Задачи на максимум и минимум
проект по алгебре (11 класс) на тему

Ноговицына Ольга Святославна
Опубликовано 09.04.2018 - 8:26 - Ноговицына Ольга Святославна

Цель:

1.     Рассмотреть примеры решения задач на максимум и минимум, сводящиеся к отысканию наибольшего (наименьшего) значения функции, заданной на отрезке или интервале.

2.     Показывая новый способ решения задач с помощью производной, показать, что не надо упускать возможность применить более простые способы решения, основанные на отыскание экстремума квадратичной функции, на использование  неравенства   image   и других идей.

3.     Сформировать положительную мотивацию к урокам математики, развивать грамотную математическую речь

4.     Развивать исследовательские умения

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon plan_uroka_zadachi_na_maksimum_i_minimum_11_klass.doc66 КБ
Файл reshenie_zadach_na_otyskanie_naibolshego_i_naimenshego_znacheniy2.pptx735.59 КБ

Предварительный просмотр:

Конспект урока

Учитель: Ноговицына Ольга Святославна учитель математики МБОУ СОШ ДС №15 муниципального образования городской округ Симферополь

Класс: 11  

Предмет: алгебра и начала математического анализа

Тема урока: «Задачи на максимум и минимум»

Учебник: Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин]

Триединая дидактическая цель: 

1. Обучающая. Овладение системой знаний и умений:

  • Знания. Ученик должен знать определение максимума и минимума функции на отрезке, точек максимума и минимума, второй производной, алгоритм решения задач на максимум и минимум.
  • Понимания. Ученик должен понимать достаточный признак возрастания и убывания функции, признак максимума и минимума функции; значение идей, методов и результатов математического анализа для построения моделей реальных ситуаций.
  • Применение Ученик должен уметь решать задачи на нахождение наибольшего значения функции на промежутке.
  • Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач на наибольшее и наименьшее значение с применением аппарата математического анализа.

2. Интеллектуальное развитие. Создать условия для развития логического мышления, алгоритмической культуры, развития математического мышления и интуиции.

3. Воспитание. Способствовать воспитанию средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

Формирование общеучебных умений и навыков. Создать условия для совершенствования опыта: поисковой деятельности, работы с текстом, планирования и осуществления алгоритмической деятельности; построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач; проверки и оценки своей работы, соотнесения их с поставленной задачей.

Тип урока Комбинированный.

Организационная форма

Основные методы:     методы организации учебно-познавательной деятельности (репродуктивный, частично-поисковый), методы стимулирования и мотивации (создание ситуации успеха, опора на жизненный опыт, выполнение творческих заданий).

Основные формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуализированная, групповая.

Оборудование: мультимедийная установка и презентация к уроку, листы на печатной основе для каждого ученика.

Планирование структуры и содержания учебного занятия:

Задача этапа учебного занятия

Деятельность  

Планируемый результат

учителя

учащихся

1.Организационно-мотивационный

1. Раскрыть цели  и план работы

2. Обеспечить

психологический настрой

-Открыли тетради, записали число. Какую тему мы изучаем на порятжении уже нескольких уроков?

 - Тема сегодняшнего урока «Задачи на максимум и минимум», запишите.

- Как вы думаете какие цели мы можем поставить для сегодняшнего урока?

Производная. Применение производной.

 

-1.Научиться решать задачи на максимум и минимум.

2. Разработать алгоритм их решения.

3.Развивать логическое мышление.

4. Развивать грамотную математическую речь.

5. Развивать исследовательские умения.

Учащиеся принимают цели  урока

2. Этап всесторонней проверки теоретических знаний

 1. Выявить уровень знаний,  умений учащихся, пробелы  в знаниях.

2. Устранить обнаруженные пробелы.

3. Организовать самостоятельную    работу учащихся.

4. Историческая справка.

  Сейчас каждый из вас самостоятельно вспомнит   теоретический материал и при необходимости  устранит обнаруженные пробелы.

На листе найдите первое задание: Установи соответствие с помощью стрелок между началом и концом утверждения. Ниже в таблице под номером вопроса поставь только выделенную букву.

1. Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то

точка, в которой производная равна нулю или её не существует.

2. Путь точка движется по закону s=s(t), тогда

функция f(x) убывает на I.

3. Критической точкой функции f(х)на отрезке называется

она равна нулю.

