Главные вкладки

    Практико - значимая работа «Разработка методических рекомендаций обучения учащихся решению задач с практическим содержанием при подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ»
    материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

    Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся. В современных учебных пособиях учащимся предлагаются текстовые задачи с разнообразным практическим содержанием: на числа, движение, движение по реке, проценты, сплавы, смеси, растворы, площади, объемы, работу, с геометрической, экономической или физической составляющей. Способы  решения текстовых задач также многообразны – табличный, графический, с помощью выражения, уравнения или пропорции. В данной практико – значимой работе предложены методические рекомендации обучения учащихся решению задач на движение.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon praktiko-znachimaya_rabota_kovaleva_s.a.doc186 КБ

    Предварительный просмотр:

    Государственное бюджетное образовательное учреждение

    высшего профессионального образования Московской области

    «Академия социального управления»

    кафедра математических дисциплин

    Практико-значимая работа

    «Разработка методических рекомендаций обучения учащихся

    решению задач с практическим содержанием при подготовке

    учащихся к сдаче ЕГЭ»

    Выполнил: слушатель учебного курса «Особенности методики обучения математике при подготовке школьников к итоговой аттестации»

    учитель математики МОУ СОШ №8 города Подольска Ковалева Светлана Адамовна

    Руководитель курса: к.ф-м.н., доцент кафедры математических дисциплин Ю.В. Гавриленко

    Москва, 2015г.

    СОДЕРЖАНИЕ

    1. Введение                                                         – 1 – 2
    2. Основная часть                                                
    1. . Задачи на движение по шоссе                – 5 – 16            
    2. . Задачи на движение по реке                   – 17 – 24
    1. Список использованных источников           – 25
    2. Приложение                                                    – 26 – 30

    1. Ведение

    С давних пор задачи играют огромную роль в обучении. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся и имеет огромное практическое значение в будущей жизни ученика. Решение любой содержательной задачи призвано учить разрешать жизненную, производственную или научную проблему, с которой сталкивается любой человек. В современных учебных пособиях учащимся предлагаются текстовые задачи с разнообразным практическим содержанием: на числа, движение, движение по реке, проценты, сплавы, смеси, растворы, площади, объемы, работу, с геометрической, экономической или физической составляющей. Способы  решения текстовых задач также многообразны – табличный, графический, с помощью выражения, уравнения или пропорции.

         Решая задачи с практическим содержанием, учащиеся получают опыт работы с величинами, развивают умение устанавливать причинно – следственные связи между ними;  развивают умение анализировать условие заданной ситуации и выделять существенные и несущественные признаки, соотносить неизвестные элементы задачи с известными;  распознавать данные элементы в различных сочетаниях; выстраивать последовательность действий (алгоритм) ; осуществлять мысленный эксперимент, предвидеть его промежуточные и конечные результаты; индуктивно строить гипотезы; критически оценивать результаты решения задачи с различных точек зрения; обобщать результаты решения задачи; исследовать возможные частные и особые случаи ;воспитывают логическую и эстетическую культуру, создавая благоприятный эмоциональный фон обучения, вызывая интерес к процессу поиска решения задач,  раскрытию внутренних ресурсов личности ученика; помогают ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы. Использование различных способов решения задач развивает смекалку, воображение, сообразительность, умение ставить вопросы и находить ответы на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

         Статистические данные анализа результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Практика показывает, что текстовые задачи остаются пропущенными в тестах, поскольку учащиеся не имеют прочных навыков решения задач. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и,  не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой,  увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникает необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики  при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

        В данной практико – значимой работе предложены методические рекомендации обучения учащихся решению задач на движение.

    1.  Основная часть

    2.1.Задачи на движение по шоссе

    Задачи на движение по шоссе разнообразны: движение по шоссе в одном направлении; движение по шоссе навстречу друг другу; транспортные средства могут стартовать одновременно, а могут с разницей во времени; движение по кругу; одно транспортное средство догоняет другое и т.д. Для наглядности данные задач на движение удобно упорядочивать в виде таблицы.

    Задачи, когда два транспортных средства отправляются из одного пункта в другой одновременно, а в пункт назначения прибыли с разницей во времени. Фактически это задачи с двумя неизвестными – скоростью и временем. При составлении уравнения я предлагаю  уравнивать величины относительно разницы во времени, и, таким образом, одна из неизвестных величин исключается.

