Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №4

городского округ г.Выкса Нижегородской области

Делимость чисел

Секция : математическая

Работу выполнила:

Лезина Екатерина Владимировна,

ученица 8 класса

Руководитель:

Ионова Лариса Александровна,

учитель математики МБОУ СШ № 4

Выкса

2024 г.

Содержание

Введение …………………………………………………………………………..3

Глава 1. Теоретическая часть

1.1. Из истории делимости чисел………………………...………………. ……..6

1.2. Признак Паскаля……………………………………………………………...8

1.3. Изучение признаков делимости……………………………………………..9

1.4. Свойства делимости чисел ………………………………………………...13

1.5.  Деление с остатком………………………………………………………...14

Глава 2. Результаты и их обсуждения

 2.1. Анализ результатов опроса учащихся……………....................................15

2.2 Исследование задач на применение признаков делимости чисе…………16

Выводы…………………………………………………………………...............24

Список литературы………………………………………………………………25

Введение

Только понимание природы чисел гарантирует

 понимание возможности действий над ними

 и остальных их свойств.

Л.Эйлер

Математика участвует в развитии интеллекта, мышления и личностных качеств человека. Формирует логический склад ума. Жизненные процессы и явления, можно описать на математическом языке, с помощью формул и математических законов. Человек, который знает язык математики, может правильно ориентироваться в окружающей нас действительности. Знание математики позволяет правильно обрабатывать информацию, статистические данные, делать правильные выводы.

Теория делимости чисел  является одним из важнейших разделов арифметики началом обширного раздела математики - теории чисел. Теория чисел заслуживает отдельного внимания при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике. В школьной практике теория делимости используется при изучении основных понятий, основных признаков делимости и решения задач.

Актуальность темы В школьном курсе математики  учащиеся знакомятся с такими  понятиями, как делители и кратные, четные и нечетные числа, простые и составные числа, наибольший общий делитель (НОД), наименьшее общее кратное (НОК),  признаками делимости чисел, нахождение наименьшего общего знаменателя для сложения и вычитания дробей. На  тему делимости  существует значительное количество самых разнообразных задач в школьной программе по математике. В контрольно- измерительных материалах ВПР, ОГЭ, ЕГЭ предлагаются задания на применение знаний по данной теме , которые помогают  без лишней потери времени, быстро и безошибочно справиться с этими  заданием. Только знания эти остались классе в 5-том ,6 -ом и применялись к заданиям совсем другой сложности. И знания по теории чисел  уже приходится освежать самостоятельно .

          В задании №19 ЕГЭ по математике базового уровня необходимо уметь применять свойства чисел. Тем не менее, какие именно знания из этого обширного раздела могут оказаться полезны для каждого экзамена или олимпиад, для многих остается загадкой.

Разбирая олимпиадные задания, где необходимо владеть навыками деления чисел, умением применять признаки делимости натуральных чисел, знать свойства делимости суммы, разности и произведения чисел, я заинтересовалась данной темой, что подтолкнуло меня на мысль о написании исследовательской работы.

Гипотеза: теория делимости чисел способствуют эффективному и рациональному решению задач.

          Объект исследования: Делимость чисел.

Предмет исследования: Признаки и свойства   делимости чисел.

 Цель работы:

Расширить и сформировать навыки   использования основных понятий делимости чисел при решении задач.

Задачи:

1. Изучить факты истории математики о делимости чисел.
2. Изучить признаки делимости на натуральные числа 4,6,7,8,11,12,15,18,25
3. Изучить свойства делимости чисел. 
4.  Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также формулировать признаки делимости на любое натуральное число.
5. Провести и проанализировать работу на применение признаков делимости на 2,3,5,9,10 , изучаемые в школьном курсе математики среди учащихся 8 классов.
6. Исследовать применение признаков делимости при решении задач.

Методы исследования:

• Изучение литературы;
• Сбор информации;
• Анализ и систематизация материала;
• Обработка данных;
• Сравнение,
• Обобщение.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Из истории делимости чисел

Вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики остается еще много неясного.

Делимость – это  способность одного числа делиться на другое без остатка. Вопросы делимости одних целых чисел на другие рассматриваются в разделе математики под названием «Теория чисел» .

Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. В некоторых ситуациях умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время. К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости чисел. 

