Метод математической индукции и его приложения
статья по алгебре (9 класс) на тему

Методика обучения методу математической индукции и его приложениям

Учитель математики МБОУ Опалиховская гимназия Линок Марианна Николаевна

«Понимание  и умение правильно применять принцип математической индукции является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходим математику».

                                                                                                                             А.Н.Колмогоров.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод – это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, заключительным – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а, значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени или не отводится вовсе. А ведь очень важно – уметь размышлять индуктивно.

Метод математической индукции необходим для развития математического кругозора учащихся. Вместе с тем усвоение этого метода составляет для учащихся значительные трудности, и ясного понимания можно добиться только систематическим решением задач на применение этого метода.

При изучении явлений  в любой области знаний (математика, история, физика, медицина, астрономия, экономика и т.д.) основным этапом является установление определенных закономерностей, связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Подмечается определенная связь между элементами изучаемого явления, справедливого для  многих частных случаев, и распространяется на все случаи вообще,  устанавливается общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение «Во всяком параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам» является  общим, так какотносится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение «В параллелограмме ABCD диагонали делятся в точке пересечения пополам» является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

По своему  первоначальному смыслу  слово «индукция» применяется  к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является  полная индукция.

Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное четное число n в пределах 4‹n‹20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмем все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых чисел.

          Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удается предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечетных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=

1+3=4=

1+3+5=9=

1+3+5+7=16=

1+3+5+7+9=25=.

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=, т.е. сумма n последовательных нечетных чисел равна .

Разумеется, сделанное наблюдение еще не может являться доказательством данной формулы. Часто неполная индукция приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается  в обращении к методу математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например, нужно доказать, что сумма n последовательных нечетных чисел равна ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы это доказать, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n =k вытекает его справедливость и при n= k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Метод математической индукции.

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n= k, где k – любое натуральное число, следует, что оно истинно и для следующего числа n= k+1, то предложение А(n) истинно для любого натурального числа n.

Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для  n= k+1 в предположении справедливости утверждения для n= k, т.е. доказывают, что А(k) =>А(k+1).

Метод математической индукции можно эффективно использовать для формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n, для доказательства тождеств и неравенств, задач на делимость, логических задач.

Решение задач.

1. Доказательство тождеств.

ПРИМЕР 1.

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=.

Решение:1) Имеем  n=1=. Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.

2) Докажем, что А(k) =>А(k+1).

Пусть k – любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n= k, т.е.

1+3+5+…+(2 k -1)=.

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего числа  n= k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2 k +1)=. В самом деле, 1+3+5+…+(2 k -1)+ (2 k +1)=+2 k+1=.

Итак, А(k) =>А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предложение А(n) истинно для любого nЄN.

ПРИМЕР 2.

Доказать, что при любом n справедливо утверждение: +++…+= n(n+1)(2 n+1)/6.

Решение:1) Пусть n=1, тогда =1(1+1)(2+1)/6=1. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n= k верно +++…+= k (k +1)(2 k +1)/6.

3) Рассмотрим данное утверждение при n= k+1:

 +++…++= k (k +1)(2 k +1)/6+=( k (k +1)(2 k +1)+6)/6=

=(k +1) ( k(2 k +1)+6(k +1))/6=(k +1)(2+7 k+6)/6=(k +1) (k +2) (2k +3)/6.

Из приведенного доказательства видно,  что утверждение верно при n= k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.

ПРИМЕР 3.

Доказать, что при любом n справедливо утверждение: +++…+= /4.

Решение:1)Пусть n=1. Тогда   =/4.

2) Предположим, что равенство верно при n= k: =.

3) Докажем истинность этого утверждения при n= k+1, т.е.  =.

= +++…+= /4+=

= .

Из приведенного доказательства видно,  что утверждение верно при n= k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.

2. Делимость чисел.

ПРИМЕР 4.

Доказать, что при любом целом неотрицательном n число 2-3+ n делится на 6.

Решение: 1) Пусть n=1. Тогда  ==0 делится на 6.

2) Предположим, что при n= k  = делится на 6, т.е. = 6m, где m – целое число.

3) Докажем истинность этого утверждения при n= k+1.

  = =2+6+6+2-3-6-3++1=

=+6= 6m+6 =6(m+) кратно 6.

В силу метода математической индукции утверждение доказано.

ПРИМЕР 5.

Доказать, что разность одинаковых четных степеней двух целых чисел делится на сумму оснований, т.е. (-) делится на x+y при любом натуральном n (x+y не равно 0).

Решение: 1) При  n=1 утверждение задачи верно, т.е. (-) делится на x+y. Значит, при  n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n= k  (-) делится на x+y, т.е. (-)=( x+y)с.

3)  Докажем, что  это утверждение верно при n= k+1.

-= (-)+-=(-)+(-)= (x-y)( x+y)+( x+y)с=

=( x+y)(( x-y)+с). Утверждение верно при любом n.

В силу метода математической индукции утверждение доказано.

3. Задачи на последовательности.

ПРИМЕР 6.

Доказать, что сумма каждой строки таблицы

1

2,3,4

3.4,5,6,7

………………

равна квадрату нечетного числа, номер которого в строке равен номеру  строки от начала таблицы.

Решение: Общий член последовательности, т.е. n-я строка, может быть записан так:

n, n+1, n+2, …, (n+( n-1)·2). Значит, последний член в этой строке равен  3n-2. Надо доказать, что сумма чисел этой строки равна  S(n)=.

Решение: 1) Для  n=1 формула верна.

2) Предположим, что формула верна для некоторого натурального значения n= k, т.е.

S(k)= k+( k+1)+( k+2)+…+(3 k-2)= .

