Доклад на тему"Самообразование учащихся на уроках математики".
материал по геометрии (8 класс) по теме

Доклад на тему:«Самообразование учащихся на уроках

      математики»  подготовила учитель математики                          

     МБОУ «СОШ № 2 г. Калининска Шпакова Е.Н.

Приложение 1

Тема:                 Вписанный угол

Определение:         Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

                                        Таков, например, угол АВС.

                                        О вписанном угле принято говорить,                                                что он опирается на дугу, заключенную

                                        между его сторонами. Так угол АВС

                                        опирается на дугу АС или иногда

                                        обозначают АмС.

Теорема:         Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.

  Дано:         окружность с центром О;      < АВС  –вписанный.

 Доказать:                < АВС =   дуги АС

 Доказательство:   при доказательстве теоремы рассмотрим три случая:                                                                                

Следствие:

О

В

А

        Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны между собой.  (потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить «α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в себя угол, равный «α»О

В

А

        Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90⁰ )

Образцы решений.

Задачи по теме: «Вписанный угол».

№ 1.                Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰.                Найдите  каждый из этих углов.

В

                                        Дано:         окружность с центром Ох

                                        < АВС – вписанный2хх

А

                                        <АОС – центральный                                        < АВС + < АОС = 90⁰.

С

                                        Найти:         < АВС = ?,         <АОС         = ?                                        Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается.         < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30

< АВС = х= 30⁰,   < АОС = 2×30 = 60⁰

Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

№ 2                 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.

                В                        Дано:        <АОС – центральный

А

                                                        < АВС – вписанный f                                                        <АОС - <АВС = 30⁰                

m        С                                        Найти:        < АВС = ?,         <АОС         = ?

                                                Решение:         пусть         < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).         <АОС - <АВС = 30⁰          (по условию),  2х-х =30        , х=30

                                < АВС = 30,         <АОС         = 2×30 = 60                                                                                                                 Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

№ 3                Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД,

если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰

        m                        Дано:         окружность,  АВ, СД – хорды,

А                        С                                М – точка пересечения хорд АВ и СД

h                                                        < СДА = 40⁰,  < АВД = 80⁰

 Д                        В                Найти:         < САД = ?

                                        Решение:        < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается)

        U АмС = 2х <СДА,

        U АмС = 2х40 = 80,  <АмС= 80  <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается).

        U АпД = 2×<АВД,  U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160

        < САД = ½ U СВД,  < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ -  80 – 160) = 60;                  < САД = 60

        Ответ: < САД = 60⁰

№ 4         Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰.

В

Д

С

А

                                        Дано:         окружность, <АВС=50,         <АСД=80⁰.                                                                                                                                                         Найти:         < САД = ?

                                                   Решение:         <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

U АмС = 2× <АВС,         U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰,         U АмС = 100⁰

<АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

U АВД = 2× < АСД

U АВД = 2× 80 = 160⁰,  U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный  угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

<САД = ½ (360⁰ -  U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ -  160⁰ ) =50⁰

Ответ: < САД = 50⁰

№ 5                доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

С

А

Дано:         ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность        О

Доказать:         О – центр окружностиВ

Доказательство:        все углы, опирающиесяна диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине  гипотенузы АВ

В

№ 6                сторона треугольника  равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус        описанной окружости.А

Дано:        ∆АВС вписан в окружность, О

в=АС=10 см, < АВС  = 150⁰С

Найти:         ОС = R = ?Решение:  =  =  = 2 R

(По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в,        R =  , R =  =  =  =  =5×2=10,  R = 10 cм.

Ответ: R = 10 cм.

№ 7                 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см.

                        В                Дано:         окружность с центром О,

А                                                        А, В, С – принадлежат окружности

                                                        < АВС = 30⁰,   2R = 10 см.

                С                        Найти:        АС=?

                С

Решение:         =  =  = 2 R

(По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5

Ответ:  АС = 5 cм.

№ 8                 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.