    ЗАДАЧА №1

    Два велосипедиста одновременно отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

    РЕШЕНИЕ

    В данной задаче две неизвестные величины: скорость первого велосипедиста и скорость второго велосипедиста. Я учу своих учеников, как правило, принимать за х меньшую величину и выражать через нее все остальные данные. Поэтому – пусть  х (км/ч) – скорость второго велосипедиста, тогда х + 4 – скорость первого велосипедиста. Упорядочить данные задачи удобно в виде таблицы.

    Таблица 1

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t2 t1 = 4

    Первый велосипедист

     х + 4

    t1 = 165 : (х + 4)

    165

    Второй велосипедист

     х

    t2 = 165 : х 

    165

    Составляем уравнение:

    165/ х  – 165/ х+4  = 4,                                                              ОДЗ: х  0,  х  –4

    165(х + 4) – 165 х х(х + 4) = 0,

    х2  + 4х – 165 = 0,

    D = b2 – 4ас = 42 + 4 ·1· 165 = 676,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (4 ± 26) : 2,

    х1 = – 15 – не удовлетворяет условию задачи,

    х2 = 11 (км/ч) – скорость второго велосипедиста,  11 + 4 = 15 (км/ч) – скорость первого велосипедиста. По условию задачи именно первый велосипедист пришел к финишу первым.

    ОТВЕТ: 15 км/ч.

    Другой вид задач: два транспортных средства отправляются из одного пункта в другой одновременно и в пункт назначения прибывают также одновременно. Но в условие задач заложено интересное соотношение по скоростям этих транспортных средств. Фактически это задачи с тремя неизвестными – скоростями и временем. При составлении уравнения величины уравниваются относительно разницы во времени, и, таким образом, одна из неизвестных величин исключается.

    ЗАДАЧА №2

    Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй – первую половину проехал со скоростью, меньшей скорости первого на 18 км/ч, а вторую половину  пути – со скоростью 108 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 63 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    РЕШЕНИЕ

    Пусть  х (км/ч) – скорость первого автомобиля на всем пути, тогда х – 18 – скорость второго велосипедиста на первой половине пути, тогда как его скорость на второй половине пути известна – 108 км/ч.

    Таблица 2

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t2 + t3 = t1

    Первый автомобиль

     х 

    t1 = S : х  

    S

    Второй

    автомобиль

     х – 18

    108

    t2 = S/2 : (х – 18) +

    + S/2 : 108

    S/2

    S/2

    Составляем уравнение:

    S/ 2(х-18)  +  S/ 2·108  =  S/х,                                                             ОДЗ: х  0,  х  18

    x·108  + Sх(x – 18) – S·2·108(х –18) = 0, |  : S

    х2  – 126х  + 3888 = 0,

    D = b2 – 4ас = (–126)2 – 4 ·1· 3888 = 324,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (126 ± 18) : 2,

    х1 = 54 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. сказано, что скорость первого автомобиля больше 63 км/ч

    х2 = 72 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

     ОТВЕТ: 72 км/ч.

    ЗАДАЧА№3

    Из пункта А в пункт В, расстояние между которым 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 20 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

    РЕШЕНИЕ

    Пусть  х (км/ч) – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста – (х + 20) км/ч. Известно, что велосипедист был в пути больше, чем автомобилист, эту разницу и будем использовать при составлении уравнения.

    Таблица 3

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t2 t1 = 1

    Автомобилист

     х + 20

    t1 = 40 : (х + 20)

    40

    Велосипедист

     х

    t2 = 40 : х 

    40

    Составляем уравнение:

    40/ х  – 40/ х+20  = 1,                                                                    ОДЗ: х  0,  х  –20

    40(х + 20) – 40х х(х + 20) = 0,

    х2  + 20х – 800 = 0,

    D = b2 – 4ас = 202 + 4 ·1· 800 = 3600,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (20 ± 60) : 2,

    х1 = – 40 – не удовлетворяет условию задачи,

    х2 = 20 (км/ч) – скорость велосипедиста.

    ОТВЕТ: 20 км/ч.

    ЗАДАЧА№ 4

    Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч  по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, по проселочной дороге 0,3 ч со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость  движения автомобиля на всем  пути.

