Карточки по теме "Квадратные уравнения" алгебра 8 класс
тренажёр по алгебре (8 класс) на тему

                          Карточка «Выделение полного квадрата»                Алгебра 8.

        Выделить полный квадрат из квадратного трехчлена    .

 Пример :   Выделить полный квадрат из выражения:  .

                                             Решение:

= ,

.

                                      Логические шаги:

1. Вынесем за скобки коэффициент при .

2. Выражение  2 х  запишем  в  виде  2 · х · 1(удвоенное произведение числа  х на число 1).

3. Выражение    дополним до полного квадрата  -  прибавим и вычтем по 1

    (выражение от этого не изменится).

4. Произведем замену выражения  + 1  выражением  .

                    Ответ:   = 2- 5.

Выделить полный квадрат из выражения (выполнить самостоятельно) :

               а)     б) .

   Квадратное уравнение общего вида                                    Алгебра 8.

Так называется уравнение   = 0,  где а ≠ 0 и а ≠ 1.

1. Разделим обе части уравнения на  а:  .

2. Выделим полный квадрат и получим:  или

  , обозначим  D = , тогда , если D > 0,              

         то      .

3. D =  - называется дискриминантом уравнения  = 0  ( 1) :

    А)   Если   D > 0,  то уравнение ( 1) имеет два различных действительных корня:

                                   ,    .

    Б)    Если   D = 0,  то уравнение ( 1) имеет один  действительный корень или

                                   два равных корня:   .

    В)   Если    D < 0,  то  уравнение ( 1) не имеет  действительных корней.

           Карточка «Решение квадратных уравнений»          Алгебра 8

1. Решить уравнения: а)  ;    б)  .

2. Использую понятие дискриминанта квадратного уравнения, определить, не решая

    уравнения, имеет ли оно корни и если да, то какие (два различных действительных  

    корня, два равных действительных корня ):

       а)  ;   б)  ;

       в) ;    г) .

                        Приведенное квадратное уравнение.                           Алгебра 8

Уравнение    -  называется приведенным, если  а = 1.

Уравнение вида  ,  где  p  и  q – числа,  называется приведенным.

1.  Назвать уравнения, которые являются  приведенными квадратными уравнениями:

     а)  ;     в)  ;

     б)   ;                        г)  .

2.  Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения  .

      Решение:

   .

Имеем:    ;     .

                        Корни приведенного квадратного уравнения .

        Имеем приведенное квадратное уравнение  

         Найти сумму и произведение его корней.

Решение:    1.  В заданном уравнении  p = - 5 ,  q = 6.

                         Применим формулу  .

                         Имеем:  ,  х = 2, х = 3.

                    2.  Найдем сумму и произведение  корней:

                                  .

Вывод:  Для данного уравнения мы получили, что сумма корней его равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

     Что это – простое совпадение или закономерность?

                                                      Теорема Виета.

Пусть дано приведенное квадратное уравнение вида

 Тогда    ,  .

Найдем сумму корней. Легко заметить, что .

Найдем произведение корней :

     () · () =  .

Откуда      q.

Значит, для приведенного квадратного уравнения  где   - корни данного уравнения,  верно :.

     Карточка №1. «Приведенное квадратное уравнение»         Алгебра 8

Не решая данных уравнений, определить их корни:

         а) ;    б)  ;   в)  .

Ответы записать в таком виде:

   1) 1 и 4;     2) 1 и – 4;   3) - 1 и 4;    4) - 1 и – 4;    5)  нет действительных корней.

     Карточка №2. «Приведенное квадратное уравнение»         Алгебра 8

Не решая данных уравнений, определить их корни:

            а) ;    б)  ;   в)  .

Ответы записать в таком виде:

   1) 1 и 4;     2) 1 и – 4;    3) - 1 и 4;    4) - 1 и – 4;    5)  нет действительных корней.

                     Теорема, обратная теореме Виета.                    Алгебра 8

    ●  Если даны два действительных числа  , такие, что ,  то

эти числа   являются корнями  квадратного уравнения  .

Задача.  Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа  3 и – 5 .

Решение:

   1.  Приведенное квадратное уравнение имеет вид :

   2.  Применим теорему, обратную теореме Виета:

             3 + (- 5) = - p,    3 · ( - 5) = q.  Отсюда   p = 2;  q = - 15.

   3.  Составим уравнение:      

                 Ответ:   .

     Карточка №3. «Приведенное квадратное уравнение»         Алгебра 8

Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа: А)  2 и 3; Б) 6 и – 2.

                                                      Решение:

1.  Запишем приведенное квадратное уравнение :  

2.  Применим теорему, обратную теореме Виета:  ; …

3.  Составим уравнение: ….

     Карточка №4. «Приведенное квадратное уравнение»         Алгебра 8

Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа: А) - 5  и - 3; Б) 1 и – 2.

                                                      Решение:

1.  Запишем приведенное квадратное уравнение :  

2.  Применим теорему, обратную теореме Виета:  ; …

3.  Составим уравнение: ….

Ответ: 1а) ;  1б) .  2а) ;  2б) .

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Алгебра 8

            Квадратный трехчлен    тогда и только тогда представим в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами:

                                            =  

 когда дискриминант  D =  этого квадратного трехчлена неотрицателен

                  ( здесь    и   - корни трехчлена  ).

                                                       Пример.

Разложить на линейные множители выражение:  .

Решение:     1. D =  ,  D =  ,  D > 0.

                     2.  Выносим коэффициент при   за скобку:

                          .

                     3.  Находим корни уравнения:  :

                            .

                     4.  Запишем:  = .

Ответ:  =    или    .