Теория делимости, по одной из версий, возникла из-за практических потребностей людей, которые возникали при строительстве уже самых примитивных сооружений, где было необходимо рассчитать, сколько примерно материала пойдет на постройку и т. п. Либо при развитии торговли, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми. В современной жизни у нас также часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости: в банковском деле, при денежных расчетах в магазине и т. п.

Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться ею, звали Фалес. А о числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе в 6 веке до нашей эры.  Пифагор очень много сделал для развития науки. Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» - провозгласил он.

Разумеется, о том, что натуральные числа бывают четными и нечетными, задолго до Пифагора знал любой продавец на базаре его родного острова Самоса. Ведь ему приходилось раскладывать свой товар попарно, и иногда это удавалось, а иногда яблоко, мешок муки или баран оказывались лишними. Но Пифагор стал думать о свойствах четных и нечетных чисел. Он сложил два четных числа и получил снова четное число. То же самое вышло, когда он сложил два нечетных числа. А от сложения четного числа с нечетным получилось нечетное число. Наверное, такое тысячи раз случалось и у египтян, и у вавилонян, да и у греков, живших до Пифагора. Но никто из них не ставил вопроса «А почему это так?» Не задумывались до Пифагора и о том, почему если один из множителей четный, то и произведение окажется четным, а если все множители нечетны, то нечетным будет и произведение.

Что касается творчества ранних пифагорейцев (представителей пифагорской школы), то в настоящее время невозможно отделить сделанное самим Пифагором от работ его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, музыкой, и, в числе прочего, арифметикой, а именно теорией чисел. Можно справедливо утверждать, что Пифагор и пифагорейская школа закладывали основы теории чисел и принципы арифметики. Весомый вклад в становление теории чисел кроме пифагорийцев  оказали  Евклид, Диофант, Эратосфен,Паскаль. 

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить целочисленное деление чисел без необходимости выполнять фактическое деление.

 Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (ок. 1179 – после 1228). С помощью признаков делимости  можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.

На практике возникает необходимость, не выполняя деления, предсказать -  делится  число нацело или нет. Для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок, олимпиадных заданий, практических задач, необходимо обладать навыками применения теории делимости чисел, их свойствами, владеть признаками делимости.

1.2 Признак Паскаля

 Изучая информацию в источниках я узнала, что в математике доказаны признаки делимости помимо тех, которые изучаются в школе, а также существует универсальный метод делимости. чисел. Метод назван в честь его первооткрывателя Блеза Паскаля - признак Паскаля. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. Этот метод предполагает, что нужно составить некоторую комбинацию из цифр исходного числа, а затем проверить деление.

Признак Паскаля состоит в следующем: натуральное число разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число  b, делится на это число. 

Например 2814 делится на 7, т.к. 2·6 + 8·2 + 1·3 +4 = 35,35:7=5                            

(где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7,3 - остаток от деления 10 на 7).

1.3. Изучение признаков делимости.

Если при решении задачи надо выполнить действия сложения или умножения, то мы не затрудняемся над этим, главное – уметь складывать и умножать. Иначе обстоит дело с действием деления, оно далеко не всегда выполняется нацело. На практике возникает необходимость, не выполняя деления, предсказать -  делится  число нацело или нет. Вот почему в математике особое внимание уделяется делимости чисел, исследуются условия делимости, выводятся определенные правила и признаки.

           Говорят что целое число a делится нацело (или просто делится) на целое число b, если результатом деления a на b является целое число. Также в таком случае говорят, что b делит или является делителем a, а число a является кратным b и пишут b|a.

Например, числа 1, 2, 3, 6 являются делителями числа 6, и можно написать 1|6 или 3|6. Можно также сказать, что 6 кратно числам 1, 2, 3, 6.

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое нацело, можно просто разделить первое число на второе. Если при делении остатка не будет, значит, числа делятся нацело. Если же при делении получится остаток,  не равный нулю, значит, эти числа нацело не делятся. Можно ли, не производя самого деления, установить, делится ли одно число на другое нацело?

Можно, так как делимость одних чисел связана с делимостью других. Поэтому надо найти такие свойства делимости, при помощи которых было бы возможно, не производя деления, установить, является ли данное число кратным другому.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Говоря о делении мы всегда будем предполагать делитель отличный от нуля.