    РЕШЕНИЕ:

    Часто учащиеся, решая подобные задачи, находят среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей автомобиля на разных участках пути, забыв, что средняя скорость вычисляется как частное от деления всего пути на все время. Решаем задачу, составив выражение:

    (3,2 · 90 + 1,5 · 45 + 0,3 · 30) : ( 3,2 + 1,5 + 0,3) = = (288 + 67,5 + 9) : 5 = 72,9 (км/ч)

    ОТВЕТ: 72,9 км/ч

    ЗАДАЧА№5

    Расстояние между городами 36 км. Один из велосипедистов преодолел его на 1 час быстрее другого. Найти скорости велосипедистов, если скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.  

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть  х (км/ч) – скорость первого велосипедиста, тогда скорость второго велосипедиста – (х + 6) км/ч. Известно, что второй велосипедист был в пути больше, чем первый велосипедист на 1 час. Эту разницу  будем использовать при составлении уравнения.

    Таблица 4

     

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t2 t1 = 1

    Первый велосипедист

     х + 6

    t1 = 36 : (х + 6)

    36

    Второй велосипедист

     х

    t2 = 36 : х 

    36

    Составляем уравнение:

    36 : х – 36 : (х + 6)  = 1,                                                         ОДЗ: х  0,  х  –6

    36 (х + 6) –36х – х (х + 6) = 0,

    х2  – 6х  + 216 = 0,              

    D = b2 – 4ас = (–6)2 + 4 ·1· 216 = 900,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (6 ± 30) : (–2),

    х1 = – 18 – не удовлетворяет условию задачи,

    х2 = 12 (км/ч) – скорость второго велосипедиста.

    12 + 6 = 18 9км/ч) – скорость первого велосипедиста.

    ОТВЕТ: 180 км/ч, 12 км/ч.

    ЗАДАЧА №6

    Перегон в 60 км поезд должен проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 мин., машинист был вынужден увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти  перегон по расписанию?

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть  х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда  (х + 10) км/ч – фактическая скорость поезда. Для решения задачи необходимо привести в соответствие единицы измерения времени, поэтому важно, что 5 минут  равны 1/12 часа. Время по расписанию больше фактического на 1/12 часа.

    Таблица 5

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t1 t2 = 1/12

    По расписанию

     х 

    t1 = 60 : х 

    60

    Фактически

     х + 10

    t2  = 60 : (х  + 10)

    60

    Составляем уравнение:

    60 / х   – 60/ х + 10  =  1/12,                                                              ОДЗ: х  0,  х  –10

    60 · 12(х + 10) – 60 ·12 х – х (х + 10) = 0,

    х2  – 10х  + 7200 = 0,              

    D = b2 – 4ас = (–10)2 + 4 ·1· 7200 = 28900,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (10 ± 170) : 2,

    х1 = – 90 – не удовлетворяет условию задачи,

    х2 = 80 (км/ч) – скорость поезда.

    ОТВЕТ: 80 км/ч.

    ЗАДАЧА№ 7

    Из двух городов, расстояние между которыми  620 км, вышли одновременно навстречу друг другу  два поезда. Скорость одного поезда  на 10 км/ч меньше скорости другого. Найти скорости поездов, если через 3 ч после начала движения  расстояние между ними сократилось до 170 км.    

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть  х км/ч – скорость первого поезда, тогда  (х + 10) км/ч – скорость второго поезда. Время движения поездов одинаково, а расстояние пройденное поездами за 3 часа находим как разность 620 –170 = 450 км. Для решения задачи используем скорость сближения поездов.

    Таблица 6

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 + S2 =

    620 – 170

    Первый поезд

     х 

     3

    S1 = 3х

    Второй поезд

     х + 10

     3

    S2 = 3(х + 10)

    Составляем уравнение:

    3(х + х + 10) = 450,

    2х = 140,  х = 70 км/ч – скорость первого поезда.

    70 + 10 = 80 км/ч – скорость второго поезда.      

    ОТВЕТ: 70 км/ч; 80 км/ч.

    ЗАДАЧА№ 8

    Из города А в город В, расстояние между которыми  905 км, выехал автомобиль. Через час  из города В в город А по той же автостраде навстречу ему выехал другой автомобиль со скоростью на 5 км/ч  большей. Найдите скорости автомобилей, если известно, что через 4 ч после начала движения  второго автомобиля расстояние между ними сократилось до 120 км.

