Урок по теме "Возрастание и убывание функции"
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Урок по теме:

«Возрастание и убывание функции»

Преподаватель: Древс О.Б.

Технологическая карта урока на тему:

«Возрастание и убывание функции».

Продолжительность урока:  45 минут.

Цель урока: 

1.Систематизировать знания по теме «Производная»

2.Уметь проводить исследование функций

3.Уметь «читать» графики функций

Задачи урока: 

Образовательные − обобщить и систематизировать знания обучающихся по данной теме; формировать у обучающихся умения исследовать функции с помощью производной;

Развивающие − развитие умений применять теоретические знания при исследовании функций; развитие исследовательских умений, навыков самостоятельной работы, развитие умения рассуждать, сравнивать, обобщать, формулировать выводы, развитие мышления, памяти, внимания и математического кругозора;

Воспитательные − воспитание воли и упорства для достижения конечного результата; воспитание познавательной активности,  прививать интерес к предмету математики, воспитывать сознательное отношение к обучению, самостоятельности.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран, распечатки заданий.

(Урок объяснение новой темы)

ОБЩАЯ ЧАСТЬ 

Тема урока:  «Возрастание и убывание функции».

Планируемые образовательные результаты

Систематизировать знания по теме «Производная»

Уметь проводить исследование функций

Уметь «читать» графики функций

Коммуникативные: вступать в учебный диалог с учителем; участвовать в общей беседе, строить монологические высказывания

Регулятивные: планировать необходимые действия, операции; оценивать возникающие трудности; вносить коррективы в работу; контролировать процесс и результаты деятельности;  адекватно оценивать свои возможности достижения цели

Познавательные: читать и слушать, извлекая необходимую информацию; осознавать познавательную задачу

Формирование положительного отношения к учебе, желание приобретать новые знания; совершенствовать имеющиеся знания, умения.

Ресурсы урока: интерактивная доска,  мультимедийный проектор, ноутбук, раздаточный материал

ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА

Этап урока (+время)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1 этап. Организационный момент (1 мин)

Приветствие, создание благоприятного психологического настроя, мобилизация внимания учащихся.

Самоопределение, оценка готовности к уроку, включение в деловой ритм урока.

2этап. Актуализация знаний (5мин)

Повторение ранее изученного материала с целью выделения тех знаний, которые наиболее важны на данном уроке.

3 этап. Постановка учебной задачи (3 мин)

 Создание проблемной ситуации  с последующим определением темы урока.

Выделение существенной информации из слов преподавателя при выводе  темы урока; проявляют навыки логично выражать свои мысли, вступая в диалог с преподавателем и с ребятами из группы.

4 этап. Целеполагание и планирование

(10 мин)

Сообщает целевые установки урока, намечает план предстоящей работы

Делают записи в тетради; осмысливают поставленные задачи и цели.

5 этап. Применение знаний и умений в новой ситуации (9мин)

Повторить  геометрический смысл производной. Исходя из него мы можем исследовать  любые функции на возрастание и убывание. Ребята, как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока. (исследование функций). Чему мы должны научиться? (Исследовать функции, используя геометрический смысл производной).  

Мы с вами вместе разберем один график какой-нибудь функции.

Совместная работа с учителем

6 этап. Обобщение и систематизация знаний (5 мин)

Задает устные вопросы по графикам, изображенным на интерактивной доске.

7 этап. Развитие исследовательских навыков при чтении графика функции (5 мин)

Работа по учебному материалу. Задание из банка ФИПИ по ЕГЭ

Ученики ведут исследование в тетради, по одному ученику у доски записывают ответы, предварительно объясняя свой ответ.

8 этап. Контроль знаний и умений по теме (5мин)

Самостоятельная работа в распечатках, задание из ФИПИ

Работают над заданием и взаимопроверяют. Объяснение решения у доски.

9 этап. Рефлексия

(1 мин)

10 этап. Информация о домашнем задании  (1 мин)

Записывают домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

   Приветствие.  

   Мотивация: В этом году вы познакомились с понятием производной функции, операцией дифференцирования.  Учились работать по формулам и правилам дифференцирования.  Решали задачи, связанными с её геометрическим и механическим смыслами.

   Но  производная – это ещё и уникальный  аппарат для изучения свойств функции. Например, с помощью производной можно находить промежутки монотонности, ее наибольшее и наименьшее значение, решать практические задачи.

