Главные вкладки

    Урок-исследование: "Признак перпендикулярности прямой и плоскости"
    методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

    Герасимова Галина Романовна

    конспект урока

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon Urok_issledovaniepolnaya.doc84 КБ

    Предварительный просмотр:

    Урок исследование

    Перпендикулярность прямой и плоскости.

    Цель урока: Показать множественность подходов к доказательству теоремы; совершенствовать исследовательские умения и навыки учащихся.

    Подготовка к уроку: ученики-консультанты дома готовят по дополнительной литературе семь доказательств  признака перпендикулярности прямой и плоскости.

    Ход урока:                                            I

    Вступительное слово учителя:

               Сегодняшний урок – урок исследования. Всем вместе предстоит в процессе решения задач и ответов на проблемные вопросы, подойти к формулировке теоремы перпендикулярности прямой и плоскости и познакомиться с семью вариантами доказательств этой теоремы с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный из них, обстоятельно мотивировать своё мнение.

    1.Подготовка к формулировке теоремы:

    Повторение определения перпендикуляра к плоскости, анализ практического применения данного понятия посредством решения задач.

    Задача 1.

    Даны: Плоскость , точки А и В в этой плоскости; АМ – прямая перпендикулярная этой плоскости. Определить вид треугольника АМВ.

    Задачи по вариантам.

    I

    Дан плоский четырёхугольник АВСD. АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Какие из треугольников ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM – прямоугольные.

    II

    ABCD – квадрат. Прямая ВК перпендикулярна плоскости квадрата. Какие из треугольников ABD, BCD, ABK, BDK, BCK – прямоугольные.

            Консультанты собирают листочки и проверяют решения, а учитель подводит учащихся к выводу:

               1.Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная к плоскости,

    перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости?

               2.Когда же прямая перпендикулярна плоскости?

               3.Сколько прямых лежат на плоскости? Можно ли их посчитать?

    Далее учитель создаёт проблемную ситуацию, в основе которой – поиск ответа на вопрос: Сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы можно было сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

      Ученик – консультант на модели из спиц показывает различные варианты: в плоскости две прямые в плоскости, прямая перпендикулярна одной из них. Вывод: прямая не перпендикулярна плоскости. Следующий вариант модели: прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, и, оказывается, перпендикулярна плоскости. Далее для закрепления, можно взять модель из трёх прямых и т. д.

    По завершению работы с моделями перед учащимися ставится очередной проблемный    вопрос: сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

              Исследовав ситуацию перпендикулярности прямой и плоскости, мы в плотную подошли к теореме, которая даст возможность выяснить на чертежах, на моделях и в практика перпендикулярность к прямой и плоскости. Попробуем сформулировать теорему.

              Ребята предлагают свои варианты формулировки теоремы. Учитель выделяет наиболее рациональнее и предлагает прослушать различные варианты  формулировки и доказательства рассматриваемой теоремы, которые ученик разыскали дома в рекомендованной литературе.

    2. Доказательство теоремы:

    I вариант автор А.П. Киселев

    P

    A1

    C

    B

    A

    Теорема: Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна каким - нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой проведённой в этой плоскости через ту же точку пересечения.

                                                 O

                                                    

                                                             D

    Доказательство: Отложим на прямой AA1  произвольной длины, но равные отрезки   OA и OA1  и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекла бы три прямые исходящие из точки О в точках C, D, и B  .Эти точки соединим с точками A и A1; мы получим несколько треугольников.∆ACB= ∆A1CB, так как у них BC - общая, AC=A1C -  как наклонные к прямой AA1, одинаково удаленые от основания О перпендикуляра ОС. По той же причине AB=A1B .Из равенства этих треугольников следует, что ∟ABC=∟A1BC.

      ∆ABD=∆A1BD по первому признаку равенства треугольников: BD - общая, AB=A1B по доказанному, ∟ABC= ∟A1BC .Из равенства этих треугольников следует, что AD=A1D.

    ∆АОD=∆A1OD по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует, что   AOD=  A1OD; и так как эти углы смежные, то AA1  перпендикулярна  OD.

    II вариант. Автор М.И.Башмаков

    Теорема: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости.

                                A  a

    O

         B

    b

    C

         c

    p

    P

     

    Первый случай, когда все прямые a, b, c проходят через точку О – точку пересечения прямой с плоскостью α. Отметим на прямой р вектор OP, на прямой с вектор OC и докажем, что произведение векторов OP и OC равно 0.

                                                                               Разложим вектор OC по векторам OA и OB, расположенные соответственно на прямых a и b; тогда (речь идет о векторах) OC=OA+OB. Значит:

    OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

    Но OP ┴ OA, OP ┴ OB; поэтому OP∙OA=0, OP∙OB=0. Отсюда OP∙OC=0; значит OP ┴ OC и р ┴ с. Но с – любая прямая плоскости; значит, р ┴ α

    Второй случай, когда прямые a, b, c не проходят через точку О. Проведем через точку О прямые a1||a; b1||b; c1||c. По условию p ┴ а, p ┴ b, значит p ┴ а1, p ┴ b1, и, по доказанному выше, p ┴ с1, а поэтому p ┴ с. Прямая с – любая прямая плоскости α; значит прямая р перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости α, а поэтому p ┴ α.

