Алгебраические уравнения и неравенства с параметром
материал по алгебре (10, 11 класс)

Алгебраические уравнения и неравенства с параметром.

1. Линейные уравнения.

(a2 – 4 ) ⋅ x = a +2

Решение:

Если а=0, то       0 ⋅ х = 4 – нет решений

Если а=-2, то       0 ⋅ х = 0 ,  х –любое число

Если а≠±2, то       х =  

Ответ: Если а=0, то нет решений; если а=-2, то  х –любое число, Если а≠±2, то  х =  .

Ошибки: деление на выражение, содержащее параметр, без подстановка условия ≠0.

2. Линейные неравенства

5х – а < ах – 3 

Решение:    5х – а < ах – 3

                      5х – ах < а – 3

                      х(5 – а) < а – 3

если а< 5, то х< 

если а> 5, то х> 

если а= 5, то 0<2   верно при любом х.

Ошибки: 1) деление неравенства на выражение неизвестно какого знака;

                  2) заключение о том, что при а=5 нет решения, т.к. знаменатель обращается в 0. В исходном неравенстве нет знаменателя.

3. Дробно-рациональные уравнения

Решение: уравнение равносильно системе:

               ⇔      ⇒ ∅

Ограничение х≠2 дает ограничение на параметр: .

Ответ: если а≠2 и а≠1, то х=; если а=1 и а=2, то решений нет.

Ошибки: после того как решение найдено, забывают, что ограничение х≠2 накладывает ограничение на параметр а≠ -2

4. Дробно-рациональные неравенства

Решение:      

При а>2,  х∈(-∞; 2) ∪(а; +∞)              

При а<2 , х∈(2; а)  

При а=2, 0 > 0 – ложно

Ответ: при а>2,  х∈(-∞; 2) ∪(а; +∞)

            при  а<2 , х∈(2; а)    

            при  а=0  решений нет      

Ошибки: домножение неравенства на выражение неизвестно какого знака.

5. Уравнения с модулем

Решение:  при а < 0, решений нет, т.к.

                    При а=0, х=3

                    При а > 0, х – 3 =±а, т.е. х=3±а

Ответ:        при а < 0, решений нет

                    При а=0, х=3

                    При а > 0,  х=3±а

Ошибки: случаи а=0 и а>0 нельзя объединять, т.к. в первом случае – одно решение, а во втором- два.

6. Неравенсва с модулем

(х-1)⋅≥ 0

Решение: неравенство равносильно совокупности:

      если а< 1, то х∈[1;+∞)∪{а}

                     если а≥ 1, то  х∈[1;+∞)

Ошибки: часто ошибочно не рассматривают решение х=а, заменяя неравенство на х-1≥0

7. Иррациональные уравнения

Решение: уравнение равносильно системе

 Ответ: если а≥-3, то    ; если а<-3, то ∅    

Ошибки:   Возведение в квадрат, не ставя условие на подкоренные выражения.

8. Иррациональные неравенства

а

Решение: неравенство равносильно системе

Ответ: при а ≤ 0, х∈[-1; +∞);  при а > 0, х∈[-1; )

Ошибки : деление на а и возведение в квадрат без постановки условия на а, при этом теряется решение при а<0

Задачи для самостоятельного решения:

1. (а2-6а+5)х=а-1
2. 4х < 12+ах
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.