Главные вкладки

    Доклад на тему"Самообразование учащихся на уроках математики".
    материал по геометрии (8 класс) по теме

    В своём докладе я хотела отразить геометрический материал о вписанном угле, рассмотреть задачи на построение, задачи на построение,предоставить задачи для самостоятельного решения.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл pril1.rar27.57 КБ
    Файл pril1.rar27.57 КБ

    Предварительный просмотр:

    Доклад на тему:«Самообразование учащихся на уроках

          математики»  подготовила учитель математики                          

         МБОУ «СОШ № 2 г. Калининска Шпакова Е.Н.

    Приложение 1

    Тема:                 Вписанный угол

    Определение:         Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

                                            Таков, например, угол АВС.

                                            О вписанном угле принято говорить,                                                что он опирается на дугу, заключенную

                                            между его сторонами. Так угол АВС

                                            опирается на дугу АС или иногда

                                            обозначают АмС.

    Теорема:         Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.

      Дано:         окружность с центром О;      < АВС  –вписанный.

     Доказать:                < АВС =   дуги АС

     Доказательство:   при доказательстве теоремы рассмотрим три случая:                                                                                

    Следствие:

    О

    В

    А

            Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны между собой.  (потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить «α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в себя угол, равный «α»О

    В

    А

            Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90⁰ )

    Образцы решений.

    Задачи по теме: «Вписанный угол».

    № 1.                Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰.                Найдите  каждый из этих углов.

    В

                                            Дано:         окружность с центром Ох

                                            < АВС – вписанный2хх

    А

                                            <АОС – центральный                                        < АВС + < АОС = 90⁰.

    С

                                            Найти:         < АВС = ?,         <АОС         = ?                                        Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается.         < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30

    < АВС = х= 30⁰,   < АОС = 2×30 = 60⁰

    Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

    № 2                 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.

                    В                        Дано:        <АОС – центральный

    А

                                                            < АВС – вписанный f                                                        <АОС - <АВС = 30⁰                

    m        С                                        Найти:        < АВС = ?,         <АОС         = ?

                                                    Решение:         пусть         < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).         <АОС - <АВС = 30⁰          (по условию),  2х-х =30        , х=30

                                    < АВС = 30,         <АОС         = 2×30 = 60                                                                                                                 Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

    № 3                Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД,

    если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰

            m                        Дано:         окружность,  АВ, СД – хорды,

    А                        С                                М – точка пересечения хорд АВ и СД

    h                                                        < СДА = 40⁰,  < АВД = 80⁰

     Д                        В                Найти:         < САД = ?

                                            Решение:        < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается)

            U АмС = 2х <СДА,

            U АмС = 2х40 = 80,  <АмС= 80  <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается).

            U АпД = 2×<АВД,  U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160

            < САД = ½ U СВД,  < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ -  80 – 160) = 60;                  < САД = 60

            Ответ: < САД = 60⁰

    № 4         Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰.

    В

    Д

    С

    А

                                            Дано:         окружность, <АВС=50,         <АСД=80⁰.                                                                                                                                                         Найти:         < САД = ?

                                                       Решение:         <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

    U АмС = 2× <АВС,         U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰,         U АмС = 100⁰

    <АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

    U АВД = 2× < АСД

    U АВД = 2× 80 = 160⁰,  U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный  угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

    <САД = ½ (360⁰ -  U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ -  160⁰ ) =50⁰

    Ответ: < САД = 50⁰

    № 5                доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

    С

    А

    Дано:         ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность        О

    Доказать:         О – центр окружностиВ

    Доказательство:        все углы, опирающиесяна диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине  гипотенузы АВ

    В

    № 6                сторона треугольника  равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус        описанной окружости.А

    Дано:        ∆АВС вписан в окружность, О

    в=АС=10 см, < АВС  = 150⁰С

    Найти:         ОС = R = ?Решение:  =  =  = 2 R

    (По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в,        R =  , R =  =  =  =  =5×2=10,  R = 10 cм.

    Ответ: R = 10 cм.

    № 7                 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см.

                            В                Дано:         окружность с центром О,

    А                                                        А, В, С – принадлежат окружности

                                                            < АВС = 30⁰,   2R = 10 см.

                    С                        Найти:        АС=?

                    С

    Решение:         =  =  = 2 R

    (По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5

    Ответ:  АС = 5 cм.

    № 8                 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.