Признак делимости на 2. Число a делится на 2 тогда и только тогда, когда число a – четное, то есть когда его запись заканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 5. Число a делится на 5 тогда и только тогда, когда последней цифрой в его записи является 0 или 5.

Признак делимости на 10. Число a делится на 10 тогда и только тогда, когда последней цифрой в его записи является 0.

Признак делимости на 3 (на 9). Число a делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма цифр в его записи делится на 3 (на 9).

Признак делимости на 4 (на 25). Число a делится на 4 (на 25) тогда и только тогда, когда на 4 (на 25) делится число, выраженное двумя последними цифрами числа a.

 Приведу примеры:

1)Число 874 делится на 2, так как последняя цифра 4 – четная.

Число 911 не делится на 2, так как 1 – нечетная цифра.

Число 1560 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

2) Число 11595 делится на 5, так как число оканчивается цифрой 5.

Число 2670 делится на 5, так как число оканчивается 0.

3) Числа 360,5700,= делятся на 10,так как оканчиваются нулями.

4)Число 5743827 делится на 3 и 9, поскольку 5 + 7 + 4 + 3 + 8 + 2 + 7 = 36, 36 делится на 3 и  9;

5)Число 17582 не делится на 4, поскольку число 82 не делится на 4; число 695036 делится на 4, поскольку число 36 делится на 4;

Число 37875 делится на 25, поскольку число 75 делится на 25.

Я обратил внимание, что признаки делимости  можно разбить на три группы:

- делимость по последним цифрам числа;

- делимость по сумме цифр числа;

- делимость на сомножители  составных чисел.

 Поскольку 10, 102, …, 10n делятся на 2, 5 и 10 без остатка (==…===0), то по признаку Паскаля  r n + +...+ r2 + + a0 = 0 и делимость числа а на 2 (5) определяется последней цифрой в записи числа а.

Признак делимости на 7.

Признак 1: число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Пример:

Число 182 делится на 7, так как 18*3+2=56

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Пример:

Число 488908 делится на 7, так как |488 - 908|=|-420|=420 делится на 7.

Признак делимости на 8.

Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Пример: Число 768 делится на 8, так как 7*4+2*6=28+12=40

Признак делимости на 11.

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции(начиная с единиц), и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Пример: Число 7645 делится на 11, так как |(7+4) – (6+5)|=|11 – 11|=0 делится на 11.Число 46849 делится на 11, так как |(4+8+9) – (6+4)| = |21-10| = 11  делится на 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Пример: Число 279609 делится на 11, так как 27+96+109 = 132, 01 + 32 = 33 делится на 11.

 Что касается признаков делимости  на составные числа, то

они строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Правила делимости чисел:

•        Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

•        Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, когда оно делится и на 2, и на 3

Пример:

 Число 9384 делится на 6 так, как оно делится на 2 (оканчивается четной цифрой) и делится на 3 (сумма  цифр числа 9+3+8+4=24, 2+4=6 делится на 3)

Число 2214 делится на 6 так, как 8*4+4=36 делится на 6.

Признаки делимости на 12.

1 признак: число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4.

Пример:

Число 624 делится на 12, так как оно делится на 3 (сумма цифр 6 + 2 + 4 = 12) и двузначное число 24 делится на 4.

2 признак: число делится на 12, когда разность  удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 12.

Пример:

Число 504 делится на 12, так как 50*2 – 4 = 96.

Признак делимости на 14.

Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

Пример:

Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15.

Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5.

Пример:

Число 1020 делится на 15, так как сумма всех цифр 1+ 2 = 3 делится на 3 и последняя цифра 0.

Признак делимости на  18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Пример:

Число 414  делится на 18,так как последняя цифра 4 четная и сумма цифр    4 + 1 + 4 = 9 делится на 9.

1.4 Свойства делимости чисел

1. 0 делится на любое ненулевое число. Получится 0 – целое число.

2. Единица является делителем любого числа.

3. Любое ненулевое число является своим делителем.

4. Если a|b, то  a|(-b), (-a)|b, (-a)|(-b).

5. Если a|b, b|c, то a|c.

Рассмотрю свойства делимости суммы, разности и произведения чисел

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли сумма этих чисел на 3?