С

Дано:         АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность,

Д

В

         < А: <В : <С = 4 : 3 : 5А

Найти:        <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=?Решение:        < А + < С = 180⁰,         < В + < Д = 180⁰,        

(т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х        < А + < С = < В + < Д,         < А + < С = 180⁰,          < А = 4 Х        <А= 80⁰        

4 Х + 5 Х = 3Х +<Д                4 Х + 5 Х = 180⁰,           < В = 3 Х         <В = 60⁰

< Д = 6 Х                        9 Х = 180⁰             <С = 5Х        <С = 100⁰

                                Х = 20⁰                < Д = 6 Х        < Д = 120⁰

Ответ:          <А= 80⁰,         <В = 60⁰,         <С = 100⁰,          < Д = 120⁰

Д

В

№ 9                В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения.        Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность.Е

С

Дано:         ∆ АВС, АЕ   ВС, СД   АВ,  О – точка пересечения СД и АВА

Доказать:         Около ВДОЕ можно описать окружностьДоказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰

< В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию)                                                                                                                                  < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180,         < Д + < Е = 180⁰,                                                                                                                                                         <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰,        < В + < О + 180⁰ =         360⁰,                 < В + < О = 180⁰        

< В + < О = < Д + < Е

В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных        углов        равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

В

№ 10                Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.Е

Д

Дано:         ВДОЕ вписан в окружность        <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰        

С

А

                Найти:         R = ?                Решение:        все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности.  2R = 10,  R = 5 см.

Ответ: R = 5 см.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ».

№ 1                 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в).

        а                                        Дано:  а=5 см, в = 3,5 см

        в                                        Построить:  прямоугольный треугольник  с гипотенузой «а» и катетом «в»

С

1. Построение и доказательство:Возьмем произвольную прямую MN.
2. На этой прямой  возьмем произвольную точку А.

N

М

На прямой MN от точки А отложим отрезок АВ = аO

Разделим отрезок АВ пополам и отметим точку О.В

А

3. Радиусом ОА опишем полуокружность с центром в точке О.Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С.
4. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ.

∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в».

№ 2                 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр.

B

C

A

D

1.                                                         Дано:   точка А, АВ –луч                                                                                Построить:          АД     АВ                                                                                                Построение и доказательство:Проведем луч АВ
2. Вне луча возьмем произвольную точку О
3. Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С.
4. Через точку С и точку О проведем луч со.
5. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности
6. Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол  А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр.  

        АД     АВ        

C

№ 3                 Через данную точку провести к данной окружности касательную.B

A

                                                Дано:   окружность с центром ОO

                                                                а ) С принадлежит окружности                                                                б) А лежит вне окружности                                                                                                                                                                Построить:  касательную к окружности, проходящую через данную точку.

                                                Построение и доказательство:

а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу.

O

B1

A

B

б) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив         А с О делим                                                         АО пополам в точке О1 и с центром                                                                         в этой точке радиусом ОО1,                                                                         описываем        окружность через точку                                                                        В и В1, в которых эта окружность                                                                         пересекается с данной, проводим                                                                         прямые  АВ и АВ1. Эти прямые и                                                                         будут касательными, т.к. углы ОВА и                                                         ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр                                                                 прямые, следовательно: АВ, АВ1 –                                                                         касательные  к  окружности с                                                                         центром ОСледствие:                 две касательные, проведенные к окружности из точки                                 вне её, равны и образуют равные углы с прямой,                                         соединяющей  эту точку с центром.

                        ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза)

Отсюда: АВ = АВ1,  < ВАО = <В1АО

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1 ступень.

1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет  с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14')
2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' )
3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД.                 (ответ: 94⁰39'30'')
4. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую  окружности.

(ответ: 84⁰22'30'')

5. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ?                                (ответ: 285⁰18')
6. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?                                 (ответ: 137⁰34')
7. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

                                        (ответ: 123⁰45';  56⁰15')         и

8. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС.                (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
9. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС.                  (ответ: 37⁰30')
10. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.

 (ответ: 95⁰ и 120⁰)

11. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

(ответ: 52⁰30';  82⁰30)

2 ступень

1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = <  ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
10.  Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.
11.   АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А,  содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС.
12.  С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД?
13.  АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д)  пополам. Определить  < ДАВ.
14. М  - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и

ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что  < ВАС=62⁰17'.

Дополнительный материал.

E

D

 C

A

Теорема:                 Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.Дано:        Круг;

<АВС – угол, вершина которого внутри круга.