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть  х км/ч – скорость первого автомобиля, тогда  (х + 10) км/ч – скорость второго  автомобиля. Если известно расстояние между автомобилями через 4 ч движения второго автомобиля, то первый автомобиль, выехавший на  час раньше, был в пути 5 ч. Расстояние пройденное автомобилями находим как разность 905 –120 = 785 км.

    Таблица 7

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 + S2 =

    905 –120

    Первый автомобиль

     х 

     5

    S1 = 5х

    Второй автомобиль

     х + 5

     4

    S2 = 4(х + 5)

    Составляем уравнение:

    5х  + 4(х + 5) = 785,

    9х  + 20 = 785,    

    х = 785 : 9 = 85 км/ч – скорость первого автомобиля.

    85 + 5 = 90 км/ч – скорость второго автомобиля.      

    ОТВЕТ: 85 км/ч; 90 км/ч.

    ЗАДАЧА№9

    Два велосипедиста выехали в одном направлении, причем первый на полчаса раньше второго. Первый велосипедист проезжает за один час 14 км, а второй – за 1,5 ч 18 км. Через какое время с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет 13 км?

    РЕШЕНИЕ:

    Так как  второй велосипедист проезжает 18 км за 1,5 часа, то можно найти его скорость: 18:3·2 = 12 км/ч. Первый велосипедист выехал раньше и ехал с большей скоростью, значит, он проедет большее расстояние, чем проедет второй велосипедист. Скорость второго велосипедиста меньше и выехал он на полчаса позже, следовательно, он не будет догонять первого велосипедиста – первый велосипедист будет постоянно отдаляться.

    Таблица 8

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 S2 = 13

    Первый велосипедист

    14

    t + 0,5

    14(t + 0,5)

    Второй велосипедист

     12

    t

    12 t

    Составляем уравнение:

    14(t + 0,5) – 12 t = 13,

    14t + 7 – 12 t = 13,

    2t = 6,   t = 3 ч – был в пути второй велосипедист.

    ОТВЕТ: через 3 ч.

    ЗАДАЧА№ 10

    Из поселка в город выехал велосипедист, а через 2ч 40 мин. Вслед за ним выехал автомобилист. На каком расстоянии от поселка автомобилист догонит велосипедиста, если скорость первого  12 км/ч, а второго  60 км/ч?      

    РЕШЕНИЕ:

    Прежде чем выехал автомобилист, велосипедист уже был в пути  2 2/3 ч а затем они оба ехали некоторое время t ч, пока автомобилист не догнал велосипедиста и проехали одинаковое расстояние.

    Таблица 9  

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 = S2

    Велосипедист

    12

    t + 2 2/3 

    12(t + 2 2/3)

    Автомобилист

     60

    t

    60 t

    Составляем уравнение:

    12(t + 2 2/3) = 60 t,

    12t + 12 · 2 2/3 = 60 t,

    48t  = 32,  t = 2/3 ч – был в пути автомобилист до встречи с велосипедистом.

    2/3 · 60 = 40 км или

    12(2/3 + 2 2/3) = 12 · 3 1/3  = 40 км.

    ОТВЕТ: 40 км.

    ЗАДАЧА№ 11

    Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а  велосипедист  прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов каждый был в пути?                                                                                

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, а у км/ч – скорость велосипедиста. До встречи каждый их них преодолел расстояние равное х·t км и у·t км соответственно, после встречи мотоциклист проехал расстояние  2х км, а велосипедист – 4,5у км. Составляем систему уравнение:

    1)

      х·t + у·t = S,     (1)

      х·t + 2х = S,     (2)

      у·t  + 4,5у = S  (3);

     х·t + у·t = х·t + 2х,

    х·t + у·t = у·t  + 4,5у;

    у·t  =  2х,          

     х·t = 4,5у ;       

    у : x = 2x : 4,5y

     Пусть x : у = а,

    1 : а = 20а : 45,

    1 : а = 4а : 9,

    4а2 = 9,  

    а2 = 9/4,

    а = 3/2,

    х : у = 3/2,

    х = 3/2 у .

    2) у·t  = 2 · 3/2 у ,

    t = 3 ч – время в пути до встречи.

    3 + 2 = 5 ч – время в пути мотоциклиста,

    3 + 4,5 = 7,5 ч – время в пути велосипедиста

    ОТВЕТ: 5 ч; 7,5 ч.        

