Интегрированный урок «Применение производной на уроках математики и физики»

В 10 классе.

Ведут учителя физики и математики (Ралдыгина Л.Н. и Мардоян Т.В.)

Цели:
Учебные: 
Добиться усвоения учащимися систематических, осознанных сведений о понятии производной, её геометрическом и физическом смысле. Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.
Научить применять полученную модель на практике.
Воспитательные: 
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, подведения итогов.
Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в группе, контактировать с товарищами.
Вызвать чувства ответственности и сопереживания.
Духовно – нравственное воспитание на примере жизни выдающихся математиков.
Развивающие: 
Формирование ключевых компетенций

Оборудование: Компьютер, экран, проектор, раздаточный материал.

ХОД УРОКА
Хочу начать урок народной мудростью: «Послушай – и ты поймёшь!

                                                                                   Посмотри и ты запомнишь!

                                                                                   Сделай – и ты научишься!»

 (М). Предлагаю отгадать ключевое слово урока.

1) С её появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ.

2) Бывает первой, второй,…

3) Обозначается штрихом.  (Ответы учеников: производная)

(Произносится учителем  и записывается на доске тема урока).

(Ф). Сформулируйте цели урока…

Итак, сегодня на уроке мы поговорим о применении производной при решении задач математики и физики.

Класс разбит на группы.

(М). I ступень. Устный опрос (разминка).

(Каждой группе по очереди задаётся вопрос,  за правильный ответ- 1 балл).

Вопросы.

 (М). Что называют производной функции у=f(х)?

(Ответ. Производной функции у=f(x), заданной на некотором интервале (a: b), в точке х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю).

(Ф).  Как называется математическая операция нахождения производной функции?

(Ответ. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.)

 (М). В чем заключается геометрический смысл производной функции?          

(Ответ. Значение производной функции в точке   есть тангенс угла α между этой касательной и положительным направлением оси Ох, т.е.  ( ) =  tgα. )            

 (Ф). В чём состоит физический смысл производной?

(Ответ. Если тело движется по прямой согласно закону s(t), то  скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v (t)= s‘(t ) ).

(М) Что такое ускорение с точки зрения производной?

(Ответ. Ускорение есть производная от скорости по времени, т.е. а(t) = v’(t)).

2 ступень. Работа по теме

Преподаватель физики

 Рассмотрим задачу по этой теме, решив по физическим формулам.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -2+4t+3t. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Преподаватель математики

А теперь решим задачу математическим способом, используя производную.

(М). 3 ступень. Эстафета.

      Для эффективного решения задач необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования. (Учителя вручают первому члену команды листы, где в столбик записаны формулы, в которых вместо ответа прямоугольник. В него необходимо вписать правильный ответ. Лист передают друг другу, пока будут заполнены все прямоугольники. Время проведения – 2 минуты, каждая правильная формула – 1 балл).

Команда _____________________

1.          

2.  

4.  =  

5. =    

6.  =    

7.    =      

8.       =

9.    

10.    

(Ф).  4 ступень.  Работа в группах.

Выполнив задания, вы расшифруете:

 как И. Ньютон называл производную функции.

 Задания на карточках.

1) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 

     f(x) = -  в точке  =1.

(Решение: к =f ′(х) = - 2х + 4; k = f ′(1) = - 2∙1 + 4 = 2. Ответ: к = 2.) (Ф)

 2) Найдите tg α, где α -  угол наклона касательной к графику функции

      f(x) = 2 + 8x – 3 в точке  = -3.

(Решение: f ′(х) = 4х + 8; tg α = f ′(-3) = 4∙(-3) + 8 = - 4. Ответ: - 4.) (Л)

3) Найдите значение производной функции в точке.

ответ: 3/4 (Ю)

4) (К)

На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс:    , В скольких из этих точек функция  убывает?

Ответ: 5

5) Тело движется по закону . Найти скорость тела в момент времени t = 2 c.

Ответ: - 3,14 (С)

6)  Два автомобиля движутся вдоль прямой дороги. Уравнение движения первого автомобиля , а второго –. В какой момент времени после начала движения их скорости равны?