    III вариант. Автор А. В. Погорелов.

    Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

    Доказательство можно взять из учебника А.В. Погорелов «Геометрия 7-11»

                                                        А1

                              α               A            X               B

                                    C                                 b

                            c                        x

                                    

                                            А2

                                            

    IV вариант Э.Е. Лежандр

    Теорема: Прямая перпендикулярная двум прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна самой плоскости.                              O

                                                 C

    А

    S

    В

    Дано:  SOOA, SOOB, OA C .,OB C

    Доказать: SO

    Доказательство:

    1. Медиану треугольника можно выразить через стороны

    В

    А

    С

    М

                            4AM2=2(AB2+AC2)-BC2

    2 Через точку С проведём прямую так, чтобы отрезок АВ, заключённый между сторонами угла АОВ, разделился бы в этой точке пополам, то есть АС=ВС. SC – медиана треугольника АSВ: 4SС2=2(SА2+SВ2)-АВ2. ОС – медиана треугольника АОВ: 4ОВ2=2(АО2+ОВ2)-АВ2. Почленно вычитая эти равенства, получим: 4(SС2-ОС2)=2((SА2-АО2)+(SВ2-ОВ2)). Выражение в скобках в правой части равенства можно заменить по т. Пифагора. Для треугольника АОS: SО2=SА2-ОА2. Для треугольника ВОS: SО2=SВ2-ОВ2.

    Отсюда: 4(SС2-ОС2)=2(SО2+SО2), 4(SС2-ОС2)=4SО2, SС2-ОС2=SО2, откуда SС2=SО2+ОС2. Согласно обратной теоремы Пифагора, SООС. ОС – произвольная прямая, принадлежащая плоскости , значит SО.

                    

                            V вариант автор О.К. Яковлев.

    Теорема: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.

    M

    D1

     L

    A

     0

    C

    Докажем, что прямая l перпендикулярна любой третьей прямой в плоскости

    1. Построение: Прямые m, n, g перенесем параллельно в точку О; ОА=ОС=ОD=ОВ, отсюда ABCD – прямоугольник, соединим  A, B, C, D с некоторой точкой М.
    2. Треугольник АМD равен ВМС по трем сторонам, отсюда угол1 равен углу2. Треугольник МDL равен треугольнику МКВ по двум сторонам и углу между ними. МD=МВ, LD=BK – центрально симметричны; следовательно MK=LM.
    3.  Треугольник MLK – равнобедренный, ОМ – медиана, значит, и высота. Получили ОМ g, отсюда l  g, следовательно l  

    VI вариант автор И.В. Фетисов.

    Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярно самой плоскости.

    l

     l1

    m

    n

    Р1

     О

    Р

    Доказательство основано на симметрии относительно оси плоскости.

    1. Построение: l  l 1, m. O l 1, m n = O, OP=OP’ .
    2. Точки Р и Р’ – симметричны относительно оси m, также Р и Р’ – симметричны относительно оси n. Тогда ((mn)) – плоскость симметрии точек Р и Р’, следовательно, l 

                VII вариант автор Атанасян (разобрать самостоятельно по учебнику).

              3.Обсуждение различных вариантов доказательства теоремы. Учащиеся высказываю свои мнения о том, какое из доказательств, на их взгляд, является оптимальным и почему. Учитель разрешает выбрать для себя любой вариант и увязывает теорему с примерами из жизни: В технике часто встречается направление, перпендикулярное плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски; в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня и т.д. Особенно важно вертикальное направление, то есть направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости.

    Задача: ABCD – ромб, прямая ОК перпендикулярна диагоналям ромба.

    Доказать: ОК перпендикулярна плоскости ромба.

    Итог урока.

    Задание на дом: п17, №120, №129


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Урок геометрии по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей"

    конспект урока геометрии в 10 классе по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей"...

    Презентация по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

    Презентация по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости" соответствует теоритическому материалу, изучаемому в этом разделе стереометрии....

    Урок по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости. Решение задач "

    Представлена разработка урока в 10 классе, по геометрии к УМК: Геометрия для 10--11 кл., авторы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.. Это урок изучения нового материала с использова...

    Перпендикулярность прямых и плоскостей

    Итоговый урок - обобщение по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей", геометрия 10 класс. vПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИvПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯvТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХvПЕР...

    Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Презентация к уроку геометрии 10 класс

    Презентация к уроку геометрии 10 класс по теме  "Признак перпендикулярности прямой и плоскости". Доказательство признака, задачи на закрепление материала...

    Презентация по теме: "Перпендикулярность прямой и плоскости"

    Презентация по теме: "Перпендикулярность прямой и плоскости"....

    23. Интерактивный тест по теме: "Перпендикулярные прямые в пространстве. Перпендикулярность прямой и плоскости".

    Данный тест с автоматизированной проверкой ответа, может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо устано...