         

    1. Задачи на движение по реке

    Задачи на движение по реке также бывают нескольких видов: транспортное средство движется по течению, а затем против течения, возвращаясь в пункт отправления; движется по течению и возвращается в пункт отправления после стоянки, двигаясь против течения. Эти задачи также имеют две неизвестные, но я предлагаю составлять уравнения относительно времени, исключая, тем самым, одну неизвестную из уравнения. В таких задачах за неизвестную величину выбираем либо течение реки, либо скорость транспортного средства в неподвижной воде.

    ЗАДАЧА №12

    Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    РЕШЕНИЕ

    Пусть  х (км/ч) – скорость лодки в неподвижной воде, тогда  скорость лодки по течению –    (х + 3) км/ч, а против течения – (х – 3) км/ч. Расстояние, пройденное моторной лодкой по течению и против течения реки, одинаковое, но разница во времени 6 часов.

    Таблица 10

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     t2 t1 = 6

    По течению

     х + 3

    t1 = 91 : (х + 3)

    91

    Против течения

     х – 3

    t2  = 91 : (х – 3)

    91

    Составляем уравнение:

    91/ х -3 – 91/ х+3  = 6,                                                                      ОДЗ: х  3,  х  –3

    91(х + 3) – 91(х – 3) – 6(х – 3)(х + 3) = 0,

    –6х2 + 600 = 0,

    (х + 10)(х – 10)= 0,

    х1 = – 10 – не удовлетворяет условию задачи,

    х2 = 10 (км/ч) – скорость лодки в неподвижной воде.

    ОТВЕТ: 10 км/ч.

    ЗАДАЧА №13

    Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

    РЕШЕНИЕ

    Пусть  х (км/ч) – скорость течения реки, тогда  скорость лодки по течению –    (22 + х) км/ч, а против течения – (22 – х) км/ч. При составлении уравнения важно не упустить из вида, что теплоход сделал стоянку 2 ч, в это время теплоход не движется и необходимо эту величину вычесть из общего времени.

    Таблица 11

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    t1+ t2 + 2 = 46

    По течению

    22 + х

    t1 = 483 : (22 + х)

    483

    Против течения

    22 – х

    t2 = 483 : (22 – х)

    483

    Составляем уравнение:

    483/22 + х    +  483/22 – х + 2 = 46,                                                 ОДЗ: х  22,  х  –22

    483(22 – х) + 483(22 + х) – 44 (22 – х)(22 + х) = 0,

    44(х2 – 1) = 0,

    (х – 1) (х + 1) = 0,

    х1 = 1 (км/ч) – скорость течения реки,

    х2  = – 1 – не удовлетворяет условию задачи.

    ОТВЕТ:  1 км/ч.

    ЗАДАЧА №14

    Лодка плыла по течению реки 2 ч, а затем 4 ч против течения. Скорость течения реки равна 3км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если против течения реки лодка прошла на    2 км больше.

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть х км/ч – скорость лодки в стоячей воде, тогда (х + 3) км/ч – скорость лодки по течению,  – 3) км/ч – против течения. По течению реки лодка прошла путь 2(х + 3) км, а против течения – 4(х – 3) км. Известно, что расстояние, пройденное лодкой против течения больше на 2 км, чем расстояние, пройденное лодкой по течению.

    Таблица 12

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

     S2  – S1 = 2

    По течению

     х + 3

    t1

    2(х + 3)

    Против течения

    х – 3

    t2

    4(х – 3)

    Составляем уравнение:

    4(х – 3) –2 (х + 3) = 2,

    4х – 12 –2х – 6 = 2,

    2х = 20,     х = 10 (км/ч) – не противоречит условию задачи.

    ОТВЕТ: 10 км/ч

    ЗАДАЧА №15

    От пристани А до пристани В катер плывет по течению реки 15 минут, а обратно – 20 минут. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

    РЕШЕНИЕ:

    Так как собственная скорость катера дана в км/ч, то и время катера в пути удобно перевести из минут в часы: 15 мин. = 1/4 ч, 20 мин. = 1/3 ч.

    Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда (14 + х)км/ч – скорость катера по течению реки, (14 –х)км/ч  – скорость катера против течения. Путь, пройденный лодкой по течению реки, определим  как 1/4(х + 14) км, а путь, пройденный против течения – 1/3(х – 14) км. Эти расстояния равны по условию.