   Сегодня нам предстоит выяснить, как именно можно применять производную к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.  

    Но прежде  -  немного повторения!

2.Актуализация  знаний

1) Вспомним понятия возрастания, убывания и  монотонности функции.

2) Какими способами нам удавалось определять промежутки монотонности?

1 способ. По определению возрастающей  (убывающей) функции.

Рассмотрим пример.  (распечатки)

     f(x)= ,  D(f) =  (-∞;0)  (0;+∞)

Пусть х2 > x1 , тогда f(x2) - f(x1) = -  = (х1 –х2)/ х2 х1 < 0, значит данная функция убывает на каждом из двух промежутков своей области определения.

2 способ. По графику: готовому либо после его построения.

Пример №2.  (распечатки)    

       По графику функции y=f(x) ответьте на вопросы:

      Сколько промежутков возрастания у этой функции?

      Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции

Пример №3 ( распечатки) Задание В8 ЕГЭ по математике

По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Найдите длину промежутка убывания этой функции.

2) Итог этапа: по результатам работы учащиеся констатируют:  пример №3 для них является невыполнимым.

3. Постановка учебной задачи (Выявление того, где и почему возникло затруднение; Постановка цели урока, связанной с устранением причины затруднения; Формулировка темы урока.)

   Итак, что же нам сделать, чтобы решить проблему?  Какими будут цели урока? (Ответы: Найти связь между монотонностью и производной. Создать алгоритм решения задач на поиск промежутков монотонности функции….)  

А как мы сформулируем тему урока в связи с поставленными целями?  

4. Целеполагание и планирование.

1. Для достижения поставленных целей предлагаю вам выполнить небольшое исследование.

      Выполнение исследовательской работы и фиксация результатов деятельности в форме гипотезы  (работа в парах).

2. По окончании работы учащиеся представляют результаты своей деятельности (вносят данные в общую таблицу на доске, заготовленную учителем заранее).

3. Обобщая итоги работы,  обратить внимание на изображение

          Гипотеза формулируется общими усилиями.

     4) Учитель подтверждает верность гипотезы формулировкой  теорем о достаточном условии возрастания  и убывания функций :

Теорема1.

«Если функция f(x)  дифференцируема на интервале (a;b)  и  f/(x) >0 для всех  х (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b)».

Теорема2.

«Если функция  f(x)  дифференцируема на интервале  (a;b)  и  f/(x) < 0 для всех  х (a;b), то функция убывает на интервале (a;b)».

5. Применение знаний и умений в новой ситуации

  Делается вывод, что первой цели мы достигли и выполняется 5 задач на готовых чертежах (в том числе пример №3, ранее казавшийся невыполнимым). (распечатки):

6. Обобщение и систематизация знаний

 Организуется беседа с учащимися о возможности создания алгоритма. В ходе обсуждения  следует подвести их к выводу, что для того, чтобы исследовать функцию на монотонность, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые  некоторые особые точки разбивают область определения функции. Через фронтальное обсуждение фактически составляется алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность:

Алгоритм.

1. Указать область определения функции.
2. Найти производную функции y=f(x).
3. Определить промежутки, в которых f/(x) )>0 и  f / (x)<0.
4. Сделать выводы о монотонности функции.

7. Развитие исследовательских навыков при чтении графика функции

По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Найдите длину промежутка убывания этой функции (распечатки).

 8. Контроль знаний и умений по теме

На рисунке изображён график дифференцируемой функции у=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 х9.  В скольких из этих точек производная функции отрицательна?  В скольких из этих точек производная функции положительна? (распечатка)

Проверка в парах.  Преподаватель даёт правильный ответ.  

9. Рефлексия

На этом этапе проговариваются выводы, сделанные учащимися в ходе практической работы, отмечаются позитивные моменты урока, и, обязательно, надо отметить то, что каждый ученик на уроке занимался исследовательской деятельностью, создавая свой интеллектуальный продукт.

    Добавляется, что разработанный алгоритм в ближайшее время будет уточнен. (имеется в виду: после изучения понятий об особых точках)

10. Информация о домашнем задании  

§49, стр. 262 (Выучить формулировки теорем и алгоритм исследования функции на монотонность) ,  №№ 900 (1,2,4).