Ответ: 8  (И)

7) Известно, что тело массой m = 5 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Ответ: 10 (Я)

5 ступень. Исторический Экскурс.

      (М) Понятие производная  возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Понятие производной  возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.
Знаменитый физик Исаак Ньютон внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий. Переменные величины Ньютон назвал флюентами, т.е. текущей величиной,  а скорости изменения флюент он  назвал флюксиями. Таким образом, флюксия – это устаревшее название производной.

(Ф) С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной  (с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж. Но четкого определения производной Лагранж не дал. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

6 ступень. Применение производной при построении графиков

(М) Исследовать на монотонность функцию у =2х3 +3х2 -1 и построить график этой функции.

f(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1)

 (Ф) Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно и громоздко. Вопросы по графику:

1)В какие моменты времени тело останавливалось.

2) На каком промежутке времени тело двигалось против оси х 

IVступень. Самостоятельная работа.

 Материальная точка массой 1 кг движется вдоль оси Ох по закону

.

Найдите:

а) зависимость проекции скорости от времени ;

б) зависимость проекции ускорения от времени ;

в) равнодействующую всех сил в момент времени t = 2 c;

г) импульс тела в момент времени t = 1 c.

__________________________________________________________________

Материальная точка массой 0,5 кг движется вдоль оси Ох по закону

.

Найдите:

а) зависимость проекции скорости от времени ;

б) зависимость проекции ускорения от времени ;

в) равнодействующую всех сил в момент времени t = 2 c;

г) импульс тела в момент времени t = 1 c.

__________________________________________________________________

Материальная точка массой 0,1 кг движется вдоль оси Ох по закону

.

Найдите:

а) зависимость проекции скорости от времени ;

б) зависимость проекции ускорения от времени ;

в) равнодействующую всех сил в момент времени t = 2 c;

г) импульс тела в момент времени t = 1 c.

__________________________________________________________________

Материальная точка массой 3 кг движется вдоль оси Ох по закону

.

Найдите:

а) зависимость проекции скорости от времени ;

б) зависимость проекции ускорения от времени ;

в) равнодействующую всех сил в момент времени t = 2 c;

г) импульс тела в момент времени t = 1 c.

_________________________________________________________________

Материальная точка массой 2 кг движется вдоль оси Ох по закону

.

Найдите:

а) зависимость проекции скорости от времени ;

б) зависимость проекции ускорения от времени ;

в) равнодействующую всех сил в момент времени t = 2 c;

г) импульс тела в момент времени t = 1 c.

 (М) считает баллы

VII. Рефлексия.

(Ф) Один учитель подводит итоговые баллы по группам, по каждому ученику, другой в это время рассказывает притчу: «Приходит профессор к студентам на урок. Приносит стакан полный камушков, и спрашивает ребят- «Как вы думаете, полный ли этот стакан». Большинство ребят говорят, что он полный. Тогда профессор насыпает в стакан песок, песок заполняет пустоты в стакане. «Как вы думаете, полный ли этот стакан сейчас» - спрашивает профессор. Уже меньше было поднято рук, большинство засомневались. «Он и сейчас не полный»- говорит профессор, и берёт кувшин и наливает воду. «Как вы думаете, полный ли этот стакан сейчас». Совсем мало ребят подняли руки. «Он и на этот раз не полный» - говорит профессор, и берёт, и растворяет в воде соль. Что же хотел сказать профессор своим студентам, а я хочу сказать вам: «Те знания, которые получите за время обучения в нашей школе - это те камушки, которые находятся в стакане, это фундамент знаний. Я бы хотела, чтобы вы пополняли свои знания в дальнейшем, росли профессионально и как личности».

Итоги урока.

(М.) Учитель математики озвучивает количество баллов, набранных каждой командой, и полученные оценки.

(Ф.). А я хочу закончить урок высказыванием русского учёного М.В. Ломоносова, в котором, как нам кажется, мы сегодня убедились: «Слеп физик без математика».