    Таблица 13

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 = S2

    По течению

     14 + х

    t1 = 1/4

    1/4(14 + х)

    Против течения

    14 – х

    t2 = 1/3

    1/3(14 – х)

    Составляем уравнение:

    1/4(14 + х) = 1/3(14 – х),                                                                  

    3(14 + х) = 4(14 – х),

    3х + 42 + 4х – 56 = 0,

     7 х  – 14,   х = 2.

    ОТВЕТ:  2 км/ч

    ЗАДАЧА№ 16

    Моторная лодка проплыла по течению реки до пристани 22 км и после двухчасовой стоянки  вернулась обратно. Найти скорость лодки в стоячей воде, если на весь путь ушло 8,4 ч, а скорость течения реки 3 км,ч.  

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки, тогда   (х + 3) км/ч – скорость по течению реки, (х – 3) км/ч  – скорость против течения. Путь, пройденный моторной лодкой по течению реки равен пути, пройденному  моторной лодкой против течения. При составлении уравнения вычитаем из общего времени нахождения моторной лодки в пути время стоянки – 2 ч.  

    Таблица 14                      

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    t1+ t2 + 2 = 8,4

    По течению

      х + 3

    t1= 22 : (х + 3)

    22

    Против течения

     х – 3

    t2 = 22 : (х – 3)

    22

    Составляем уравнение:

    22 : (х + 3) + 22 : (х – 3) = 8,4 – 2,                                            ОДЗ: х  3,  х  –3

    110 (х – 3) + 110(х + 3) = 32(х + 3)(х – 3),

    – 32 х2 + 220 х  + 288 = 0,

    – 8 х2 + 55 х  + 72 = 0,

    D = b2 – 4ас = 552 – 4 · ( -8) · 72 = 3025 + 2304 = 5329,

    х = ( b  ± √D) : 2а = (- 55 ± 73) : (- 16),

    х1 = 8 (км/ч) – скорость течения реки,

    х2  = – 9/8 – не удовлетворяет условию задачи.

    ОТВЕТ: 8 км/ч.

     ЗАДАЧА№17

     Катер за 3 ч по течению реки и 5 ч против течения реки проходит 76 км. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если за 6 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 9 ч против течения реки.

    РЕШЕНИЕ:

    Пусть  х (км/ч) – собственная скорость катера, а у (км/ч) – скорость течения, тогда (х + у) км/ч – скорость катера по течению, (х – у) км/ч – скорость катера против течения. Так как мы ввели две переменные и два условия задачи выполняются одновременно. То для решения задачи составляем систему уравнений.

    Таблица 15

     

    Скорость,

    v, км/ч

    Время,

    t, час.

    Расстояние,

    S,  км

    Известно, что

    S1 + S2 = 76

    По течению

     х + у

    t1 = 3,  t2 = 6

    S1 = 3 + у) или

         S1 = 6 + у)

    Против течения

    х – у

    t3 = 5,  t4 = 9

    S2 = 5(х – у) или

         S2 = 9(х – у)

    Составляем систему уравнений:

    6 + у) = 9(х – у),           (1)              Раскроем скобки в уравнениях,

    3 + у) + 5(х – у) = 76;  (2)              приведем подобные члены, а затем  

    6х + 6у – 9х + 9у = 0,                        решаем систему уравнений методом

    3х + 3у + 5х – 5у = 76;                      подстановки.

    – 3х + 15у = 0,

    8х – 2у = 76;

    х + 5у = 0,  х = 5у

    4х – у = 38;

    4 · 5у у = 38,

    19у = 38, у = 2 (км/ч) – скорость течения реки.

    х = 5 · 2,

    х = 10 (км/ч) – собственная скорость катера.                

    ОТВЕТ: (10; 2)

    СПИСОК

    использованных источников

    1.  ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все издания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни  под ред.  И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 686с.  
    2. А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс: в двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 7 изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 223 с.: ил.
    3. А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс: в двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений. – 7 изд. – М.: Мнемозина, 2005. – 223 с.: ил.
    4. Н. Я. Виленкин и др. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – 22 –е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
    5. Н. Я. Виленкин и др. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений – 30 –е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2012. – 280 с.: ил.
    6. Интернет – ресурсы: http://www.ege/edu.ru

    ПРИЛОЖЕНИЕ 1

    Задачи на движение по шоссе

    1) Два велосипедиста одновременно отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

    2) Два велосипедиста одновременно отправились в 192-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

    3) Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй – первую половину проехал со скоростью, меньшей скорости первого на 18 км/ч, а вторую половину  пути – со скоростью 108 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 63 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    4) Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй – первую половину проехал со скоростью, меньшей скорости первого на 11 км/ч, а вторую половину  пути – со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 42 км/ч. Ответ дайте в км/ч

    5)Из пункта А в пункт В, расстояние между которым 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 20 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 ч позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

    6) Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч  по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, по проселочной дороге 0,3 ч со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость  движения автомобиля на всем  пути.

