Олимпиада 5 - 11 класс
олимпиадные задания (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Задания олимпиады 5 класс

Решение. Уберем с обеих чашек весов по одному яблоку и по одной груше. В этом случае весы останутся в положении равновесия. На левой чашке весов будет лежать двадцать одно яблоко, а на правой – двадцать одна груша. Таким образом, масса груши равна массе яблока.

Решение: . Ответ: 47; 74.

Решение:; .

Ответ: 20 см и 12 см.

  Решение: Ответ: 2; 6; 7; 8.

Решение: . Ответ: через 2 часа.

Задания олимпиады 6 класс

Решение:

 1 + (2 + 3 + 4) . (5 + 6) = 100. Есть и другие решения

Обед

                       Борщ                     Гороховый суп                          Щи

               Рыба        Котлета         Рыба            Котлета           Рыба         Котлета    

       Морс    Чай  Морс   Чай   Морс  Чай   Морс  Чай   Морс   Чай  Морс   Чай

Ответ: 12 вариантов

Решение: Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин

Решение: Малыш облизывает сам себя в 6 раз (30мин/5мин=6) медленнее, чем его облизывает кот Тоша. Тоша облизывает себя за 20 минут. Следовательно, Малыш оближет кота Тошу за 20мин · 6=120мин=2часа.

Решение: Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет  4•5•6 Мышек. Бабка заменяет  3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет  2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется:

 (2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.

Задания олимпиады 7 класс

Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

Решение: Джон сказал: "Я не виновен". По условию задачи два человека являются невиновными: лжец и шутник. Джон не может быть лжецом, так как лжец, в данном случае, сказал бы, что он виновет. Джон не может быть и правдолюбцем, так правдолюбец виновен, и он не сможет сказать неправду. Остается, что Джон шутник, при этом он говорит правду, так как он, действительно невиновен. Джек подтверждает невиновность шутника Джона, т.е. Джек говорит правду, поэтому он не лжец, а правдолюбец, Джек и угнал машину. Джо - лжец и как положено лжецу, он всех обманывает, говоря, что он угнал машину.

Решение: Свежий арбуз на 99% процентов состотит из жидкости и на 1% - из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое. Следовательно масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.

Решение: В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9. Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62

Решение: раскрасим доску в 2 цвета. Черных клеток-13, а белых 12. При переползании с черных клеток жуки переползали на  белые и наоборот. Так как  белых клеток 12, а черных на одну больше и все жуки с белых переползают на черные, то одна черная клетка останется.

Ответ : останется 1 черная клетка.

Решение олимпиады 8 класс

Найдите число, 25% которого составляют:

Число, которое составляет 25 % = 3, значит искомое число 3: 0,25=12

Ответ: 12

Из 40 тонн железной руды выплавляют 20 тонн стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение: 100 – 6 = 94 % - чистого вещества

20*0,94=18,8 (т) – чистого вещества

18,8 : 40 = 0,47 = 47% чистого вещества

100 – 47 = 53 % примесей

Ответ: 53% примесей в руде

Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите угол АМС, если угол А равен 70°, угол С равен 80°.

Решение: Пусть АД и СК – высоты  ∆АВС. Рассмотрим  ∆ АДС (<Д=90° - так как АД – высота), <С=80°, значит <САД=10°. Рассмотрим  ∆ АКС (<К=90° - так как СК – высота), <А=70°, значит <АСК=20°. Рассмотрим  ∆ АМС (<А=10° , <С=20°, значит <АМС=150°.

Ответ: <АМС=150°.

Постройте график функции , и найдите по графику значения переменной Х при которой  ≤

Решение:  ,  х ≠ 2. График прямая, проходящая через точки (0; –2) и (–2;0),  и Х ≠ 2

у ≤ 0 при х ≥ – 2, х ≠ 2

Ответ: х [– 2; 2); (2; + )

Перед соревнованиями по плаванию каждого из четырех участников Андрея, Бориса, Виктора, и Григория спросили, на какое место он рассчитывает. Андрей сказал: «Я буду первым», Борис сказал: «Я не буду последним», Виктор сказал: «Я не буду ни первым, ни последним» и Григорий сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся?

Решение: Составим таблицу, в которой знаком «плюс» укажем предполагаемые результаты.