180 + 210 = 10∙18 + 10 ∙21 = 10∙ (18 + 21) = 10∙39

39 делится на 3. А это значит, что сумма чисел 180 и 210 делится на 3.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли разность этих чисел на 3?

210 - 180 = 10∙21 - 10 ∙18 = 10∙ (21 -18) = 10∙3

Значит, разность 210 и 180 делится на 3.

Делимость произведения.

 Если в произведении нескольких чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число.

Например, известно, что число 147 делится на 49. А 49 делится на 7. Делится ли 147 на 7?

147 = 49∙3 = (7∙7) ∙3 = 7∙(7∙3) = 7 ∙ 21

Полученное равенство показывает, что число 147 делится на 7.

1.5 Деление с остатком

Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел.

1. Деление натурального числа а на натуральное число k определяется равенством:    а=qk+r , где а, q, k, r– натуральные числа.

2. Деление целого числа а на натуральное число n определяется равенством:  а=qn+r , где

 а, q – целые, n – натуральное, r –целое неотрицательное.    

Глава 2. Результаты и обсуждения

2.1. Анализ результатов письменной работы  учащихся

Я предложила учащимся 8 класса выполнить следующую работу. Кроме признаков делимости на 2,3,5,9,10, которые изучаются в школьном курсе математики, в задания включила признаки делимости на 4,6,7,8..

Работу выполняли 36 обучающихся.

По результатам  работы , я сделала вывод, что  признаки делимости чисел , изучаемые в курсе математики 6 ого класса на 2,3,5,9,10 , большинство учащихся знают, а значит могут применять их  при выполнении заданий. Если делимость на 6 можно рассмотреть как деление на сомножители составного числа (6= 2 * 3, признаки делимости на 2 и 3 ), то увидеть делится ли число на 7,8 достаточно сложно ,если число в своем составе имеет, например, более трех разрядов. Поэтому % выполнения заданий 2(а),2(е) небольшой.

2.2 Применение признаков делимости чисел при решении задач

Я рассмотрела ряд задач , для решения которых мне помог, изученный мной материал по делимости чисел.

Задача 1. Не производя действий и пользуясь признаками делимости, выяснить, будет ли делиться на 4, 5, 9 и 18 произведение 24· 36· 53.

Решение.

В произведении множитель  24 делится на  4, следовательно, и произведение делится на 4. Очевидно, что произведение данных числе не будет оканчиваться ни 0, ни 5, следовательно, произведение не будет делиться на 5.  В произведении  множитель 36 делится на 9, значит и произведение делится на 9. В произведении множитель 36 делится на 18, следовательно, и произведение делится на 18.

Задача2. Три цифры пятизначного числа – четверки. Найдите это число, зная, что оно делится без остатка на 315.

Решение.

Так как 315= 5 · 7 · 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464 такого нет, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415. Оно делится и на 5,и на 7, и на 9.

Ответ: 44415.

Задача3. Дано пятизначное натуральное число 37*86, в котором неизвестна средняя цифра (обозначена звездочкой). Какую цифру нужно вставить вместо звездочки, чтобы это число нацело делилось на 11?

 Решение: принимая недостающую цифру за х, составим алгебраическую        сумму цифр числа 6-8+х-7+3 = х-6. Таким образом, х=6.

Задача 4. К числу 20242024 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 36.

Решение: Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Это (3;8)

Задача 5. Докажите, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Из трёх последовательных натуральных чисел (a-1)a(a+1) как минимум одно чётное (делится на 2), а другое обязательно кратно 3. Результат произведения будет делиться и на 2, и на 3, а значит, будет делиться и на 6.

Аналогично можно решить следующую задачу:

Задача 6. Докажите, что при любом натуральном а число а3+29а делится на 6.

Решение : а3+29а = а3-а+30а = а(а2-1)+30а = (а-1)а(а+1)+30а. Первое слагаемое делится на 6 (см. предыдущую задачу), второе слагаемое делится на 6. Значит и сумма делится на 6.

Задача 7. Предположим, вы купили в магазине 3 ручки, 6 простых карандашей и 9  одинаковых тетрадей, а продавец вам говорит:  «С вас за покупку 200 рублей».

