Что такое функция.
методическая разработка по алгебре (7 класс)

7 класс

Тема урока: Что такое функция?

Учебник: Алгебра 7 кл. для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.

Цели урока:   Привести учащихся к пониманию понятия функции;

 Формирование и первичная отработка понятий “функция”, “аргумент функции”, “значение функции”, “независимая переменная”, “зависимая переменная” ;

 Содействовать развитию у учащихся умений исследовать объекты, сравнивать, находить соответствия и делать выводы.

Оборудование: учебник, ИКТ, печатный лист (приложение1)

Ход урока.

1. Организационный момент и сообщение целей урока.  Мотивация к учебной деятельности.

Сегодня мы начинаем важную для математики тему – это тема «Функции и их графики». Начиная с XVII века понятие функции – одно из основных в математике. Оно играет большую роль в познании реального мира. На уроках математики вы часто будете слышать это слово. Мы научимся  строить графики функций, заниматься исследованием функции, находить наибольшее или наименьшее значение функции.

И, конечно, каждый из вас задается сейчас вопросом: «Что же такое функция?».  Итак, давайте поставим перед собой цель сегодняшнего урока.  Какой она будет?

Ответы детей, например: мы хотим  понять  (узнать), что такое функция.

Сформулируйте тему  урока.

Ответы детей: Что такое функция?

2. Введение понятия функция. Введение терминов независимая переменная, зависимая переменная, аргумент, область определения и область значения функции.

Учащиеся работают в печатных листах (приложение 1), заполняя или дополняя пропуски.

Пример 1. Рассмотрим 100 квартирный дом.  Точнее не сам дом, а два множества: одно из них будет состоять из всех жильцов дома, а другое из натуральных чисел от 1 до 100. Это числа – номера квартир. А теперь составим  зависимость: каждому жильцу дома из первого множества сопоставим одно и только одно число из второго множества. Это нетрудно сделать, если каждому жильцу выдать  номер его квартиры.  Конечно, найдется несколько человек, которым будет соответствовать одинаковые номера. Но не будет тех, кому номер не достанется. Не найдется и тех, у кого будет два или три номера. Таким образом,  мы составили зависимость между двумя множествами по указанному правилу.

Пример 2.    Множество 1 – это множество грибов. Множество 2- таблички с надписями «съедобно» и «несъедобно».  Каждый гриб найдет себе соответствующую табличку и при  том только одну.   Правило соответствия выглядит так: каждому съедобному грибу соответствует табличка «съедобно», а несъедобному – табличка «несъедобно». Это правило зависимости мы назовем функцией. (Рассмотреть,  аналогично примеру 1,  с помощью граф.  Оставить рисунок к этой задаче  на доске).  

Что же общего в этих двух примерах?

Ответы: каждый элемент множества 1 имеет пару, нет ни одного без пары, нет элемента множества 1 с несколькими вариантами пар и т.д.

Продолжим обобщение: элементы множества 1 обозначим Х, а множества 2- У.  Допишем выводы в схеме: х -каждый, у- единственный, зависимость- функция.

Х –независимая переменная, иначе аргумент. У- зависимая переменная. Она является функцией от этого аргумента. Множество  Х называется областью определения функции. Множество  У – областью значений.  Дополните схему этими терминами.

Вопрос: Назовите для примера 1 и 2 , что является независимой переменной, зависимой, область определения и  область значения функции.

Сформулируйте определение функции в печатных листах, затем вслух.  Выделите ключевые слова этого определения. Назовите их.

3. Усвоение понятия функция.

Выполняем задания  пункта  печатного листа (приложение1): Всякая ли зависимость функция?  Слайды 3-7. (Работа в паре, с последующим обсуждением.)

Задания на ДА-НЕТ с кратким пояснением:

1.Является ли функцией зависимость между компанией друзей и месяцами, в которые они родились?

2. Является ли функцией зависимость между компанией друзей и их хобби?

И т.д.

Какие выводы  вы можете сделать?  Обсудить ответы учащихся.

4.  Способы задания функции.

1) Слайд 8.  Составить формулу зависимости S от а.  

Вопросы: Является ли эта зависимость функцией?;

 Назовите независимую переменную, зависимую переменную, область определения функции, область значения функции.

2)Слайды 9-11. Проверка индивидуального задания (приложение 2).

3) Устная работа по слайду 12: Является ли эта зависимость функцией?

Назовите аргумент функции, при котором значение функции равно 36; 18.

Назовите значение функции, если значение независимой переменной равно 2.

Область определения функции, область значения функции.

4) Устная работа по слайду 13.

5. Подведение итогов урока.

Какую цель мы себе сегодня на уроке поставили?  

Достигли ли мы ее?

Что называется функцией?

Какие новые термины мы узнали? Расшифруйте их?

Что еще нового мы узнали?

Приведите пример зависимости, которая является функцией; не является функцией.

Выполните задание «Проверь себя»  (приложение 1) и определите, насколько вы поняли сегодняшний материал.

6 Домашнее задание.

п.12,  №259, 262, 264.

Приложение 1.

1.Что такое функция?

Функцией называют_____________________ переменной ____ от переменной ____ , при которой ___________________значению      переменной   ____соответствует _____________________  значение   переменной____.

2. Каждая ли зависимость функция?