    С

    Дано:         АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность,

    Д

    В

             < А: <В : <С = 4 : 3 : 5А

    Найти:        <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=?Решение:        < А + < С = 180⁰,         < В + < Д = 180⁰,        

    (т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х        < А + < С = < В + < Д,         < А + < С = 180⁰,          < А = 4 Х        <А= 80⁰        

    4 Х + 5 Х = 3Х +<Д                4 Х + 5 Х = 180⁰,           < В = 3 Х         <В = 60⁰

    < Д = 6 Х                        9 Х = 180⁰             <С = 5Х        <С = 100⁰

                                    Х = 20⁰                < Д = 6 Х        < Д = 120⁰

    Ответ:          <А= 80⁰,         <В = 60⁰,         <С = 100⁰,          < Д = 120⁰

    Д

    В

    № 9                В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения.        Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность.Е

    С

    Дано:         ∆ АВС, АЕ   ВС, СД   АВ,  О – точка пересечения СД и АВА

    Доказать:         Около ВДОЕ можно описать окружностьДоказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰

    < В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию)                                                                                                                                  < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180,         < Д + < Е = 180⁰,                                                                                                                                                         <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰,        < В + < О + 180⁰ =         360⁰,                 < В + < О = 180⁰        

    < В + < О = < Д + < Е

    В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных        углов        равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

    В

    № 10                Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.Е

    Д

    Дано:         ВДОЕ вписан в окружность        <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰        

    С

    А

                    Найти:         R = ?                Решение:        все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности.  2R = 10,  R = 5 см.

    Ответ: R = 5 см.

    ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

    По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ».

    № 1                 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в).

            а                                        Дано:  а=5 см, в = 3,5 см

            в                                        Построить:  прямоугольный треугольник  с гипотенузой «а» и катетом «в»

    С

    1. Построение и доказательство:Возьмем произвольную прямую MN.
    2. На этой прямой  возьмем произвольную точку А.

    N

    М

    На прямой MN от точки А отложим отрезок АВ = аO

    Разделим отрезок АВ пополам и отметим точку О.В

    А

    1. Радиусом ОА опишем полуокружность с центром в точке О.Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С.
    2. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ.

    ∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в».

    № 2                 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр.

    B

    C

    A

    D

    1.                                                         Дано:   точка А, АВ –луч                                                                                Построить:          АД     АВ                                                                                                Построение и доказательство:Проведем луч АВ
    2. Вне луча возьмем произвольную точку О
    3. Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С.
    4. Через точку С и точку О проведем луч со.
    5. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности
    6. Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол  А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр.  

            АД     АВ        

    C

    № 3                 Через данную точку провести к данной окружности касательную.B

    A

                                                    Дано:   окружность с центром ОO

                                                                    а ) С принадлежит окружности                                                                б) А лежит вне окружности                                                                                                                                                                Построить:  касательную к окружности, проходящую через данную точку.

                                                    Построение и доказательство:

    а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу.

    O

    B1

    A

    B

    б) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив         А с О делим                                                         АО пополам в точке О1 и с центром                                                                         в этой точке радиусом ОО1,                                                                         описываем        окружность через точку                                                                        В и В1, в которых эта окружность                                                                         пересекается с данной, проводим                                                                         прямые  АВ и АВ1. Эти прямые и                                                                         будут касательными, т.к. углы ОВА и                                                         ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр                                                                 прямые, следовательно: АВ, АВ1 –                                                                         касательные  к  окружности с                                                                         центром ОСледствие:                 две касательные, проведенные к окружности из точки                                 вне её, равны и образуют равные углы с прямой,                                         соединяющей  эту точку с центром.

                            ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза)

    Отсюда: АВ = АВ1,  < ВАО = <В1АО

    РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

    1 ступень.

    1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет  с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14')
    2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' )
    3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД.                 (ответ: 94⁰39'30'')
    4. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую  окружности.

    (ответ: 84⁰22'30'')

    1. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ?                                (ответ: 285⁰18')
    2. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?                                 (ответ: 137⁰34')
    3. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

                                            (ответ: 123⁰45';  56⁰15')         и

    1. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС.                (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
    2. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС.                  (ответ: 37⁰30')
    3. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.

     (ответ: 95⁰ и 120⁰)

    1. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

    (ответ: 52⁰30';  82⁰30)

    2 ступень

    1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
    2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
    3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
    4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = <  ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
    5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
    6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
    7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
    8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
    9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
    10.  Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.
    11.   АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А,  содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС.
    12.  С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД?
    13.  АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д)  пополам. Определить  < ДАВ.
    14. М  - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и

    ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что  < ВАС=62⁰17'.

