Диофантовы уравнения
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ !!! Диофант Александри́йский ( др.-греч. Διόφ αντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; лат. Diophantus ) — древнегреческий математик , живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры ». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой решению алгебраических уравнений. О подробностях его жизни практически ничего не известно

Слайд 2

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача: Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. (Пер. С. Н. Боброва) Она эквивалентна решению следующего уравнения : х= Это уравнение даёт , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена. Эпитафия-задача

Слайд 3

алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие бесконечное множество решений ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ Примеры Диофантовых уравнений

Слайд 4

Решение Диофантовых уравнений Задача Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных? Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39. Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8 . Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3 , тогда у = 3 . Ответ: (3; 3)

Слайд 5

Решение Диофантовых уравнений Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причём петух стоит 5 монет, курица – 4 , а 4 цыплёнка – одну монету? Решение. Пусть х – искомое число петухов, у – кур, а 4z – цыплят. Составим систему  х + у + 4z = 100   5x + 4y + z = 100, которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4 , а второе – на (-1) и, сложив результаты, придём к уравнению -x + 15z = 300 с целочисленными решениями x = -300 + 15t , z = t . Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 - 19t . Значит, целочисленные решения системы имеют вид x = -300 + 15t , y = 400 - 19t, z = t . Из условия задачи вытекает, что  -300 + 15t  0  400 – 19t  0  t  0 , откуда 20  t  21 1/19 , т. е. t = 21 или t = 20 .

Слайд 6

Презентацию подготовили ученицы 9«Б» класса МБОУ Лицея №7 Саркисова Виктория, Малышева Кристина. Спасибо за внимание!