Использование свойства монотонности функции
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Опубликовано 28.06.2017 - 13:36 - Козельский Валерий Иосифович

В статье рассматривается один из способов,исползующий при решении задач свойство монотонности функции

Скачать:

Вложение	Размер
ispolzovanie_svoystva_monotonnosti_funktsii.docx	18.82 КБ
urok_po_algebre_i_nachalam_v_11_klasse.docx	209.13 КБ

Предварительный просмотр:

Использование свойства монотонности функции.

Функциональная направленность изучения математики в средней школе

предполагает умение и понимание использования свойств функции при решении задач. ·

Это позволит обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, позволит привить навыки

использования нестандартных методов рассуждения, что , несомненно , способствует подготовке к ЕГЭ.

Остановимся на свойстве монотонности функции. Данное свойство , как правило, не вызывает затруднений у учащихся. Другое дело умение определять наличие свойства монотонности у функции. Для этого необходимо понимание наличия свойства монотонности основных элементарных функций , а также функций являющихся композицией элементарных функций. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях .

1.Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения х, принадлежащие области определения f( x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

1.Решить неравенство. Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение

имеет не более одного решения, причем если x =1 – решение этого уравнения, то при будет решением

а решением данного неравенства будет .

Ответ:

2.Решить уравнение:

Данное уравнение имеет очевидное решение х=1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим .

Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: х=1

Уравнения вида =hПри решении уравнений данного вида используются следующие утверждения

1) пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение =hбудет равносильно системе f=g, f

Рассмотрим задание предлагаемое на ЕГЭ

3. . При каких значениях a уравнение не имеет решений.

Преобразуем уравнение

Рассмотрим функцию

Правая и левая часть уравнения есть значение этой функции при

t=2x и t=3x+a соответственно.

f’(x) = при любом x. Это значит , что функция f(x) возрастает,

то есть она каждое свое значение принимает только один раз.

Это значит что

Уравнение не имеет решений если дискриминант отрицательный.

D=9+16a,

Ответ: a

Решение следующих уравнений будет полезным для совершенствования навыков решения подобных задач.

1.При каких а уравнение не имеет решений

2.Решить уравнения или неравенства

а)

б)

в)+

г)

Предварительный просмотр:

Урок по алгебре и началам в 11 классе

Тема: «Тригонометрические преобразования, уравнения и неравенства»)

Цели урока:

Обучающая цель: Привести в систему знания, полученные по данной теме, тем самым подготовить учащихся к сдаче выпускного и вступительного экзамена по математике.

Развивающая цель: Развивать логичность, точность и быстроту мышления.

Воспитывающая цель: Воспитывать любовь и интерес к математике.

Ход урока.

1.Вступительное слово учителя.

2. Актуализация опорных знаний

3.Применение знаний

4. Самостоятельная работа

5. Анализ работы

6.Домашнее задание

1. Сообщается тема урока. Умение работать с тригонометрическими выражениями, решать уравнения- необходимые навыки для изучения следующей темы, а также для готовности к экзамену .

2.Повторение формул и определений (устная работа)

а)