Решение заданий В8 ЕГЭ по математике
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Задача №8 Тип задания по кодификатору требований: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций. Характеристика задания: Задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции. Комментарий: Для решения задачи достаточно знать, что - в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная положительна ; - в каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна ; - в каждой точке экстремума непрерывной функции производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции).

Слайд 3

Задача №8 общие точки графика производной и оси абсцисс (т.е. точки, в которых производная равна нулю ) либо являются точками максимума , если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз» (т.е. производная меняет знак с плюса на минус : возрастание функции сменяется убыванием), либо являются точками минимума , если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т.е. производная меняет знак с минуса на плюс : убывание функции сменяется возрастанием), либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её: в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции НЕ МЕНЯЕТСЯ ). Обратно, если дан график производной функции, то на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна ), функция возрастает ; на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна ), функция убывает ;

Слайд 4

1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну ( где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни с . Ре­ше­ние: Ответ: 59. Задача №8 При t = 3c ек = 2. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с? Ре­ше­ние: По условию ⇒ значит t = 8 сек. Ответ: 8

Слайд 5

Задача №8 3. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну ( где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с? Ре­ше­ние: Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: ( м/с ) . Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни ско­рость была равна 2 м/с, решим уравнение : Но t , поэтому t = 7. Ответ: 7

Слайд 6

Задача №8 4 . Пря­мая па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния. Ре­ше­ние: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му коэффици­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная параллельна пря­мой , их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния y ′ = 7 : Ответ: 0,5. 5 . Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки касания . Ре­ше­ние: Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся условиями:

Слайд 7

Задача №8 ( продолжение решения задачи 5) В нашем слу­чае имеем: Про­вер­ка под­ста­нов­кой по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет, а второй удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*) . По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния −1. Ответ: -1 .

Слайд 8

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [−9;6] функция имеет две точки максимума x = − 4 и x = 4. Ответ: 2 . На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].

Слайд 9

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

Слайд 10

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−9; −6) длиной 3 и интервалу (−2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

Слайд 11

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

Слайд 12

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них — интервал (2; 5), длина которого 3.

Слайд 13

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.

Слайд 15

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2 ] Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках −13, −11, −9, −7. На отрезке [−14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

Слайд 16

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x ) Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.

Слайд 18

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

Слайд 19

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3 Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

Слайд 20

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . По свойствам касательной, формула касательной к функции f(x) в точке x 0 равна y=f ′ (x 0 )⋅ x+b , b= const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Слайд 21

Задача №8 17. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс : , , , , , . В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна ? В каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна В интервалы убывания функции попадают точки Т.е. количество таких точек равно 2. Ответ: 2

Слайд 22

18. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке . 19. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс : , , , , , , . В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Ответ: 2 Ответ: 3 Задача №8

Слайд 23

20 . На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3;3]. Ответ: - 2 Задача №8 •

Слайд 24

Источники http://reshuege.ru/ http://egemat.ru/prepare/B8.html http://bankege.ru/