Чтение графика квадратичной функции. методическая разработка по алгебре (8 класс)
методическая разработка по алгебре (8, 9 класс)

ЯГЬЯ ЕЛЕНА БОРИСОВНА
  •  Данный материал  поможет повторить определение квадратичной функции ее свойства и графики; познакомить с алгоритмами решения заданий   из ОГЭ , отработать навык решения этих задач.

Скачать:

ВложениеРазмер
Microsoft Office document icon kvadratichnaya_funktsiya_.grafik_funktsii.doc326.5 КБ

Предварительный просмотр:

  Тема : Чтение графика квадратичной функции

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты ab и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант— это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Формула корней квадратного уравнения 

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0  a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0  уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение простого квадратного уравнения 

Второе уравнение:
15 − 2
x − x2 = 0  a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0  уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Квадратное уравнение: два корня 

Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0  a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12
2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0  уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Случай с нулевым дискриминантом

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величинуx2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Разложение уравнения на множители

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0  x · (x − 7) = 0  x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0  5x2 = −30  x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0  4x2 = 9  x2 = 9/4  x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах2 + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.Приложение №1

http://claw.ru/a-mathem/29/2/2_7.jpg

Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

http://claw.ru/a-mathem/29/2/2_6.jpg

точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).

Поэтому несложно сделать вывод ,чтобы решить следующие задания  надо:

  1. Определить знак  коэффициента а ;
  2. Найти координату вершины параболы (точки А) во всех случаях;
  3. При необходимости найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0.

Задания .

1.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А) m1x2m7xm11.eps Б) p1x2p7xp11.eps В) p1x2m7xp11.eps

ФОРМУЛЫ

1) y=-x^2-7x-11      2) y=-x^2+7x-11      3) y=x^2+7x+11      4) y=x^2-7x+11

2.Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y=x^2-5x+1      Б) y=x^2+5x+1      В) y=-x^2+5x-1

ГРАФИКИ

1) p1x2m5xp1.eps 2) m1x2m5xm1.eps 3) m1x2p5xm1.eps 4) p1x2p5xp1.eps

3.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А.  x^2 + 4 x + 1      Б.  x^2 -4 x + 1      В. - x^2 + 4 x -1

ГРАФИКИ

1)p1x2p4xp1.eps      2)m1x2m4xm1.eps      3)m1x2p4xm1.eps      4)p1x2m4xp1.eps

4.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А. -2 x^2 + 14 x -26      Б. 2 x^2 -14 x + 26      В. -2 x^2 -14 x -26

ГРАФИКИ           1)p2x2p14xp26.eps      2)m2x2m14xm26.eps        3)p2x2m14xp26.eps      4)m2x2p14xm26.eps

5.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А.  x^2 + 8 x + 12      Б.  x^2 -8 x + 12      В. - x^2 + 8 x -12

ГРАФИКИ

1)p1x2p8xp12.eps      2)p1x2m8xp12.eps      3)m1x2m8xm12.eps      4)m1x2p8xm12.eps

6.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А. -4 x^2 + 20 x -21      Б. 4 x^2 -20 x + 21      В. 4 x^2 + 20 x + 21

ГРАФИКИ                       1)m4x2p20xm21.eps      2)p4x2p20xp21.eps      3)m4x2m20xm21.eps      4)p4x2m20xp21.eps

7.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А. - x^2 -4 x -3      Б. - x^2 + 4 x -3      В.  x^2 + 4 x + 3

ГРАФИКИ

1)m1x2m4xm3.eps      2)m1x2p4xm3.eps      3)p1x2m4xp3.eps      4)p1x2p4xp3.eps

8.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А.  x^2 -7 x + 13      Б. - x^2 + 7 x -13      В.  x^2 + 7 x + 13

ГРАФИКИ                         1)p1x2m7xp13.eps      2)p1x2p7xp13.eps      3)m1x2m7xm13.eps     4)m1x2p7xm13.eps

9.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А.  x^2 -3 x + 6      Б. - x^2 + 3 x -6      В.  x^2 + 3 x + 6

ГРАФИКИ

1)m1x2m3xm6.eps      2)p1x2m3xp6.eps      3)p1x2p3xp6.eps      4)m1x2p3xm6.eps

10.Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ

А.  x^2 -8 x + 16      Б. - x^2 + 8 x -16      В.  x^2 + 8 x + 16

ГРАФИКИ       1)p1x2p8xp16.eps      2)m1x2m8xm16.eps      3)p1x2m8xp16.eps      4)m1x2p8xm16.eps

Чтобы решить следующие задания  надо:

  1. Определить знак  коэффициента а ;
  2.  Знать точку пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с);
  3. Использовать Приложение №1.

1.На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

a>0,  c<0

  2) 

a>0,  c>0

  3) 

a<0,  c>0

2.На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

a<0,  c>0

  2) 

a>0,  c>0

  3) 

a>0,  c<0

3.На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

  Г) 

undefined

 

ЗНАКИ ЧИСЕЛ

1) 

a>0, D>0

2) 

a>0, D<0

3) 

a<0, D>0

4) 

a<0, D<0

4.На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+bx+c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

a<0,  c>0

  2) 

a>0,  c>0

  3) 

a>0,  c<0

5.На рисунке изображены графики функций вида y=ax2+c. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

  Г) 

undefined

 

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

1) 

a>0, c<0

2) 

a<0, c>0

3) 

a>0, c>0

4) 

a<0, c<0

Дополнительные Задания

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

А) 

undefined

  Б) 

undefined

  В) 

undefined

 

ФОРМУЛЫ

1) 

y=− 2x2+12x−12

2) 

y=− 2x2−12x−12

3) 

y=2x2−12x+12

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

y=− 2x2+12x−13

Б) 

y=2x2+12x+13

В) 

y=2x2−12x+13

 

ГРАФИКИ

1) 

undefined

2) 

undefined

   

3) 

undefined


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка урока алгебры 8 класс УМК Мордковича

Урок обобщения знаний по теме "Решение линейных, квадратных, дробных рациональных уравнений" Данный конспект урока можно использовать для учащихся, которые способны к обучению на продвинутом уровне...

Построение графика квадратичной функции в MS Еxcel в 8 классе

Разработка урока алгебры в 8 классе по теме: Построение графика квадратичной функции в программе MS Еxcel...

Методическая разработка урока алгебры 11 класс по теме "Степень с рациональным показателем"

Методическая разработка урока алгебры 11 класс по теме "Степень с рациональным показателем"...

План-конспект урока с мультимедийной презентацией: "Квадратичная функция и ее свойства" (алгебра,9 класс).

Цель урока:   Обобщить и систематизировать знания о квадратичной функции и ее свойствах;   Повторить особенности размещения графика квадратичной функции в ПСК;   Оценить ...

Чтение графика квадратичной функции.

Повторить определение квадратичной функции их свойства и графики; познакомить с алгоритмами решения заданий 5  из ОГЭ; отработать навык решения этих задач....

Методическая разработка урока алгебры 10 класс "Применение производной к исследованию функции"

Данное занятие предназначается для учителей математики для подготовки к урокам алгебра и начал математического анализа в 10 классе по теме «Применение производной к исследованию функции». ...

«Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции»- методическая разработка. 8 класс

Материалы методической разработки можно использовать на уроках повторения темы: "Решение квадратных неравенств" и при подготовке к итоговой аттестации....