1.Является ли функцией зависимость                            2. Является ли функцией зависимость между

 между компанией друзей и месяцами,                            компанией друзей и их хобби?

 в которые они родились?

3.Как можно задать функцию?

1. С помощью формулы.

2. Графический способ.

3. С помощью таблицы

4. С помощью описания.

Проверь себя:

Функция задана таблицей:

Ответьте на вопросы:

1. Если значение аргумента  равно -3, то значение функции равно_____;
2. Если х= -2, то у=___________;
3.  Если у=8, то х=______;
4. Область определения функции:__________________;
5. Область значения функции:_____________________;
6. Дополните соответсвие:

Приложение 2 (индивидуальное задание)

1. Площадь прямоугольника  со сторонами 15 см и х см равна S см2  .  Составьте формулу зависимости S от х.
2.     Поезд, двигаясь со скоростью 80 км/ч, проходит расстояние S км за t ч. Составьте формулу зависимости S от t.
3. Объем  куба V см 3  зависит от длины его ребра а см.  Выразите формулой зависимость V от а.

Что такое функция.

Цель: дать представление о функции и об основных понятиях, связанных с ней.

Планируемые результаты: иметь представление о понятии функции.

Тип урока: урок общеметодологической направленности.

Ход урока

Ι. Сообщение темы и цели урока

ΙΙ. Работа по теме урока

Очень часто рассматривается зависимость между различными величинами. Например, пройденный телом путь зависит от времени движения при постоянной скорости. Масса тела зависит от объема и плотности материала. Сила притяжения между планетами зависит от их масс и расстояния между ними. Далее будут изучаться зависимости только между двумя величинами. Такие зависимости можно установить различными способами: с помощью формулы (или формул), с помощью графика, с помощью таблицы.

Пример 1

Машина движется по шоссе с постоянной скоростью 70 км/ч. За время T ч машина проходит путь S =70*T км. Легко вычислить пройденный путь за любое время:

если t = 1, то s = 70*1=70;

если t = 1,5, то s = 70*1,5=105;

если t = 3, то s = 70*3=210.

Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой s = 70* t (по смыслу задачи t>0). При изменении величины t меняется также и величина s. Другими словами: в зависимости от времени t движения машины меняется и пройденный путь s. Такую зависимость s=70 t называют функцией. При этом роль переменных s и t различна. Время движения t определяется только желанием водителя и называется независимой переменной или аргументом. Пройденный путь s определяется временем движения t (при скорости 70 км/ч) и называется зависимой переменной. При этом для каждого значения t можно найти только единственное значение s.

Пример 2

На рисунке изображен график скорости машины u в зависимости от времени t за время поездки. Видно, что в течение первого часа машина разгоняется до скорости 50 км/ч, в промежутке от 1 ч до 3 ч она движется с этой постоянной скоростью, от 3 ч до 4 ч – тормозит, и её скорость уменьшается до нуля, от 4 ч до 6 ч – стоит (её скорость равна нулю), от 6 ч до 7 ч – разгоняется до скорости 80 км/ч, но движется в противоположном направлении (скорость имеет отрицательный знак),от 7 ч до 9 ч – движется с этой скоростью.

С помощью этого графика можно найти скорость u машины в любой момент времени t (при 0≤ t ≤9). Например, как видно из графика:

если t=0,5, то u =25;

если t=1,5, то u =50;

если t=5, то u =0;

если t=6,5, то u =-40;

если t=8, то u =-80.

При этом величину t мы можем выбирать произвольно (t –независимая переменная). От выбранного значения t зависит величина скорости u. Поэтому u – зависимая переменная. При этом для каждого значения t можно найти единственное значение u.

Пример 3

Рассмотрим таблицу квадратов Y натуральных чисел X.

Такая таблица также задает функцию: для каждого значения X можно найти единственное значения Y. Например, как видно из таблицы:

если X=2, то Y=4;

если X=5, то Y=25;

если X=9, то Y=81.

Сформулируем на основании рассмотренных примеров более общее определение функции. Зависимость переменной Y от переменной X называется функцией (или функциональной зависимостью), если каждому значению X соответствует единственное значение Y. Переменную X называют независимой переменной (или аргументом), а переменную Y – зависимой переменной. Чтобы подчеркнуть, что Yзависит от X,обычно пишут так: Y (X) (читается: Y от X). Все значения, которые может принимать независимая переменная X, образуют область определения функции. Все значения, которые при этом принимает зависимая переменная Y (значения функции), образуют область значений (или область изменения) функции.

В примере 1 область определения функции s (t) – все t≥0, область значений все s≥0.

В примере 2 область определения функции u(t)- все t из промежутка 0≤ t≤9, область значений – все u из промежутка -80≤ u≤50.

В примере 3 область определения функции Y (X) – значения X, равные 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, область значений – значения Y, равные 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.

ΙΙΙ. Задания на уроке

№ 258,260,261.

ΙV. Контрольные вопросы

• Приведите примеры функциональных зависимостей, укажите независимую и зависимую переменные.
• Дайте определение функции.
• Что называется область определения и областью значений функций?
• На каком рисунке изображен график функции?

(Ответ: на рис. б изображен график функции, так как каждому значению X соответствует одно значения Y, на рис. а существуют такие значения X, которым соответствуют два значения Y).

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание

№ 259,262,263,264.