    Дополнительный материал.

    E

    D

     C

    A

    Теорема:                 Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.Дано:        Круг;

    <АВС – угол, вершина которого внутри круга.

    Доказать:         <АВС = ( АС + ДЕ)

    Доказательство:  

    Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС  служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ.

    Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются.

    < АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали:  <АВС = ( АС + ДЕ)

    B

    C

    E

    D

    A

                                                    Теорема:                Угол, вершина которого                                                         лежит вне круга и стороны пересекаются с                                                        окружностью, измеряется полуразностью дуг                                                           (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами.                                                        Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне                                                круга.        Доказать:         <АВС = ( U АС  -  U ДЕ)                                                                                                        Доказательство:  

    Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним.

    Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

                    < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда

                    <АВС = <АДС  -  <ДАЕ , но

    <АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем:

    <АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ).

    Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ).

    Задачи

    (дополнительный материал)

    1. Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД :

    U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.

    1. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД?
    2. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД.
    3. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу.
    4. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД.
    5. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА =   3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ?
    6. Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
    7. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД.

    Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.

    1. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними.
    2.  Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами.
    3.  Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
    4.  Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить  U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰
    5.  Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК  – дуги  между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ?

    D

    C

    D

    E

    A

    B

                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

    K

    C

     E

    1.          Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.
    2.          АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС.
    3.          Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу.
    4.          Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ.
    5.          В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'.

    Задачи на доказательство

    Углы в окружности

    1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
    2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать,  что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
    3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
    4. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК   ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.
    5. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС  I   АО. Через точку С проведена касательная до пересечения  с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ.
    6. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам.
    7. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты.  Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности.
    8. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.
    9. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.
    10.   В окружности проведены хорды АВ    ⃦ ЕД и АС    ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
    11.  Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
    12.  В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ.
    13.  Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ.
    14.  На радиусе ОА окружности О, как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1       ОД.  Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК.
    15.  Через середину Д гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая перпендикулярно к АВ, и на этой прямой отложены отрезки ДЕ = ДК =  АВ. Доказать, что СЕ и СК – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине С.
    16.   В треугольнике АВС угол В больше угла С. Точка К лежит на стороне АВ. Из точки К, как из центра, радиусом КВ описана окружность, которая пересекает ВС в точке М, и проведена прямая МК до пересечения с продолжением СА в точке Д. Доказать, что угол АДМ равен разности углов В и С.
    17.   Доказать, что если через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного угла провести хорду, параллельную одной стороне угла, то она будет равна хорде, служащей другой стороне вписанного угла.
    18.   Две окружности пересекаются в точках А и В, КА и КВ – хорды одной окружности, и продолжения их пересекают вторую окружность в точках С и Д.  Доказать, что МН, касательная к окружности в точке К, параллельна хорде СД.
    19.   В треугольнике АВС положение вершин В и С, а также величина угла А не меняются. Доказать, что геометрическое место ортоцентров – дуга сегмента, построенного на стороне ВС, вмещающая угол 180⁰ -   < А .
    20.   Стороны равных углов проходят через точки А и В, а вершины их лежат по одну сторону прямой АВ. Доказать, что биссектрисы этих углов пересекаются в одной точке.
    21.  Точка Н – ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что окружности АВН, ВСН, САН равны между собой.
    22.   В квадрате АВСД из точки Д, как из центра, радиусом, равным стороне, проведена четверть окружности АС и на АД, как на диаметре, построена внутри квадрата полуокружность. Р – точка дуги АС. Прямая РД пересекает полуокружность АД в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
    23.  В треугольнике АВС: АА1, ВВ1 и СС1 – высоты и А2 , В2, С2 – середины высот. Доказать, что окружности А1 В2 С2, А2 В1 С2 , А2 В2 С1 – проходят через ортоцентр треугольника АВС и каждая из них проходит через середину одной из сторон.
    24.   Через точку окружности проведены три хорды, и на каждой, как на диаметре, построены окружности. Доказать, что три точки пересечения построенных окружностей лежат на одной прямой.         

                                                                                                                                                     

                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                    



    Предварительный просмотр:

    Доклад на тему:«Самообразование учащихся на уроках

          математики»  подготовила учитель математики                          

         МБОУ «СОШ № 2 г. Калининска Шпакова Е.Н.

    Приложение 1

    Тема:                 Вписанный угол

    Определение:         Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

                                            Таков, например, угол АВС.

