Методы решения тригонометрических уравнений.
план-конспект урока по алгебре на тему
Предварительный просмотр:
Методы решения
тригонометрических уравнений.
1) Решение простейших тригонометрических уравнений.
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
Ответ:
2) Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
или
или решений нет
Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге.
Решением уравнения является:
Ответ:
3) Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям.
Пусть , тогда
или
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
4) Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение.
или
Ответ: ;
5) Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
а) Найдем область определения функции.
Областью определения данного уравнения является:
б) Решим данное уравнение.
Ответ:
6) Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.
Пусть , тогда
или
Т.к.
при , то корней нет.
Ответ:
7) Решение тригонометрических уравнений как однородное.
Однородное уравнение – это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и туже степень.
, где
- действительные числа. - показатель однородности.
Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части на , получим
Ответ:
8) Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.
Т. к. , то корни есть.
Разделим обе части уравнения на , получим
Т. к. и , то существует такой угол , что , а , тогда получим
Ответ:
Теория.
1) если , то уравнение однородное.
2) если и (то есть хотя бы одно из чисел или не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим
Т. к. и , то существует такой угол , что , тогда
а) если, т. е. , то корней нет.
в) если, т. е. , тогда
Т. к. , то корней нет.
9) Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
(1)
(2)
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.
Проверка.
Если , тогда
- не верно, значит , не является корнями исходного уравнения.
Ответ:
10) Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного.
Уравнение вида решается следующей заменой , , ,
Способ I
Пусть , , , , получим
или
(3)
Разделим на , получим
Т. к. , при , то корней нет.
Ответ:
Теория.
, при
Доказательство:
Шесть способов решения уравнения (3).
- применение формулы .
- через .
- привести к однородному уравнению второй степени.
- способ введения вспомогательного аргумента.
- с помощью неравенства , при .
- метод оценки левой и правой частей уравнения.
Способ II
или
Разделим на , получим
Т. к. , при , то корней нет.
Ответ:
11) Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок).
12) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
Пример №1
Решим уравнение 2.
или
Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ: ,
Пример №2
Решим уравнение 2.
Решим квадратное уравнение относительно.
и то корней нет.
Отметим поученные решения и условие 1 на тригонометрическом круге.
Ответ:
