Главные вкладки

    Способы устных решений квадратных уравнений
    презентация к уроку по алгебре (8 класс)

    Халиулина Луиза Ивановна

    Открытый урок

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл sposoby_ustnyh_resheniy_kvadratnyh_uravneniy.docx518.41 КБ
    Файл sposoby_ustnyh_resheniy.pptx1.14 МБ

    Предварительный просмотр:

    Способы устных решений квадратных уравнений

    Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, а=/0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными.

    1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.


      1) Если 
      а+ b+c= 0, то хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5c97c65a.gif.

      Пример. Рассмотрим уравнение х+4х – 5= 0.

      а+ b+c= 0, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5c97c65a.gif1+ 4+(–5)= 0.

      Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

      D= bhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3172e248.gif– 4ас= 4http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3172e248.gif– 4∙1∙(–5)= 36.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_50960fc1.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m26c88558.gif– 5.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_218a6010.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5e015ebe.gif=1.
      Отсюда следует, что если 
      а+b+c= 0,то хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5c97c65a.gif.


      2) Если 
      b= а+c, то хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m17a33794.gif.

      Пример. Рассмотрим уравнение 2х+8х +6 = 0.
      Если b= а+c, то хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m17a33794.gif8 =2 +6.

      Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

      D= bhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3172e248.gif– 4ас=8http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3172e248.gif– 4∙2∙6= 16.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_50960fc1.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_61f36708.gif–3

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_218a6010.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3ca55cdc.gif–1.

    Отсюда следует, что если b= а+c, то хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m17a33794.gif.

    2.
     Способ переброски.

    При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

    Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

    2х– 11х+5=0 х– 11х+10= 0
    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif10; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

    Ответ: 5; 0,5.

    1. Закономерность коэффициентов.

      1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gifахhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3f35c4eb.gif.

      ax2 + (а+1)∙ х+ а= 0http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_39bcdcee.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_26403dfb.gif
      Пример. Рассмотрим уравнение 6х+37х +6 = 0.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–6; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_1e2e74f7.gif.


      2) Если в уравнении ax bx + c = 0 коэффициент b равен (а+ 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif= ахhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3f35c4eb.gif.

      ax (а+1)∙ х+ а= 0http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_39bcdcee.gif http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m40352f7c.gif

      Пример. Рассмотрим уравнение 15х–226х +15 = 0.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif15; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m861da04.gif.
      3) Если в уравнении axbx – c = 0 коэффициент b равен (а 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gifахhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3f35c4eb.gif.

      ax+ (а2 1)∙ х а= 0http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_39bcdcee.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_76de80e2.gif

      Пример. Рассмотрим уравнение 17х+288х  17 = 0.

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–17; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m754fb6a8.gif.


      4) Если в уравнении ax– bx – c = 0 коэффициент b равен (а 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны 

      хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif= ахhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m3f35c4eb.gif.

    ax+ (а2 1)∙ х а= 0http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_39bcdcee.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m68da2f37.gif

    Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х  10 = 0.

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif10; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m1f58ed64.gif.

    Дидактический материал.

    1. Решение неполных квадратных уравнений:

    а) 4х2 100= 0, б) 2х2+ 10х= 0,

    4х2 = 100, х (2х+10) = 0,

    х2 =25, х = 0 или 2х+10 = 0,

    х =5. 2х = –10,

    http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m4f161f5d.gif х = –5.

    http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m4c6e274d.gif

    2. Решение квадратных уравнений по формуле:

    а) 4х2+ 7х + 3 = 0.

    D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0; 2 корня;
    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_50960fc1.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_35ff0532.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m645ad4df.gif;

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_218a6010.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m6be4b780.gif–1.

    http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4e3b745e.gif

    б) 4х2 – 4х + 1 = 0,


    D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, = 0; 1 корень;

    http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_10b7ce6c.gif

    х= http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_1f1f9441.gif

    3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

    а) х2 – 9х + 14 =0. б) х2 +3х – 28 = 0.

    х1 +х2 = 9, х1 +х2 = –3,

    х1· х2 = 14. х1· х2 = –28.

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=2; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif= 7. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_75083de4.gif

    4. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

    а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0.

    а+ b+c= 0, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5c97c65a.gif. а+ b+c= 0, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5c97c65a.gif

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif2. хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=1, хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif5.

    5. Решение квадратных уравнений способом переброски.

    а) 6х2 – 7х–3= 0.