                                            О вписанном угле принято говорить,                                                что он опирается на дугу, заключенную

                                            между его сторонами. Так угол АВС

                                            опирается на дугу АС или иногда

                                            обозначают АмС.

    Теорема:         Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.

      Дано:         окружность с центром О;      < АВС  –вписанный.

     Доказать:                < АВС =   дуги АС

     Доказательство:   при доказательстве теоремы рассмотрим три случая:                                                                                

    Следствие:

    О

    В

    А

            Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны между собой.  (потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить «α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в себя угол, равный «α»О

    В

    А

            Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90⁰ )

    Образцы решений.

    Задачи по теме: «Вписанный угол».

    № 1.                Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰.                Найдите  каждый из этих углов.

    В

                                            Дано:         окружность с центром Ох

                                            < АВС – вписанный2хх

    А

                                            <АОС – центральный                                        < АВС + < АОС = 90⁰.

    С

                                            Найти:         < АВС = ?,         <АОС         = ?                                        Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается.         < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30

    < АВС = х= 30⁰,   < АОС = 2×30 = 60⁰

    Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

    № 2                 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.

                    В                        Дано:        <АОС – центральный

    А

                                                            < АВС – вписанный f                                                        <АОС - <АВС = 30⁰                

    m        С                                        Найти:        < АВС = ?,         <АОС         = ?

                                                    Решение:         пусть         < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).         <АОС - <АВС = 30⁰          (по условию),  2х-х =30        , х=30

                                    < АВС = 30,         <АОС         = 2×30 = 60                                                                                                                 Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

    № 3                Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД,

    если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰

            m                        Дано:         окружность,  АВ, СД – хорды,

    А                        С                                М – точка пересечения хорд АВ и СД

    h                                                        < СДА = 40⁰,  < АВД = 80⁰

     Д                        В                Найти:         < САД = ?

                                            Решение:        < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается)

            U АмС = 2х <СДА,

            U АмС = 2х40 = 80,  <АмС= 80  <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается).

            U АпД = 2×<АВД,  U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160

            < САД = ½ U СВД,  < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ -  80 – 160) = 60;                  < САД = 60

            Ответ: < САД = 60⁰

    № 4         Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰.

    В

    Д

    С

    А

                                            Дано:         окружность, <АВС=50,         <АСД=80⁰.                                                                                                                                                         Найти:         < САД = ?

                                                       Решение:         <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

    U АмС = 2× <АВС,         U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰,         U АмС = 100⁰

    <АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

    U АВД = 2× < АСД

    U АВД = 2× 80 = 160⁰,  U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный  угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

    <САД = ½ (360⁰ -  U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ -  160⁰ ) =50⁰

    Ответ: < САД = 50⁰

    № 5                доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

    С

    А

    Дано:         ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность        О

    Доказать:         О – центр окружностиВ

    Доказательство:        все углы, опирающиесяна диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине  гипотенузы АВ

    В

    № 6                сторона треугольника  равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус        описанной окружости.А

    Дано:        ∆АВС вписан в окружность, О

    в=АС=10 см, < АВС  = 150⁰С

    Найти:         ОС = R = ?Решение:  =  =  = 2 R

    (По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в,        R =  , R =  =  =  =  =5×2=10,  R = 10 cм.

    Ответ: R = 10 cм.

    № 7                 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см.

                            В                Дано:         окружность с центром О,

    А                                                        А, В, С – принадлежат окружности

                                                            < АВС = 30⁰,   2R = 10 см.

                    С                        Найти:        АС=?

                    С

    Решение:         =  =  = 2 R

    (По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5

    Ответ:  АС = 5 cм.

    № 8                 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.

    С

    Дано:         АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность,

    Д

    В

             < А: <В : <С = 4 : 3 : 5А

    Найти:        <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=?Решение:        < А + < С = 180⁰,         < В + < Д = 180⁰,        

    (т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х        < А + < С = < В + < Д,         < А + < С = 180⁰,          < А = 4 Х        <А= 80⁰        

    4 Х + 5 Х = 3Х +<Д                4 Х + 5 Х = 180⁰,           < В = 3 Х         <В = 60⁰

    < Д = 6 Х                        9 Х = 180⁰             <С = 5Х        <С = 100⁰

                                    Х = 20⁰                < Д = 6 Х        < Д = 120⁰

    Ответ:          <А= 80⁰,         <В = 60⁰,         <С = 100⁰,          < Д = 120⁰

    Д

    В

    № 9                В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения.        Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность.Е

