модулями и параметром.

1. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – р– 3| = 7   имеет ровно один корень.

Решение: | |х| – ( р + 3)| = 7   

 р+3= -7,  р = -10.    Или  геометрически     

р + 3–7                 р + 3                р + 3+7               р + 3+7=0, р = -10     

                     - 7                  7      по схеме уравнение такого вида имеет ровно один  корень, если в = – а, где в=7, а=р+3               

2. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – р– 6| = 11   имеет ровно два корня.

Решение: | |х| – ( р + 6)| = 11        геометрически     

                       р + 6–11            р + 6           р + 6+11              р + 6-11<0, р < 5,      р + 6+11>0, р > -17

                                         - 11                11                    

по схеме уравнение такого вида имеет ровно два  корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в=11, а=р+6.       -17< р < 5. 

3. Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – 4р| = 5р–9   имеет ровно четыре корня.

Решение: по схеме уравнение такого вида имеет ровно четыре  корня, если

0< 5р–9 < 4р,  р > и р < 9,

т.е. 1 < р< 9.

Ответ: 1 < р< 9.    

4.  . Найти значения  р, при каждом из которых уравнение | |х| – 2р| = 5р+2  не имеет   корней.  Решение: 5р+2  <0, или 5р+2  =0 и –2р>0, или 5р+2  >0  и 5р+2  <-2р.

р < –0,4, или р = –0,4, или р> – 0,4 и р < – . Ответ: р < –

5. При каких значениях параметра р уравнение  | |х–4| – 3| + 2р= 0   имеет три корня.  Найти эти корни.

Преобразуем уравнение к виду:

 | |х–4| – 3|= – 2р.

По схеме уравнение такого вида       имеет три корня,

если –2р=3>0,

 т.е. р = –1,5.

||х–4|–3| = 3,

|х–4|=0,  х = 4,

||х–4|=6,  х = –2, х =10.

Ответ: при  р= –1,5 уравнение имеет три корня:  х1 = –2,  х2 = 4,  х3 =10.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Скажите, какие бы вы выделили главные слова урока?  ( Модуль, параметр)

Что мы сегодня повторили?  (Определение модуля, геометрический  смысл модуля числа и разности чисел, свойства модуля, разные способы решения уравнений)

Что  мы сегодня делали?

Домашнее задание.