Презентация на тему "Применение производной к исследованию функций"
презентация к уроку по алгебре

Слайд 2

Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции ( промежутков возрастания и убывания ). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Слайд 3

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Слайд 4

возрастающая убывающая убывающая убывающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах возрастающая и убывающая на интервалах

Слайд 5

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале. Теорема 1.

Слайд 6

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает) . Теорема 2.

Слайд 7

Находим область определения функции f(x) . Вычисляем производную f’(x) данной функции. Находим точки, в которых f’(x) =0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности . Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)› 0 , то на этом интервале f ( x) возрастает ; если f’(x)‹ 0 , то на таком интервале функция f(x) убывает . Правило нахождения интервалов монотонности

Слайд 8

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36. Находим критические точки: y’= 0. x²-x-6 =0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;-2] υ [3;+∞) , функция убывает при x ϵ [ -2;3 ] . Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5 + + - -2 3

Слайд 9

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= 3 x²-6x. Находим критические точки: y’= 0. x²- 2 x =0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 Делим область определения на интервалы: Функция возрастает при x ϵ (-∞;0] υ [2;+∞) , функция убывает при x ϵ [0 ; 2] . Пример №2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x² - - + 0 2

Слайд 10

Точку x 0 называют точкой минимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x 0 ) . Точку x 0 называют точкой максимума функции y=f(x) , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)

Слайд 11

1 1 -1 0 х у -1 у х 1 0 -1 1 -1 y=f(x) y=g(x) Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ , а поэтому производная в этих точках равна 0 ; Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими . Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует .

Слайд 12

производная равна нулю ( стационарные точки) критические точки производная не существует максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» перегиба знак не меняется максимума «+» на «-» минимума «-» на «+» излома знак не меняется плавные линии угловатые линии точка точка точка точка точка точка

Слайд 13

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x 0 , то в этой точке производная функции или равна нулю , или не существует . Теорема 3 .

Слайд 14

Если производная f ’( x ) при переходе через точку x 0 меняет знак , то точка x 0 является точкой экстремума функции f ( x ). Если производная меняет знак с + на – , то точка будет являться точкой максимума , если с – на + , то точка будет точкой минимума Теорема 4 .

Слайд 15

Область определения : R . Функция непрерывна. Вычисляем производную : y’= - 6x²-6x +12 . Находим критические точки: y’= 0. - x²-x +2=0 Д=1-4  (-1)  2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 Делим область определения на интервалы: x =-2 – точка минимума . Найдём минимум функции y min =-24 . x =1 – точка максимума . Найдём максимум функции: y max =3 . Пример № 3 . Найти экстремумы функции y= - 2x³-3x² +12 x -4 - - + -2 1

Слайд 16

1. Исследовать на экстремум функцию y=x 2 +2. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x 2 +2)’=2x. Приравниваем её к нулю: 2x=0 , откуда x=0 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x =0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =2. + - 0

Слайд 17

2. Исследовать на экстремум функцию y= 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=( 1/3 x 3 -2 x 2 +3 x+1)’=x 2 -4x+3. Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0 , откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x =1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x =3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =1 . + + - 1 3

Слайд 18

3. Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3 x 2 +9 x -6 . Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x 3 +3 x 2 +9 x -6 )’= 3 x 2 +6 x+ 9 . Приравниваем её к нулю: 3 x 2 +6 x+ 9=0, откуда D< 0. То есть критических точек не существует. Однако, функция возрастает на всей D(y) , так как y’= 3 x 2 +6 x+ 9 >0 :

Слайд 19

4. Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: Находим область определения функции: D(y)=R. Находим производную: y’=(x 2 -x-6)’=2x-1. Приравниваем её к нулю: 2x-1=0 , откуда x=1/2 – критическая точка. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: x =1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6,25 . + - 1/2