Даже не зная точной цены покупки, можно сразу понять, что продавец ошибся. Вовсе не потому, что в наше время товар столько не может стоить, а потому, что  итоговая стоимость покупки обязательно должна быть кратна 3 (так как число 3 НОД чисел 3, 6, 9), но 200 рублей (20000 копеек) на 3 не делится.

Задача 8. Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?

Решение:

Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом, делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7*8*9 = 504.

Ответ: 504

            Задача 9. Найдите самое маленькое натуральное число, которое делится на 2, но не делится на 5, а после переноса последней цифры в начало результат делится на 5, но не делится на 2.

Решение:

 Попробую найти удовлетворяющее условию двузначное число. Посмотрю на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на 5, но не делился на 2, число должно оканчиваться на 5. Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка. Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на 2, но при этом не на 0, чтобы не делиться на 5. Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка. И действительно, число 52 подходит: оно делится на 2, но не делится на 5, а после переноса результат, то есть число 25, делится на 5, но не делится на 2.Это самое маленькое подходящее число, так как я выяснила, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа 50 и 51 не подходят, а следующее по величине число — 52 — как раз является  ответом.

Ответ: 52

Задача 10. У гражданина   К. на счете в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму гражданин К. может снять со счета, если других денег у него нет?

Решение

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, гражданин К. сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, гражданин К. снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате на счету останется 2 доллара, и у него станет 498 долларов.

Задача 11. Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение.

Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.

Ответ: 17.

Задача 12. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача 13. Определите, не выполняя действий, делиться ли а)  − на 11; б)  +  на 2500; в)  + + + . . . +  на 83.

Решение. а) Делится:  −  = (18−7)(18+7) = 11·25 делится на 11.

б) Делится:  +  = (45 + 55)( − 45 · 55 +  ). Первая скобка равна 100, вторая делится на  = 25.

 в) Делится: разобьём слагаемые на пары и докажем, что сумма в каждой паре делится на 83. Например,  +  делится на 83,  +  делится на 83.

Задача 14 Найти последнюю цифру числа а, если: 

. . Оканчивается на цифру 8

Задача 15. Найдите остаток от деления на 10.

Решение. Остатком от деления на 10 будет являться последняя цифра суммы. Для того, чтобы найти последнюю цифру суммы, найду последние цифры каждого слагаемого.

Числа, являющиеся натуральными степенями двойки, оканчиваются на 2, 4, 8 и 6. Если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 1, то степень двойки оканчивается на 2, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 2  — степень двойки оканчивается на 4, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 3  — степень двойки оканчивается на 8, и если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 0  — степень двойки оканчивается на 6. Число 187 при делении на 4 дает в остатке 3, значит, число 2187 оканчивается цифрой 8.

Числа, являющиеся натуральными степенями тройки, оканчиваются на 3, 9, 7 и 1. Если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 1, то степень тройки оканчивается на 3, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 2  — степень тройки оканчивается на 9, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 3  — степень тройки оканчивается на 7, и если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 0  — степень тройки оканчивается на 1. Число 34 при делении на 4 дает в остатке 2, значит, число 334 оканчивается цифрой 9.

Числа, являющиеся натуральными степенями семерки, оканчиваются на 7, 9, 3 и 1. Если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 1, то степень числа 7 оканчивается на 7, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 2  — степень числа 7 оканчивается на 9, если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 3  — степень числа 7 оканчивается на 3, и если показатель степени при делении на 4 дает в остатке 0  — степень числа 7 оканчивается на 1. Число 257 при делении на 4 дает в остатке 1, значит, число 7257 оканчивается цифрой 7.

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы то есть 4.

Ответ: 4

Задача 16. Доказать, что число a =-делится на 31.

Решение : так как =,то а=- =()=31·,откуда следует, что а делится на 31.

Задача 17. Число a кратно 3. Может ли остаток от деления числа a на 12 быть равным 2?

Решение. Предположим, что может. Тогда число a можно записать в виде 3x и в виде 12y + 2. Приравнивая эти величины и перенося неизвестные влево, получим 3x − − 12y = 2. Заметим, что левая часть равенства делится на 3, а правая — нет. Значит, равенство невозможно. Следовательно, остаток от деления числа a на 12 не равен 2.

Задача 18. При помощи признака делимости Паскаля определите значение истинности высказывания:

а) «число 2592 делится на 8»; б) «число 1234 делится на 7».