Предположим, что ошибся пловец Андрей. Тогда он мог занять второе или третье место (четвертое место занял пловец Григорий, который если ошибся Андрей, правильно предсказал свой результат: по условию ошибся только один пловец). В этом случае возможны следующие варианты распределения мест:

 Или

Если ошибся пловец Борис (занял 4 место), то ошибся и пловец Григорий, что противоречит условию задачи. Значит, пловец Борис НЕ ошибся.

Если ошибся пловец Виктор, тогда он должен быть или первым или последним. В таком случае ошибся бы еще один пловец – Андрей или Григорий, что противоречит условию задачи. Значит, пловец Виктор НЕ ошибся.

Если ошибся пловец Григорий, то ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял бы никто. Так как по условию задачи мог ошибиться только один пловец, то Григорий НЕ ошибся.

Ответ: Ошибся пловец Андрей

Два брата ходят вместе из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды, через 15 минут после выхода из школы, первый побежал в школу, и, добежав до нее, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй брат  продолжал идти домой в два раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 минут позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Решение:  Пусть первоначальная скорость братьев Х (м/мин), а У (м) – отрезок пути, который прошел второй брат со скоростью 0,5Х (м/мин). На этот отрезок пути он затратил У: (0,5Х) =  (мин), что по условию больше обычно затрачиваемого времени (со скоростью Х), на 6 мин. Составим уравнение: , значит , У = 6Х.

Первый брат за это же время () пробежал путь

15Х + 15Х + У = 30Х + У = 30Х + 6Х = 36Х. Скорость бега его равна

36Х : 12 = 3Х, то есть в 3 раза больше обычной скорости братьев.

Ответ: в три раза

Решение задач 9 класс:

Задача № 1 :

 Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Задача № 3 :

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний. Но это значит, что ?АОD и ?ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ?АОВ = ?СОD, откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 5

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Решение олимпиады, 10 класс

1.(х-2)(х-3)(х+4)(х+5)=1320

(х2+2х-8)(х2+2х-15)=1320     Пусть х2+2х=t, тогда (t-8)(t-15)=1320, t1=48, t2=-25.

Х2+2х=48 или Х2+2х=-25

Ответ: -8 и 6

2.а1=145, d=-6,  аn=145-(n-1)6=151-6n

Sn = (296-6n)n:2, найдем n, при котором сумма будет наибольшей. Рассмотрим квадратичную функцию у=-3n2-148n, n0=24⅔, так как n- натуральное число, то n=25.

S25=1825

3.

4.Предположим, что ДУБ=102, тогда РОЩА=9486 и количество дубов равно 93, а если ДУБ=103, то РОЩА=9785, тогда количество дубов равно 95.

5.Рассмотрим ∆ОСМ, из которого имеем ОМ:sinОСМ=СО:sinСМО, а из ∆ОДМ имеемОМ:sinОДМ=ОД:sin(180-∟ДМВ), т.к СО=ОД=Rи sinОСМ=sin(180-∟ДМВ), то sinОСМ=sinД, поэтому угол ОСМ равен углу Д.

Из ∆ОСМ по теореме косинусов найдем СМ=2(√2+√7), cos ОСМ=√7/3 и sinОКС=√7/3.

Площадь четырехугольника СОМД равна 1/2 СМ*ОД sin ОКС=2√14+14

Олимпиада – 2015 11 класс

 Решение:

1. Решение.

Ответ: 0 <x< 1.

2Пусть вес Обломовах кг тогда весной- 0,75х, летом – 0,9х, осенью-0,81х и зимой-0,972х кг.    Ответ: похудел.

2. Решение. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

 (7 баллов) Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 25 см2.

Решение. См. рисунок. ,  где  . Откуда получаем

. Значит, .

Ответ: 5.

3. Ответ: 24.

Решение. Пусть в турнире участвовало n шахматистов. Тогда каждый из них сыграл ровно n – 1 партий. Поскольку все партии кроме одной каждый шахматист завершил вничью, то каждый из них сделал n – 2 ничьи. Тогда общее число ничейных партий равно , так как в каждой партии участвуют два шахматиста. С другой стороны, общее число ничьих равно 264. Таким образом, имеем  уравнение  , или . Решая полученное квадратичное уравнение, находим два значения: . Последнее значение не подходит, так как  - натуральное.

Комментарий. Приведен правильный ответ и доказано, что других вариантов нет – 7 баллов.