    С

    Дано:         ∆ АВС, АЕ   ВС, СД   АВ,  О – точка пересечения СД и АВА

    Доказать:         Около ВДОЕ можно описать окружностьДоказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰

    < В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию)                                                                                                                                  < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180,         < Д + < Е = 180⁰,                                                                                                                                                         <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰,        < В + < О + 180⁰ =         360⁰,                 < В + < О = 180⁰        

    < В + < О = < Д + < Е

    В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных        углов        равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

    В

    № 10                Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.Е

    Д

    Дано:         ВДОЕ вписан в окружность        <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰        

    С

    А

                    Найти:         R = ?                Решение:        все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности.  2R = 10,  R = 5 см.

    Ответ: R = 5 см.

    ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

    По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ».

    № 1                 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в).

            а                                        Дано:  а=5 см, в = 3,5 см

            в                                        Построить:  прямоугольный треугольник  с гипотенузой «а» и катетом «в»

    С

    1. Построение и доказательство:Возьмем произвольную прямую MN.
    2. На этой прямой  возьмем произвольную точку А.

    N

    М

    На прямой MN от точки А отложим отрезок АВ = аO

    Разделим отрезок АВ пополам и отметим точку О.В

    А

    1. Радиусом ОА опишем полуокружность с центром в точке О.Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С.
    2. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ.

    ∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в».

    № 2                 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр.

    B

    C

    A

    D

    1.                                                         Дано:   точка А, АВ –луч                                                                                Построить:          АД     АВ                                                                                                Построение и доказательство:Проведем луч АВ
    2. Вне луча возьмем произвольную точку О
    3. Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С.
    4. Через точку С и точку О проведем луч со.
    5. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности
    6. Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол  А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр.  

            АД     АВ        

    C

    № 3                 Через данную точку провести к данной окружности касательную.B

    A

                                                    Дано:   окружность с центром ОO

                                                                    а ) С принадлежит окружности                                                                б) А лежит вне окружности                                                                                                                                                                Построить:  касательную к окружности, проходящую через данную точку.

                                                    Построение и доказательство:

    а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу.

    O

    B1

    A

    B

    б) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив         А с О делим                                                         АО пополам в точке О1 и с центром                                                                         в этой точке радиусом ОО1,                                                                         описываем        окружность через точку                                                                        В и В1, в которых эта окружность                                                                         пересекается с данной, проводим                                                                         прямые  АВ и АВ1. Эти прямые и                                                                         будут касательными, т.к. углы ОВА и                                                         ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр                                                                 прямые, следовательно: АВ, АВ1 –                                                                         касательные  к  окружности с                                                                         центром ОСледствие:                 две касательные, проведенные к окружности из точки                                 вне её, равны и образуют равные углы с прямой,                                         соединяющей  эту точку с центром.

                            ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза)

    Отсюда: АВ = АВ1,  < ВАО = <В1АО

    РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

    1 ступень.

    1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет  с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14')
    2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' )
    3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД.                 (ответ: 94⁰39'30'')
    4. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую  окружности.

    (ответ: 84⁰22'30'')

    1. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ?                                (ответ: 285⁰18')
    2. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?                                 (ответ: 137⁰34')
    3. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

                                            (ответ: 123⁰45';  56⁰15')         и

    1. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС.                (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
    2. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС.                  (ответ: 37⁰30')
    3. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.

     (ответ: 95⁰ и 120⁰)

    1. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

    (ответ: 52⁰30';  82⁰30)

    2 ступень

    1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
    2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
    3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
    4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = <  ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
    5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
    6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
    7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
    8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
    9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
    10.  Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.
    11.   АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А,  содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС.
    12.  С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД?
    13.  АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д)  пополам. Определить  < ДАВ.
    14. М  - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и

    ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что  < ВАС=62⁰17'.

    Дополнительный материал.

    E

    D

     C

    A

    Теорема:                 Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.Дано:        Круг;

    <АВС – угол, вершина которого внутри круга.

    Доказать:         <АВС = ( АС + ДЕ)

    Доказательство:  

    Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС  служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ.

    Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются.

    < АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали:  <АВС = ( АС + ДЕ)

    B

    C

    E

    D

    A

                                                    Теорема:                Угол, вершина которого                                                         лежит вне круга и стороны пересекаются с                                                        окружностью, измеряется полуразностью дуг                                                           (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами.                                                        Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне                                                круга.        Доказать:         <АВС = ( U АС  -  U ДЕ)                                                                                                        Доказательство:  

    Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним.

    Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

                    < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда

                    <АВС = <АДС  -  <ДАЕ , но

    <АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем:

    <АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ).

    Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ).

    Задачи

    (дополнительный материал)

    1. Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД :

    U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.

    1. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД?
    2. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД.
    3. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу.
    4. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД.
    5. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА =   3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ?
    6. Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
    7. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД.

    Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.

    1. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними.
    2.  Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами.
    3.  Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
    4.  Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить  U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰
    5.  Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК  – дуги  между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ?

    D

    C

    D

    E

    A

    B

                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

    K

    C

     E

    1.          Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.
    2.          АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС.
    3.          Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу.
    4.          Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ.
    5.          В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'.

    Задачи на доказательство

    Углы в окружности

    1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
    2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать,  что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
    3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
    4. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК   ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.
    5. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС  I   АО. Через точку С проведена касательная до пересечения  с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ.
    6. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам.
    7. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты.  Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности.
    8. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.
    9. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.
    10.   В окружности проведены хорды АВ    ⃦ ЕД и АС    ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
    11.  Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
    12.  В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ.
    13.  Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ.
    14.  На радиусе ОА окружности О, как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1       ОД.  Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК.
    15.  Через середину Д гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая перпендикулярно к АВ, и на этой прямой отложены отрезки ДЕ = ДК =  АВ. Доказать, что СЕ и СК – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине С.
    16.   В треугольнике АВС угол В больше угла С. Точка К лежит на стороне АВ. Из точки К, как из центра, радиусом КВ описана окружность, которая пересекает ВС в точке М, и проведена прямая МК до пересечения с продолжением СА в точке Д. Доказать, что угол АДМ равен разности углов В и С.
    17.   Доказать, что если через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного угла провести хорду, параллельную одной стороне угла, то она будет равна хорде, служащей другой стороне вписанного угла.
    18.   Две окружности пересекаются в точках А и В, КА и КВ – хорды одной окружности, и продолжения их пересекают вторую окружность в точках С и Д.  Доказать, что МН, касательная к окружности в точке К, параллельна хорде СД.
    19.   В треугольнике АВС положение вершин В и С, а также величина угла А не меняются. Доказать, что геометрическое место ортоцентров – дуга сегмента, построенного на стороне ВС, вмещающая угол 180⁰ -   < А .
    20.   Стороны равных углов проходят через точки А и В, а вершины их лежат по одну сторону прямой АВ. Доказать, что биссектрисы этих углов пересекаются в одной точке.
    21.  Точка Н – ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что окружности АВН, ВСН, САН равны между собой.
    22.   В квадрате АВСД из точки Д, как из центра, радиусом, равным стороне, проведена четверть окружности АС и на АД, как на диаметре, построена внутри квадрата полуокружность. Р – точка дуги АС. Прямая РД пересекает полуокружность АД в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
    23.  В треугольнике АВС: АА1, ВВ1 и СС1 – высоты и А2 , В2, С2 – середины высот. Доказать, что окружности А1 В2 С2, А2 В1 С2 , А2 В2 С1 – проходят через ортоцентр треугольника АВС и каждая из них проходит через середину одной из сторон.
    24.   Через точку окружности проведены три хорды, и на каждой, как на диаметре, построены окружности. Доказать, что три точки пересечения построенных окружностей лежат на одной прямой.         

                                                                                                                                                     

                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                                    


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Доклад "Развитие логического мышления учащихся на уроках математики"

    Природа щедро наделила человека, но два ее дара трудно оценить. Именно они помогли ему стать человеком. Имеется в виду две особенности свойственные только человеку: способность мыслить и передавать св...

    Доклад на тему "Здоровьесберегающие технологии на уроках математики"

    В докладе рассказано как на уроках математики я применяю здоровьесберегающие технологии,какие применяю упражнения, какие применяю методики....

    Доклад на тему "Устный счет на уроках математики"

    Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов ус...

    Доклад на тему:"Использование ИКТ на уроках математики"

    Доклад на тему:"Использование ИКТ на уроках математики"...

    Доклад Развитие творческого потенциала учащихся на уроках математики через нестандартные формы уроков

    Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность быстро и безошибочно принимать решения, а эт...

    Самообразование учащихся на уроках математики

    Доклад содержит материал о самостоятельной подготовки учащихся...

    доклад "Развитие творческих способностей учащихся на уроках математики"

    доклад на совещание при директоре по теме: "Развитие творческих способностей учащихся на уроках математики"...