4. Если производная функции меньше нуля в каждой точке интервала I. то

  Х0  точка максимума

5. Если в точке х0  производная меняет знак с минуса на плюс, то

функция f(x) возрастает на I

6. Если в точке х0  производная меняет знак с плюса на минус , то

первая производная определяет скорость точки, а вторая производная определяет ускорение точки в момент времени t 

7. Если производная функции больше нуля

и каждой точке интервала I. то      

Х0  точка минимума

Осуществляется взаимопроверка. Ставится оценка за работу на этом этапе.

Мы получили фамилию  великого учёного математика Лейбница не случайно. В 17 веке свершилась математическая революция. Произошёл переход от элементарной математики к математическому анализу, предметом изучения которого является функция. Эту революцию свершили два величайших ума независимо друг от друга, один из них Готфрид Лейбниц.

Зарождение математического анализа

Официальным годом рождения дифференциального исчисления считают 1684 год, тогда была опубликована первая печатная работа, в которой излагаются основные понятия и методы дифференциального исчисления. Это была знаменитая статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов...». В ней Лейбниц изложил условия для экстремумов, сформулировал признаки возрастания и убывания, применил свой метод для большого числа задач.

 Научные интересы Лейбница были разнообразны. Он внёс вклад не только в математику, но и физику, философию, лингвистику, психологию, биологию, был известным политиком и дипломатом. По его инициативе был создан научный журнал, он организовал Академию наук в Берлине, Встречался с Петром I, по его плану была создана Петербургская Академия наук.

Во время поездки в Лондон он познакомился с Ньютоном. В последствие вел с ним переписку. Независимо друг от друга оба этих ученых пришли к дифференциальному исчислению. Но символика Лейбница оказалась более удобной, чем знаки, предложенные Ньютоном, ею пользуются по сей день.

Ньютон на 11 лет раньше создал дифференциальные   исчисления. В шестидесятые годы семнадцатого столетья, чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься математикой. Свои результаты он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов»

Выполняют  задание, осуществляют   взаимопроверку.

Проверены знания, установлены пробелы в их усвоении. Приняты меры по ликвидации пробелов за счёт оптимального сочетания контроля учителя, и взаимоконтроля

3. Отработка практических навыков.

1. Решить задачи с использованием презентации на нахождение промежутков возрастания и убывания, критических точек, локальных экстремумов. Применение производной в физике.  

 - Ребята, а теперь внимание на презентацию. Решаем задачи.

 Выполняя задания, устно комментируют решение и ответы.

Правильность и осознанность выполнения работы по овладению знаниями

4. Усвоение новых знаний.

 Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание изучаемого материала.

- Л. Н. Толстой « Много ли человеку земли надо». Решаем задачу литературного содержания. Презентация.

Разрабатываем схему исследования на наибольшее и наименьшее значение функции.

-Решаем задачу в общем виде: В круг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей площади.

В группах добывают знания, активно участвуют в исследовательской работе и подведении итогов.

1. Задачу «переводим» на язык функций. Для этого выбираем удобный параметр  х, через который интересующую величину выражаем как функцию от х.

2. Находим наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке.

3. Интерпретируем найденный результат («переводим» с языка математики на язык первоначальной задачи)

-Наибольшую ли площадь при данном периметрии(40 км) получил Пахом? Решаем задачу. Делаем выводы.

 Учащиеся воспроизводят алгоритм и пользуются им в стандартных и изменённых ситуациях

5. Подведение итогов занятия. Информация о домашнем задании

Пришло время подвести итоги.

Ответим на  вопрос:

1. Какова схема исследования на наибольшее и наименьшее значение функции?

2. Имеет ли изученная тема практическую значимость?  

 Дома вы должны будете найти и решить задачи Найти и решить задачи на максимум и минимум :

1 группа в химии

2 группа в физике,

3 группа в медицине и биологии

Если не найдёте не расстраивайтесь, а просто выполните №5.94, 5.95

Мы сказали, что производная – это скорость изменения функции. Ответьте на языке производных на вопрос: являются ли успехи в учёбе производной от багажа знаний?

Осуществляют рефлексию по осознанию результатов своей деятельности  и деятельности других учащихся.

Получают домашнее задание в соответствии с результатами деятельности на учебном занятии

Чем быстрее изменяется (увеличивается) багаж знаний, тем быстрее изменяются (увеличиваются) успехи в учёбе.

