Олимпиады
олимпиадные задания по алгебре (9 класс) на тему

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

7 класс

7.1.        Велосипедист планировал доехать из пункта А в пункт В за 5 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С намеченной скоростью он двигался до середины пути, а потом решил увеличить скорость на 25%. С новой скоростью он доехал до пункта В. Сколько времени занял весь путь?

7.2.        Вася накопил 80 рублей 5-копеечными монетами. Чтобы отдать долг в 25 рублей другу, он стал отсчитывать монеты, но сбился со счета и решил использовать чашечные весы. Как ему выделить нужную сумму за 4 взвешивания, если гирек у него нет?

7.3.        Агент 007 хочет зашифровать свой номер с помощью двух натуральных чисел т и п так, чтобы . Сможет ли он это сделать?

7.4.        Квадрат разделили на два прямоугольника. Оказалось, что периметры обоих прямоугольников – целые числа. Можно ли сделать вывод, что периметр исходного квадрата также целое число?

7.5.        Есть п палочек длины 1, 2, 3, …, п (см), из которых надо сложить равносторонний треугольник. Можно ли это сделать, если а) п = 100; б) п = 99? (Палочки ломать нельзя, надо использовать все палочки.)

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

8 класс

8.1.        Велосипедист планировал доехать из пункта А в пункт В за 5 часов, двигаясь с постоянной скоростью. С намеченной скоростью он двигался до середины пути, а потом решил увеличить скорость на 25%. С новой скоростью он доехал до пункта В. Сколько времени занял весь путь?

8.2.        Агент 007 хочет зашифровать свой номер с помощью двух натуральных чисел т и п так, чтобы . Сможет ли он это сделать?

8.3.        Дан параллелограмм ABCD. Точки M и N – середины сторон ВС и CD соответственно. Найдите отношение площади четырехугольника AMND к площади параллелограмма.

8.4.        Имеется п спичек длины 1, 2, 3, …, п (см). Требуется сложить из них равносторонний треугольник. Можно ли это сделать, если а) п = 100; б) п = 99? (Спички ломать нельзя, надо использовать все спички.)

8.5.         У Пети есть 4 медных советских монеты – по одной номиналом 1, 2, 3 и 5 копеек. Он узнал такой факт: эти монеты должны весить ровно столько граммов, каков их номинал. Петя хочет проверить этот факт с помощью чашечных весов. Сможет ли он это сделать, если у него есть всего одна гирька в 9 граммов?

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

9 класс

9.1.        Решите уравнение .

9.2.        На доске записано несколько целых чисел. Коля заменил каждое число (стерев его) следующим образом: вместо четного числа он записал его половину, а вместо нечетного – удвоенное. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась а) 2014; б) 2013?

9.3.        Дан четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность. Докажите, что две окружности, вписанные в треугольники АВС и ADC, касаются диагонали АС в одной и той же точке.

9.4.        Два корабля  идут по морю перпендикулярными курсами так, что оба должны пройти через фиксированную точку О (каждый – в свой момент времени. После прохождения точки О корабли, не останавливаясь, продолжат своё прямолинейное движение). Скорости кораблей одинаковы и постоянны. В полдень корабли еще не прошли точку О и находились от нее в 20 км и 15 км соответственно. Будут ли корабли далее в какой-то момент в зоне видимости друг друга, если видимость в этот день 4 км?

9.5.         У Пети есть 4 медных советских монеты – по одной номиналом 1, 2, 3 и 5 копеек. Он узнал такой факт: эти монеты должны весить ровно столько граммов, каков их номинал. Петя хочет проверить этот факт с помощью чашечных весов. Сможет ли он это сделать, если у него есть всего одна гирька в 9 граммов?

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

10 класс

10.1.        Решите уравнение .

10.2.        На доске записано несколько целых чисел. Коля заменил каждое число (стерев его) следующим образом: вместо четного числа он записал его половину, а вместо нечетного –  удвоенное. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел и сумма исходных совпали, если сумма исходных чисел равнялась а) 2014; б) 2013?

10.3.        Два корабля  идут по морю перпендикулярными курсами так, что оба должны пройти через фиксированную точку О (каждый – в свой момент времени. После прохождения точки О корабли, не останавливаясь, продолжат своё прямолинейное движение). Скорости кораблей одинаковы и постоянны. В полдень корабли еще не прошли точку О и находились от нее в 20 км и 15 км соответственно. Будут ли корабли далее в какой-то момент в зоне видимости друг друга, если видимость в этот день 4 км?

10.4.        Дан треугольник АВС. Точка Р – центр вписанной окружности. Найдите угол В, если известно, что , где  – радиусы описанных окружностей треугольников АВС и АРС соответственно.

10.5.         а) Докажите неравенство  для всех натуральных чисел п; б) существует ли такое натуральное п, для которого, где [a] означает целую часть числа а?

Олимпиада по математике

Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

11 класс

11.1.        Найдите область определения функции .

11.2.        В пространстве с прямоугольной системой координат дан прямоугольный параллелепипед. Известно, что все его вершины имеют целочисленные координаты, причем разные вершины лежат внутри разных октантов. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям. Найдите диагональ параллелепипеда, если его объем равен 2014. (Октант – это часть пространства, ограниченная тремя координатными плоскостями.)

11.3.        Дан треугольник АВС. Точка Р – центр вписанной окружности. Найдите угол В, если известно, что , где  – радиусы описанных окружностей треугольников АВС и АРС соответственно.

11.4.         а) Докажите неравенство  для всех натуральных чисел п; б) существует ли такое натуральное п, для которого, где [a] означает целую часть числа а?

11.5.        Найдите наибольшее и наименьшее значение функции .