Решение. а)=125×8+0;   =12×8+4;   10=1×8+2;   2×0+5×4+9×2+2=40;

40 : 8. (остаток от деления 1000 на 8 ест число 0, при делении 100 на 8 остаток 4,а при делении 10 на 8 остаток 2)

б)  =142×7+6; ==14×7+2; 10=1×7+3; 1×6+2×2+3×3+4=23; 23 не делится на 7.  (остаток от деления 1000 на 7 есть число 6, при делении 100 на 7 остаток 2,а при делении 10 на 7 остаток 3)

Ответ: а) число 2592 делится на 8 .  б) число 1234 не делится на 7.

Задача 19.

  Пусть натуральное число а не делится на 3. Доказать, что число а²-1 делится на 3. а=3n+2

Решение:

а²-1=(3n+2)²-1=9n²+12n+4–1==9n²+12n+3=3(3n²+4n+1) делится на 3.

Разберу задачу из базового уровня ЕГЭ

Задача 20.

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения

1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.

2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.

3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).

4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.

5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.

Решение:

Поскольку по условию произведение всех цифр кратно 15, то оно кратно 5 и 3.

Кратность 5 означает, что последней цифрой числа может быть только 0 или 5. Но 0 в виде последней цифры означал бы, что произведение всех 4-х цифр стало бы равным 0; а это противоречит условию. Тогда последняя цифра искомого числа равна 5.

Тогда получим: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Меньше 5 произведение таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Согласно признаку делимости на 3, выбираем из этих наборов такой, чтобы сумма его цифр плюс 5 делилась на 3:

1+1+1+5=8 – не подходит;

1+1+3+5=10 – не подходит;

1+2+2+5=10 – не подходит

1+1+2+5=9 – подходит.

Составляю комбинации из цифр 1,1,2,5.

Тогда условию задачи соответствуют числа: 1125, 1215, 2115.

Ответ: 1125, 1215, 2115

Выводы

В результате выполнения данной работы я пополнила свои знания по предмету. Узнала, что вопросы делимости одних целых чисел на другие рассматриваются в разделе математики под названием «Теория чисел». Кроме известных мне признаков из курса математики 5-6 класса, на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости чисел. Поняла, что в некоторых случаях без них просто невозможно обойтись. В своей работе я разобрала интересные задачи, в которых знание теории по данной теме помогла мне быстро найти правильное решение. Я считаю, что, полученные мною знания, смогу использовать в своей учебной деятельности,  применять делимость чисел  при решении заданий повышенной сложности, в том числе олимпиадных задач, а также применять полученные навыки в реальной ситуации.      

В процессе выполнения работы была достигнута поставленная цель - сформировать навыки   использования основных понятий делимости чисел при решении задач.

 Решены, поставленные в начале исследования задачи.

1.Изучить факты истории математики о делимости чисел.

2.Изучить признаки делимости на натуральные числа 4,6,7,8,11,12,15,18,25

3.Изучить свойства делимости чисел. 

4. Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также формулировать признаки делимости на любое натуральное число.

5.Провести и проанализировать работу на применение признаков делимости на 2,3,5,9,10 , изучаемые в школьном курсе математики среди учащихся 8 классов.

6.Исследовать применение признаков делимости при решении задач.

Могу с уверенностью сказать, что знание теория делимости чисел способствуют эффективному и рациональному решению задач. Гипотеза подтверждена.

Список литературы

1. В. Г. Болтянский, Г. Г. Левитас. Делимость чисел и простые числа. // В книге: Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7–8 классов. — М.: Просвещение, 1974.

2.Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости Математика,1999.-№5.-С.9.

         3.Математические олимпиады: 906 самых интересных задач и примеров с решениями. Р.И.Довбыш, Л.Л,Потемкина. Ростов н/Д, ООО «Феникс», 2008.

         4. Математические олимпиады: сборник задач. Сост.Ульзутуева С.А. Чита: ЧИПКРО, 2009.

         5.Математика: алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. М: «Мнемозина», 2015

         6. Сгибнев А. И.  Делимость и простые числа.— 3-е изд., испр.— М.: МЦНМО, 2015.— 112 с.

         7. Интернет ресурсы:

 Делимость — Википедия (wikipedia.org)

 Признаки делимости — Википедия (wikipedia.org)