Алгебраические функциональные зависимости
методическая разработка по алгебре на тему

Алгебраические функциональные зависимости

© Скаржинский Я.Х.

        В п.7 § 2 «Алгебраические выражения и их характеристики» рассматриваются алгебраические выражения, имеющие вид:

у=3х;        у=ах2+4b;         у=0,5х2+2;

 и т.д.

        В алгебре функциональная зависимость имеет определение: «Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у», где у – зависимая переменная, х – независимая переменная.

         Следует отметить, что в алгебре буквами х и у обозначают множества. Данные множества имеют только числовые (арифметические) значения. Поскольку буквами обозначают не переменные, а множества, значения которых могут быть не только определенными, но и принимать различные значения для х и у, которые зависимы друг от друга (т.е. взаимосвязаны), то правильнее было бы определение: Алгебраической функцией называют алгебраическое выражение, имеющее вид формулы, в которой слева находится множество «у», значение которого зависит от значений множества «х», находящегося справа, т.е. каждому значению множества «х» соответствует единственное значение множества «у». Такие множества называют взаимозависимыми или взаимосвязанными. Для краткости можно сформулировать: Алгебраической функцией называют алгебраическое выражение вида формулы, в которой каждому значению множества «х», находящемуся справа, соответствует единственное значение множества «у», находящемуся слева. Где у – множество с зависимыми значениями, х – множество с независимыми значениями. Примеры конкретных функциональных зависимостей: у=2х; у=0,5х+4; у=0,5х2–2 и т.д.

        Значения множества «у» определяются (образуются) после арифметических расчетов (вычислений) по предложенной функциональной зависимости после подстановки значений множества «х». Каждому одному значению множества «х» соответствует единственное значение множества «у». Функция связывает задаваемые значения множества «х» со значениями множества «у». Т.е. функция связывает значения двух множеств «х» и «у». Следовательно, значения множеств «х» и «у» связаны. Эту связь кратко обозначают у(х). Под краткой записью у(х) подразумевают запись у=0,5х2+2 или у=ах2+4b или у=3х и т.д.

        Алгебраическая функциональная зависимость – алгебраическое выражение, имеющее вид формулы, у которой с левой стороны от знака равно находится множество, значения которого зависят от задаваемого значения множества, находящегося справа среди других множеств с известными однозначными значениями. На примере для функции у(х) значение функции - это значение множества «х» и значение множества «у». Отсюда вытекает вывод: значение функции у(х) – двухмерно. Т.е. одно значение функции состоит из одного значения множества «х» и связанного с ним одного значения множества «у».

        Множество у нельзя называть функцией. Для функции заданной алгебраическим видом у=2х2–6 записи вида у=f(х) или f(х)=2х2–6 не правильные. Выходит для у=f(х) это (у=у=2х2–6), которое является не понятным выражением. Или для f(х)=2х2–6 это (у=2х2–6=2х2–6), которое тоже является непонятным выражением.

        Также следует отметить, что выражение у=2х2–6, в котором множество «х» имеет не одно конкретное значение, а большое количество различных задаваемых значений и при этом образуется большое количество значений у множества «у», зависящих от «х» не называют формулой, а называют алгебраической функциональной зависимостью. Хотя можно отметить, что алгебраические выражения формула и функциональная зависимость похожи.

        Далее говорится, что функция имеет область значений. Но высказывание «Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции» – не верное. Как по определению вид зависимости (функция) может иметь одномерную область значений? Нелогично. Одномерные значения имеют в отдельности «буква» х и «буква» у, которыми обозначены числовые множества, связанные функционально. А отсюда следует, что да функция имеет значение и значения, но они не одномерные, а двухмерные. Поэтому область определения функции есть область значений независимой и зависимой переменных для множества «х» и множества «у».

        На графике функциональной зависимости значением функции является точка, которая характеризуется двумя мерами (измерениями), значением множества «х» и значением множества «у». А значения (большое число значений) функции образуют множество точек, которые образуют линию, отображающую эту зависимость. Т.е. линия графика отображает множество значений функции, которые являются двумерными т.к. мы имеем две оси ОХ и ОУ (данные суждения см. в следующем параграфе).

        Все выше перечисленные понятия полностью соответствуют и суждениям, применяемым в математике, физике и других науках.

В О П Р О С Ы

1 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?

2 Что общего и чем отличаются алгебраические выражения вида формулы и функциональной зависимости?

3 Приведите примеры алгебраических функциональных зависимостей.