    7) Расстояние между городами 36 км. Один из велосипедистов преодолел его на 1 час быстрее другого. Найти скорости велосипедистов, если скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.  

    8) Перегон в 60 км поезд должен проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 мин., машинист был вынужден увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти  перегон по расписанию?

    9) Из двух городов, расстояние между которыми  620 км, вышли одновременно навстречу друг другу  два поезда. Скорость одного поезда  на 10 км/ч меньше скорости другого. Найти скорости поездов, если через 3 ч после начала движения  расстояние между ними сократилось до 170 км.    

    10) Из города А в город В, расстояние между которыми  905 км, выехал автомобиль. Через час  из города В в город А по той же автостраде навстречу ему выехал другой автомобиль со скоростью на 5 км/ч  большей. Найдите скорости автомобилей, если известно, что через 4 ч после начала движения  второго автомобиля расстояние между ними сократилось до 120 км.

    11) Два велосипедиста выехали в одном направлении, причем первый на полчаса раньше второго. Первый велосипедист проезжает за один час 14 км, а второй – за 1,5 ч 18 км. Через какое время с момента выезда второго велосипедиста расстояние между ними будет 13 км?

    12) Из поселка в город выехал велосипедист, а через 2ч 40 мин. Вслед за ним выехал автомобилист. На каком расстоянии от поселка автомобилист догонит велосипедиста, если скорость первого  12 км/ч, а второго  60 км/ч?      

    13) Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, а навстречу ему одновременно из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а  велосипедист  прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи. Сколько часов каждый был в пути?  

    14) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от пункта В, а в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на расстоянии 15 км от пункта А. Найдите расстояние от А до В.

    15) Автобус, выехавший из поселка в город в 8 ч со скоростью 60 км/ч, на полпути встретился с выехавшим в 8 ч 20 мин. Из города в поселок автомобилем, скорость которого 80 км/ч. Найдите расстояние между поселком и городом.                                                                              

    ПРИЛОЖЕНИЕ 2

    Задачи на движение по реке

    1) Моторная лодка прошла против течения реки 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    2) Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    3) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 483 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 2 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 46 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

    4) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

    5) Лодка плыла по течению реки 2 ч, а затем 4 ч против течения. Скорость течения реки равна 3км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если против течения реки лодка прошла на    2 км больше.

    6) От пристани А до пристани В катер плывет по течению реки 15 минут, а обратно – 20 минут. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

    7) Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь – за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

    8) За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит путь  380 км. За 1 ч по течению и 30 мин. Против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    «Методические рекомендации обучения учащихся решению задач с кратким ответом. Текстовые задачи»

    «Методические рекомендацииобучения учащихся решению задач с кратким ответом.Текстовые задачи»...

    Решение задач с практическим содержанием для подготовки к ЕГЭ

    Цель дидактического материала: отработать навыки решения задач с практическим содержанием, развитие умений оценивать результаты выполненных действий, умение применять полученные знания при решении зад...

    проектная работа "Разработка методических рекомендаций обучения учащихся решению заданий ЕГЭ с кратким ответом

    Данная работа поможет учителям готовить учащихся к сдаче ЕГЭ. В данном проекте даны методические рекомендации  по по обучению учащихся решению заданий с кратким ответом....

    Методическая схема обучения учащихся решению задач на движение

    Методическая схема обучения учащихся решению задач на движение...

    Методическая схема обучения учащихся решению задач по теме "Решение треугольников"

    Методическая схема обучения учащихся решению задач по теме "Решение треугольников"...

    Презентация "Разработка методических рекомендаций обучения учащихся решению заданий с кратким ответом по теме «Степень и её свойства» при подготовке к ОГЭ"

    Данная разработка в помощь учителям математики при подготовке учащихся к ОГЭ по теме "Степень и ее свойства". А так же для выступлений на школьных методических объединениях....