Усвоение способов решения возникших в ходе учебного занятия проблем

Готовность учащихся к выполнению домашнего задания

6. Рефлексия

Организовать индивидуальную и коллективную работу.

  • Сегодня на уроке я узнал…
  • Сегодня  на уроке я научился…
  • Сегодня на уроке я познакомился…
  • Сегодня на уроке я повторил…
  • Сегодня на уроке я закрепил…

.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Урок – исследовательский проект по алгебре и началам математического анализа в 11 классе по теме: «Задачи на максимум и минимум» Учитель: Ноговицына Ольга Святославна

Слайд 2

16.11.2016 2 1. Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано уравнением ( I – в амперах, t – в секундах). Найдите скорость изменения силы тока в момент времени t = 10 сек. 2. Известно, что тело массой m=5 кг движется прямолинейно по закону (S – путь в метрах, t – время в секундах). Найдите кинетическую энергию тела через 2 сек после начала движения. Ответ: v(t) = 4t – 5 (A / c), v(10) = 35 (A / c) 2

Слайд 3

16.11.2016 3 x 0 y 1 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на на

Слайд 4

16.11.2016 4 x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1

Слайд 5

16.11.2016 5 x 0 y 1 -1 2 По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R Ответ: на 1

Слайд 6

16.11.2016 6 x 0 y 1 -1 2 На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках -2 3 -5 5 1

Слайд 7

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 7 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1

Слайд 8

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 8 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Верно Подумай Подумай Подумай Подумай 1

Слайд 9

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 9 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Верно Подумай 1

Слайд 10

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 10 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Подумай Верно 1

Слайд 11

Дан график производной одной из перечисленных функций. Определите какой? 16.11.2016 11 x 0 y 1 -1 2 1 2 3 4 5 Подумай Подумай Подумай Подумай Верно 1

Слайд 12

16.11.2016 12 Функция f(x) задана на [a; b] . Определите max и min функции , и точки локального экстремума на [a; b] . х у 0 а b х 1 х 2 х 3 х 4

Слайд 13

16.11.2016 13 Л.Н.Толстой «Много ли человеку земли надо?» …Крестьянин Пахом очень мечтал о собственной земле и собрал он наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км.

Слайд 14

16.11.2016 14 А В С D 2 13 10 15 P = AB + BC + CD + DA P = 2 + 13 + 10 + 15 = 40 ( км) Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?

Слайд 15

16.11.2016 15 Начертите четырехугольник с периметром 40 км и наибольшей площадью 1 ряд 2 ряд 3 ряд

Слайд 16

16.11.2016 16 Составить таблицу для вычисления площадей прямоугольников с различными длинами Периметр P 40 40 40 40 40 40 Стороны а b Площадь S 1 19 19 100 2 18 36 5 15 75 6 14 84 8 12 96 10 10 Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км ( P = 9*4=36 км) и иметь участок площадью S = 9*9 =81( кв.км)

Слайд 17

09.04.2018 17 Схема исследования на наибольшее и наименьшее значения функции 1. Ввести переменную х , от значения которой зависит та величина, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение; 2. Определить границы изменения переменной х – промежуток Х ; 3. Выразить через х величину, которая согласно условию задачи принимает наибольшее (наименьшее) значение (получить функцию f(x) ) ; 4. Рассмотреть функцию f(x) , заданную на Х , найти ее критические точки, точки локального максимума (минимума); 5. Объяснить, почему в точке локального максимума (минимума) функция принимает наибольшее (наименьшее) значение; 6. Интерпретировать результаты исследования функции f(x ) с точки зрения решаемой задачи.

Слайд 18

16.11.2016 18 В круг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей площади. А В С D x O a a РЕШЕНИЕ 1. , 2. 3. 4.

Слайд 19

16.11.2016 19 продолжение 5. где 6. х 0 + - Ответ:

Слайд 20

16.11.2016 20 А В С D х 20 - х Наибольшую ли площадь при данном периметре (40 км) получил Пахом? на интервале (0; 20) функция имеет единственную критическую точку х=10

Слайд 21

16.11.2016 21 Если бы Пахом при Р=40 км, пробежал бы по периметру квадрата, то площадь была бы больше и равна 100 кв.км продолжение х 0 10 20 + -

Слайд 22

16.11.2016 22 Задача 5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. Решение х 1 . x > 0, 2. 3.