    х2 – 7х–18= 0,

    D = b2 – 4ас = (– 7)2 – 4· 1 ·(–18) = 49 +72 = 121, D >0; 2 корня;

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_50960fc1.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m1a507d3a.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_63f8ee63.gif= –2;

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_218a6010.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_15bad298.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m784e0c62.gif
    Корни 9 и (–2).

    Делим числа 9 и (–2) на 6: 

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m5b623420.gif х2 =http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_13047105.gif

    б) 2х2 – 11х +15= 0,

    х2 – 11х + 30= 0,

    D = b2 – 4ас = (– 11)2 – 4· 1 ·30= 212 –120= 1; D >0; 2 корня; 

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_50960fc1.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m6dbfca43.gif

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_218a6010.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m6c8d66b8.gif

    Корни 5 и 6.

    Делим числа 5 и 6 на 2:

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m42ba7d9b.gif х2 = 3.

    6. Закономерность коэффициентов:

    а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0.

    b = (а+1); b = (а–1);

    хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–5; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_598535c1.gif хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_4ab98f23.gif–7; хhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_3500b51c.gif=http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/201/200167/200167_html_m38d09115.gif


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    Способы устных решений квадратных уравнений МБОУ «СОШ №8», г. Канаш ЧР Автор: учитель математики Халиулина Л.И.

    Слайд 2

    Определение Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , a=/0 . Квадратные уравнения бывают: полными ax 2 + bx + c = 0 неполными ax 2 + c = 0 или ax 2 + bx = 0 приведенными x 2 + p x + q = 0 .

    Слайд 3

    Способы решения квадратных уравнений:

    Слайд 4

    1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , где а ≠0 . Свойство 1 . Если а + b + с = 0 (т е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю) , то х 1 = 1, х 2 = с/а Свойство 2 . Если а – b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = – 1, х 2 = – с/а

    Слайд 5

    2. Способ переброски . Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 , где а ≠0 . Если а ± b+c ≠0, то используется прием переброски При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат . Пример. 2 х 2 – 11 х+ 5=0, 2-11+5=-4, 2*5=10 х 2 – 11 х+ 10= 0 х = 10; х = 1. Корни уравнения необходимо поделить на а=2 . Ответ : 5; 0,5.

    Слайд 6

    3. Закономерность коэффициентов (а=с) 1) Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b равен ( а 2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 + 1)∙ х+ а= 0), то его корни равны Пример. Рассмотрим уравнение 6 х 2 + 37 х +6 = 0. х = –6; х = – . 2) Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент b равен ( а 2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 - ( а 2 + 1)∙ х+ а= 0) , то его корни равны Пример . Рассмотрим уравнение 15 х 2 –226 х +15 = 0. х = 15; х = – .

    Слайд 7

    3) Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент b равен ( а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 – 1)∙ х – а= 0) , то его корни равны Пример. Рассмотрим уравнение 17 х 2 +288 х – 17 = 0. х = –17; х = . 4) Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент b равен ( а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а ( ax 2 + ( а 2 – 1)∙ х – а= 0) , то его корни равны Пример . Рассмотрим уравнение 10 х 2 –99 х – 10 = 0. х = 10; х = – .

    Слайд 8

    Вывод: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт» У. Сойер

    Слайд 9

    Литература 1. http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/resheniekvadratnyixuravneniyrazlichnyimisposobami.doc 2. http ://edu.of.ru/attach/17/76716.doc


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    устные приемы решений квадратного уравнения

    •данные приёмы  решения заслуживают внимания,      поскольку они не отражены в школьных учебниках математики; • овладение данными приёмами поможет учащимся эко...

    Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.

         Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических,...

    "Устные способы решения квадратных уравнений" 8 класс

    Урок систематизации и обобщения знаний...

    Устные методы решения квадратных уравнений

    Презентация к уроку алгебры (8 класс) по учебнику Алимова, Колягина и др.Представлены устные методы решения квадратных уравнений, основанные на свойствах коэффициентов.В конце урока предусмотрен тест....

    Урок алгебры в 8 классе "Устные способы решения квадратных уравнений"

    Содержит опорный конспект по теме "решение квадратных уравнений".Урок акцентирован на отработку устных способов решения квадратных уравнений...

    мастер - класс по математике «Приемы устного решения квадратного уравнения»

    Добрый день, уважаемые коллеги! Я, Загоскина О.А., учитель математики. Сейчас я проведу с вами мастер –класс на тему «Приемы устного решения квадратного уравнения»В школьном курсе...

    Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

    Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах,  Решение иррациональных,  показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений  часто сводится к решени...