3) Докажем, что  она верна при n= k+1.

S(k+1)= ( k+1)+( k+2)+…+(3 k-2)+( 3k-1)+ 3k +(3k+1) = k +( k+1)+( k+2)+…+(3 k-2)+( 3k-1)+

+3k +(3k+1) – k= S(k)+ ( 3k-1)+ 3k +(3k+1) – =+8k=

В силу метода математической индукции утверждение доказано.

4. Доказательство неравенств.

ПРИМЕР 7.

Доказать, что при любом натуральном n>3 справедливо неравенство

1/1!+1/2!+1/3!+…+1/ n!<(2n-1)/n.

Решение: 1) При  n=4 имеем 1+17/24<1+3/4, т.е. для n=4 неравенство верно.

2) Предположим, что неравенство верно при n= k, т.е. 1/1!+1/2!+1/3!+…+1/ k!<(2 k -1)/ k.

3) Докажем, что оно верно и для n= k+1.

1/1!+1/2!+1/3!+…+1/ k!+ 1/ (k+1)!<(2k -1)/ k+1/ (k+1)!=2-1/ k+1/(k+1)!=2(k+1)/ (k+1)-1/(k+1)+

+1/(k+1)- 1/k+1/(k+1)!=(2(k+1)-1)/ (k+1)+(1/ (k+1)!-1/(k (k+1)))< (2(k+1)-1)/ (k+1), т.к.

1/ (k+1)!- 1/(k (k+1))<0.

В силу метода математической индукции неравенство  доказано.

ПРИМЕР 8.

Доказать, что при любом натуральном n>2 справедливо неравенство

1+(1/)+(1/)+…+(1/)<1,7-(1/ n).

Решение: 1) При  n=3 имеем 1+(1/)+(1/)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

2) Предположим, что неравенство верно при n= k, т.е. 1+(1/)+(1/)+…+(1/)<1,7-(1/ k).

3) Докажем, что для n= k+1 верно неравенство

1+(1/)+(1/)+…+(1/)+ (1/)<1,7-(1/ k)+ (1/).

Докажем, что 1,7-(1/ k)+ (1/)< 1,7-(1/ (k+1)):

(1/)+ (1/ (k+1))< 1/ k;

(k+2)/< 1/ k;

k (k+2)<;

 +2k < + 2k +1.

Последнее очевидно, а поэтому 1,7-(1/ k)+ (1/)< 1,7-(1/ (k+1)).

В силу метода математической индукции неравенство  доказано.

5. Логические задачи.

ПРИМЕР 9.

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Доказать, что число людей, пожавших нечетное число рук, - четно.

Решение.

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его необязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при  n=1 утверждение справедливо. Предположим, что оно верно при  каком-то  n= k, т.е. количество людей, участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем, что  это утверждение верно при k. Возможны три варианта осуществления (k+1) рукопожатия:

друг другу пожимают руки: а) два особых человека; б) два неособых человека; в) один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо не изменяется, т.е. остается четным.

Утверждение доказано.

6. Исследование.

ПРИМЕР 10.

Чему равна сумма первых n членов последовательности 1,3,5,7,9,11,13,…?

Решение.

Составим суммы одного, двух, трех и т.д. первых членов данной последовательности:

 =1=; =1+3=4=; =1+3+5=9=; =1+3+5+7=16=; =1+3+5+7+9=25=.

На основе этих наблюдений можно высказать предположение, что

=1+3+5+7+9+…+(2n-1) =  (1)

Верно ли это предположение при любом натуральном n?

Предположим, что формула (1) верна для n= k, где k-натуральное, т.е.

 =1+3+5+7+9+…+(2 k -1) =  (2)

Докажем ее справедливость и для числа, следующего за k, для числа n= k+1:

 =1+3+5+7+9+…+(2 k -1)+ (2 k +1)=  (3)

Заменим на основе равенства (2) =1+3+5+7+9+…+(2 k -1)  на :

 =+(2 k +1)=+2 k +1=.

Доказано.

При доказательстве гипотезы методом математической индукции очень важно выполнение всех его составляющих.

Рассмотрим следующие примеры.

При  отсутствии первого шага (базиса индукции) можно «доказать», что  числа вида 2n-1 являются четными при любом натуральном n.

Пусть утверждение справедливо для n= k, т.е. 2k -1 является четным числом.

Проверим верность утверждения при  n= k+1: 2(k+1)-1=2 k+2-1=(2k-1)+2.

По предположению индукции 2k -1 четное число, следовательно, число (2k-1)+2 тоже четное.

Отсутствие первого шага приводит к ошибке.

В поисках формулы, дающей только простые числа, знаменитый математик XVIII века Л.Эйлер подверг испытанию трехчлен  P(n)=+n+41. Этот трехчлен давал простые числа при всех значениях n от 1 до 39:

P(1)=+1+41=43;

P(2)=+2+41=47;

P(3)=+3+41=53;

……………………

P(39)=+39+41=1601;

P(40)=+40+41=1641=.

Отсутствие второго шага (индукционного шага) приводит к неверному результату.

Само доказательство гипотезы методом математической индукции состоит из следующих  частей:

Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел, при котором гипотеза имеет смысл (базис);

Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.

Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основании принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива при любом натуральном n.

Метод математической индукции не дает никаких указаний, как построить гипотезу. Вопрос о том, как возникает гипотеза, принадлежит к той области, в которой нет никаких общих правил, здесь делает свое дело эксперимент, аналогия, конструктивная индукция.

Без индукции было бы невозможно творчество ни в математике, ни в физике, ни в любой иной области науки. Решение задач с помощью метода математической индукции становится занимательным занятием и может привлечь в математические лабиринты все новых любознательных. А это является основой любой науки.