Примеры уроков, на которых использовался метод проблемного обучения
учебно-методический материал по алгебре

ПРИМЕРЫ УРОКОВ, НА КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАЛСЯ МЕТОД ПРОБЛЕМНОГО ОБУЧЕНИЯ.

Урок 1. Тема: «Формула корней квадратного уравнения»

Учитель: Вы знаете, что математика одна из древнейших наук. В Древней Индии были распространены публичные соревнования по решению трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форме. Вот одна из таких задач:

Обезьянок резвых стая

 Всласть, поевши, развлекалась.

 Их в квадрате часть восьмая

 На поляне забавлялась.

 А двенадцать по лианам

 Стали прыгать, повисая…

 Сколько ж было обезьянок,

 Ты скажи мне, в этой стае?

Далее по тексту задачи составляется уравнение. При этом учащиеся могут допустить сами или учитель может спровоцировать следующую ошибку1/8Х2+12=х: .  После проверки окончательно получаем уравнение1/64х2-х+12=0 . Это уравнение вида  ax2 + bx + c = 0. Далее выясняется. Почему оно называется квадратным, являются ли квадратными уравнения вида   ax2+ bx = 0,   ax2+ c = 0, bx + c = 0.Возникает проблема,  как решать такие уравнения?  Затем рассматриваются предлагаемые учащимся пути решения неполных квадратных уравнений, предпринимаются безуспешные попытки решения полного уравнения  , записанного в общем виде  ax2 + bx + c = 0.  Вынесение общего множителя x(ax + b) + c = 0 по аналогии с решением уравнения  ax2+ bx = 0, или перенос свободного члена ax2 + bx =  – c  по аналогии с уравнением ax2 + c = 0 не приносят желаемых результатов. Все попытки решения обсуждаются. Если ученики высказывают сомнение можно ли решить эту задачу вообще, учитель предъявляет им уравнение1/64(х-16)*(х-48)=0 , которое ребята способны решить и в котором после проведённых преобразований «узнают»  исходное уравнение. Один из вариантов решения предлагает учитель. Он сообщает, что в древности, когда геометрия была более развита. чем алгебра . такие уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Вот, например, как древние решали уравнение у2+6у-16=0 .

Рассмотрим рисунок 1.

Решение представлено на этом рисунке. Это решение следует сопроводить записями: y + 3 = 5, откуда  y = 2.

y + 3,  как в уравнении  y + 3 = 5  появляется число 5; что сделано с обеими частями уравнения; где на рисунке добавленное  к обеим частям равенства число 9; является  ли число   – 8 корнем исходного уравнения; в ходе  какой  операции потерян этот корень; почему древние греки  были обречены его потерять? Затем выясняется, что выражение y2 + y + 9  и  16 + 9  геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение  y2 + 6y  – 16 + 9 – 9 = 0  – одно и то же уравнение, откуда и получаем, что y + 3 = ±5.   Далее учитель выделяет новую проблему: как изобразить ситуацию геометрически, если второй коэффициент в уравнении отрицателен? Например, пусть уравнение имеет вид

Y2– 6y – 16 = 0.

По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, на рисунке появляются квадраты со сторонами y  и y – 3. Если учащиеся, исходя из рисунка 2, предлагают рассмотреть равенство

Y2 = (y – 3)2 + 6(y – 3) + 9, то после преобразований получим 0 = 0. На вопрос, почему последняя запись не позволила продвинуться в решении уравнения, следует ответ, что эта запись – алгебраическое тождество и в нём не использовано условие, что y2– 6y – 16 = 0. Преобразуя последнее равенство, получаем y2 – 6y = 16. На рисунке 2 находим «изображение» выражения  y2 – 6y, и обращаем внимание, что в нём из площади квадрата со стороной  y два раза вычитается площадь квадрата со стороной 3.

Рисунок 2

Значит, если к выражению y2 – 6y прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной  y – 3.  Заменяя выражение y2– 6y равным ему числом 16, получим  (y – 3)2  = 16 + 9, т.е. y – 3 = ±√25  = ± 5. Далее возникает очередная под  проблема:  как представить рассмотренные  решения квадратных уравнений в краткой алгебраической форме, обобщив  геометрические решения. В результате такого обобщения получаем метод выделения полного квадрата. Приведенный пример удовлетворяет всем требованиям проблемного обучения:

а) Изучение темы начинается с ситуации невозможности решить практическую задачу,        обнаруженную в старинных рукописях.

 б) Проблема разбивается на ряд подпроблем.

 в) Решению проблемы способствует рассмотрение истории решения квадратных уравнений.

 г) На уроке показаны два способа решения уравнения – геометрический и алгебраический.

 д) В беседе рассмотрен ряд гипотез, не приведших к решению и ошибочные шаги.е) Исторический материал естественно  «вплетается» в содержание урока, делая его живым и занимательным.

Урок 2. Тема: «Теорема Пифагора»

Учитель предлагает решить задачу: На охоте с двух отвесных скал два охотника заметили козла и одновременно в него выстрелили, причём стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью  (см. рис. 3).

Рисунок 3

Проблемная ситуация возникает при построении математической модели практической задачи. Она рассматривается с помощью вопросов. Как на чертеже изображаются:

  1) скалы?

2)  расстояние между ними?

 3) путь каждой стрелы?

 4) путь каждого охотника?

 5) что означает факт, что стрелы достигли цели  одновременно?

Анализ задачи позволяет заключить, что на данном этапе задачу решить нельзя, так как невозможно использовать равенство отрезков ДС и СЕ, которые являются гипотенузами прямоугольных треугольников. Если бы зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была известной, то можно было бы в каждом треугольнике выразить гипотенузу через катеты и приравнять полученные выражения.

ВОЗНИКАЕТ ПРОБЛЕМА:

Существует ли зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике, и, если она существует, то как она формулируется? Для решения этой проблемы учитель организует поиск формулировки, предложив учащимся задание по группам:  

Построить прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 12 и 5, 6 и 8, 8 и 15  и измерить гипотенузу.  Результаты заносятся в таблицу

Далее выдвигаются и обсуждаются различные гипотезы.

Верно ли, что a +в/2=с  , если это справедливо для первого и третьего случая?

Верно ли, что a =в+с/4 , если это справедливо для четвёртого случая?

Если учащиеся не увидят существующей зависимости, то учитель продолжает заполнять таблицу, находя квадраты соответствующих значений.

 Следующая проблема возникает при доказательстве. Можно использовать различные доказательства, известные из истории математики. После доказательства теоремы Пифагора, возвращаемся к исходной задаче. В заключении этого урока  можно предложить учащимся следующий вопрос:

 В Древнем Египте после разлива  Нила требовалось восстановить границы земельных участков, для чего на местности необходимо было строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали верёвку , завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами 3,4 и 5 таких отрезков. Правильно ли они поступали? Далее следует построение математической модели, формулировка проблемы и поиск доказательства.