принцип кавальери
методическая разработка (геометрия, 10 класс) по теме
Использование принципа Кавальери обеспечивает изложение объёмов тел более упрощенным и легко воспринимаемым учащимися. Кроме того, технология укрупнения дидактических единиц позволяет с помощью данного принципа сразу вывести формулы объёмов для тел цилиндрической, конической конструкций и объёма шара.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 123.01 КБ |
Предварительный просмотр:
Вычисление объемов тел с помощью принципа Кавальери
Сайфутдинова Фирдауса Файзутдиновна, учитель математики МБОУ "Лицей №2 г. Мамадыш"
В отличие от учебника «Геометрия, 10-11» авторов Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др., где формулы объёмов пространственных тел выводятся с помощью определённого интеграла, в учебнике А.Г. Мордковича, И.М. Смирнова и др. «Математика,11» формулы для объёмов тел выводятся с помощью принципа Кавальери. Понятно, что интеграл является более тонким инструментом для исследования объёмов, чем принцип Кавальери. Тем не менее, использование принципа Кавальери обеспечивает изложение объёмов более упрощенным и легко воспринимаемым учащимися. Кроме того, технология укрупнения дидактических единиц позволяет с помощью данного принципа сразу вывести формулы объёмов для тел цилиндрической, конической конструкций и объёма шара. Исходя из опыта апробации учебника А.Г. Мордковича, И.М. Смирнова и др. «Математика,11» , хочу поделиться с некоторыми методическими находками при изучении главы " Объёмы тел". На этапе актуализации опорных знаний, предлагаю к четырём аксиомам объёма добавить принцип Кавальери, предложенный итальянским математиком Бонавентурой Кавальери (1598-1647) и названный впоследствии его именем. Он заключается в следующем:
Если при пересечении двух тел F и F1, плоскостями, параллельными одной и той же плос кости α, в сечении всегда получаются фигуры, площади которых находятся
в постоянном отношении λ (λ > 0): S = λS1 ,то объемы этих тел находятся в том же соотношении: V(F) = λV1 ( F1); или если при пересечении двух тел F и F1 плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры одинаковой площади, то объёмы исходных тел равны.
С помощью этого принципа вывести формулу для вычисления объема тел любой цилиндрической конструкции. Для этого разместим куб так, чтобы нижнее основание куба лежало в плоскости нижнего основания цилиндрической конструкции, а верхнее основание куба лежало в плоскости верхнего основания цилиндрической конструкции. Высота цилиндрической конструкции равна H – длине ребра куба. Любая плоскость, параллельная основанию куба, пересекает куб по квадрату площадью H², а цилиндрическую конструкцию по фигуре, равной основанию, площадью S. отношение этих площадей для любого сечения равно H2S, поэтому VкубаVцил.конст. = H2S или H3Vцил.конст. = H2S, откуда следует, что Vцил.конст. = HS.
Итак, Vцил. = R²H
Для получения объема конической конструкции, разобьем куб с ребром H на три равные пирамиды. Объем каждой из них равен H33.
В параллельных плоскостях разместим пирамиду с ребром основания H и произвольную коническую поверхность. Пусть плоскость α пересекает два тела на высоте h от вершин. Обозначим сечения конуса и пирамиды через S∝1, S∝2 соответственно. Так как отношения площадей подобных фигур относятся, как квадраты соответствующих сторон, то S∝2H2 =(hH)² и
S∝2 = (hH)²· H2, S∝1S = (hH)² и S∝1 = (hH)²·S. Мы видим, что отношение площадей двух сечений есть величина постоянная и не зависящая от выбора высоты секущей плоскости : S∝1S∝2 = H2S. Согласно принципу Кавальери 13VкубаVкон.конст. = H2S.
Выразим из последнего соотношения Vкон.конст. = 13HS.
Итак, Vкон. = 13R²H
Для получения объема шара, рассмотрим полушар с центром в О и радиусом R. Продолжим плоскость α ограничивающего этот полушар большого круга и поместим на эту плоскость основанием куб с ребрами, равными R. Если мы отделим от этого куба четырехугольную пирамиду BA1B1C1D1, имеющую вершиной вершину B куба, а основанием – верхнее основание последнего, то получим некоторое тело, которое будем обозначать через F1. Пересечем оба тела некоторой плоскостью ∝', параллельной плоскости α и отстоящей от α на расстоянии x (x
Итак, Vшара = 43R3.
Для закрепления выведенных формул в конце урока можно предложить практическую работу на вычисление объёмов тел цилиндрической, конической конструкций и объёма шара. Результаты вычислений можно оформить в виде следующей таблицы.
Тела | Конструкция | Формула вычисления объёма | Результаты вычисления |
Призма | цилиндрическая | V=S∙H | |
Цилиндр | цилиндрическая | V= R²H | |
Параллелипипед | цилиндрическая | V=S∙H | |
Пирамида | коническая | V=13 S∙H | |
Конус | коническая | V=13R²H | |
Шар | шаровая | V= 43R3 |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2010/09/17/picture-2163.jpg)
Принципы обучения иностранному языку
Работа содержит доклад и презентацию по теме "Принципы обучения иностранному языку"....
![](/sites/default/files/pictures/2012/01/30/picture-53602.jpg)
Принцип Кавальери
Использование принципа Кавальери обеспечивает изложение объёмов более упрощенным и легко воспринимаемым учащимися. Кроме того, технология укрупнения дидактических единиц позволяет с помощью данн...
![](/sites/default/files/pictures/2012/02/05/picture-56325.jpg)
Соответствие принципов РО Л.В. Занкова методам и принципам программы Д.Б. Кабалевского
В последнее время наряду с традиционным обучением появились новые методики развивающего обучения Несмотря на разность этих программ, они нацелены на достижение оп...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/22/picture-185863-1358873463.jpg)
Машиноведение 7 класс "Принцип образования челночного стежка. Принцип действия двигателя ткани"
Сокращенная презентация по машиноведению в 7 классе, в презентация содержит контрольные вопросы по материаловедению и машинным швам....
Принципы минимакса,вариативности и творчества как ведущие принципы организации обучения математики в старших классах.
В приложении показано изучение темы "Показательные уравнения" ....
Принцип наглядности в современной дидактике и методике русского языка. Средства реализации принципа наглядности
В современной дидактике утверждается более широкое понимание принципа наглядности как систематической опоры не только на конкретные предметы и их изображения, но и на модели....
Принцип наглядности в современной дидактике и методике русского языка. Средства реализации принципа наглядности
Формы обучения, методы и приемы обучения ориентированы не только на процесс усвоения учениками знаний, но и направлены на общее развитие личности ребенка, развитие его интеллектуальных и коммуникативн...