Слайд 23

16.11.2016 23 продолжение на интервале (0; +∞) на интервале (0; +∞) функция имеет единственную критическую точку х 1 х 1 0 - + min

Слайд 24

16.11.2016 24 продолжение Ответ:

Слайд 25

09.04.2018 25 Д/З : п.5.9 – выучить; выучить алгоритм решить №№5.94*, 5.95 + творческое задание (необязательное) Придумать прикладную задачу по пройденной теме. 1 группа в химии 2 группа в физике, 3 группа в медицине и биологии Какова схема исследования на наибольшее и наименьшее значение функции? Имеет ли изученная тема практическую значимость?

Слайд 26

Продолжите фразы: Сегодня на уроке я узнал… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я познакомился… Сегодня на уроке я повторил… Сегодня на уроке я закрепил… 09.04.2018 http://aida.ucoz.ru 26

Слайд 27

09.04.2018 27 http://images.yandex.ru/search?p=3&ed=1&text=%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%B7%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8%20%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D0%BE%20%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%83%20%D0%A2%D0%BE%D0%BB%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%20%D0%9B.%D0%9D.&spsite=hiero.ru&img_url=en.hiero.ru%2Fpict%2F766%2F2137861.jpg&rpt=simage (сколько земли 1) http :// images . yandex . ru / search ? p =8& ed =1& text =% D 1%81% D 0% BA % D 0% BE % D 0% BB % D 1%8 C % D 0% BA % D 0% BE %20% D 0% B 7% D 0% B 5% D 0% BC % D 0% BB % D 0% B 8%20% D 0% BD % D 0% B 0% D 0% B 4% D 0% BE %20% D 1%87% D 0% B 5% D 0% BB % D 0% BE % D 0% B 2% D 0% B 5% D 0% BA % D 1%83%20% D 0% A 2% D 0% BE % D 0% BB % D 1%81% D 1%82% D 0% BE % D 0% B 9%20% D 0%9 B .% D 0%9 D .& spsite = feb - web . ru & img _ url = feb - web . ru %2 Ffeb %2 Ftolstoy %2 Fpictures %2 FLEB -338. jpg & rpt = simage (сколько земли 2) Список использованных ресурсов и литературы Лукин Р.Д., Лукина Т.К., Янунина М.С. Устные упражнения по алгебре и началам анализа. – М.Просвещение, 1989 г. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл . общеобразоват . учреждений: базовый и профил . уровни. – М.:Просвещение , 2008. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. Дидактический материал. 11 кл .. – М.:Просвещение , 2009. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 11 кл.Книга для учителя. – М.:Просвещение , 2009. Толстой Л.Н. Много ли человеку земли надо. Презентация – шаблон Microsoft Office PowerPoint 97-2003 , автор Александрова З.В. ( Aida_Alex ) http:aida.ucoz.ru


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок на тему: "Критические точки функции, ее максимумы и минимумы".

В системе упражнений, предлагаемой по данной теме, основное внимание уделяется закреплению умения определять точки максимума (минимума) и знания достаточных условий точек экстремума, что способствует ...

Сценарий урока по теме "Задачи на максимум-минимум, реашаемые методами элементарной алгебры" для 9 класса

Предлагается сценарий занятия по теме "Задачи на максимум-минимум, решаемые методами элементарной алгебры", реализуемый в 9 классе по курсу предпрофильной подготовки "Уравнения и неравенства с парамет...

Разработка урока на тему "Использование производной для нахождения оптимального решения в прикладных задачах (Задачи на максимум и минимум)" по алгере 10-11 кл. с презентацией.

Урок посвящён теме  использования производной для нахождения оптимального (наилучшего) решения в прикладных задачах (текстовых, геометрических, химических, решении уравнений), данный матери...

Урок в 11 классе по теме "Точки максимума и минимума"

Конеспект урока изучения новой темы. Презентация....

Урок в 11 классе "Максимум и минимум функции."

Конспект урока можно использовать при подготовке к урокам...

Семинар по теме "Задачи на максимум и минимум"

Цель семинара: Рассмотреть решение задач на максимум и минимум практического содержания, углубить знания учащихся по этой теме. Развивать познавательный интерес к предмету математики. Воспитывать чувс...

Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления»

Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления» проводится в 11 классе в рамках темы "Математичес...