Доказать:         <АВС = ( АС + ДЕ)

Доказательство:  

Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС  служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ.

Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются.

< АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали:  <АВС = ( АС + ДЕ)

B

C

E

D

A

                                                Теорема:                Угол, вершина которого                                                         лежит вне круга и стороны пересекаются с                                                        окружностью, измеряется полуразностью дуг                                                           (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами.                                                        Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне                                                круга.        Доказать:         <АВС = ( U АС  -  U ДЕ)                                                                                                        Доказательство:  

Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним.

Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

                < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда

                <АВС = <АДС  -  <ДАЕ , но

<АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем:

<АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ).

Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ).

Задачи

(дополнительный материал)

1. Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД :

U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.

2. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД?
3. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД.
4. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу.
5. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД.
6. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА =   3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ?
7. Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
8. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД.

Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.

9. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними.
10.  Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами.
11.  Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
12.  Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить  U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰
13.  Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК  – дуги  между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ?

D

C

D

E

A

B

K

C

 E

14.          Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.
15.          АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС.
16.          Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу.
17.          Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ.
18.          В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'.

Задачи на доказательство

Углы в окружности

1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать,  что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
4. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК   ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.
5. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС  I   АО. Через точку С проведена касательная до пересечения  с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ.
6. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам.
7. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты.  Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности.
8. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.
9. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.
10.   В окружности проведены хорды АВ    ⃦ ЕД и АС    ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
11.  Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
12.  В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ.
13.  Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ.
14.  На радиусе ОА окружности О, как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1       ОД.  Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК.
15.  Через середину Д гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая перпендикулярно к АВ, и на этой прямой отложены отрезки ДЕ = ДК =  АВ. Доказать, что СЕ и СК – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине С.
16.   В треугольнике АВС угол В больше угла С. Точка К лежит на стороне АВ. Из точки К, как из центра, радиусом КВ описана окружность, которая пересекает ВС в точке М, и проведена прямая МК до пересечения с продолжением СА в точке Д. Доказать, что угол АДМ равен разности углов В и С.
17.   Доказать, что если через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного угла провести хорду, параллельную одной стороне угла, то она будет равна хорде, служащей другой стороне вписанного угла.
18.   Две окружности пересекаются в точках А и В, КА и КВ – хорды одной окружности, и продолжения их пересекают вторую окружность в точках С и Д.  Доказать, что МН, касательная к окружности в точке К, параллельна хорде СД.
19.   В треугольнике АВС положение вершин В и С, а также величина угла А не меняются. Доказать, что геометрическое место ортоцентров – дуга сегмента, построенного на стороне ВС, вмещающая угол 180⁰ -   < А .
20.   Стороны равных углов проходят через точки А и В, а вершины их лежат по одну сторону прямой АВ. Доказать, что биссектрисы этих углов пересекаются в одной точке.
21.  Точка Н – ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что окружности АВН, ВСН, САН равны между собой.
22.   В квадрате АВСД из точки Д, как из центра, радиусом, равным стороне, проведена четверть окружности АС и на АД, как на диаметре, построена внутри квадрата полуокружность. Р – точка дуги АС. Прямая РД пересекает полуокружность АД в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
23.  В треугольнике АВС: АА1, ВВ1 и СС1 – высоты и А2 , В2, С2 – середины высот. Доказать, что окружности А1 В2 С2, А2 В1 С2 , А2 В2 С1 – проходят через ортоцентр треугольника АВС и каждая из них проходит через середину одной из сторон.
24.   Через точку окружности проведены три хорды, и на каждой, как на диаметре, построены окружности. Доказать, что три точки пересечения построенных окружностей лежат на одной прямой.         

Доклад на тему:«Самообразование учащихся на уроках

      математики»  подготовила учитель математики                          

     МБОУ «СОШ № 2 г. Калининска Шпакова Е.Н.

Приложение 1

Тема:                 Вписанный угол

Определение:         Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом.

                                        Таков, например, угол АВС.

                                        О вписанном угле принято говорить,                                                что он опирается на дугу, заключенную

                                        между его сторонами. Так угол АВС

                                        опирается на дугу АС или иногда

                                        обозначают АмС.

Теорема:         Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается.

  Дано:         окружность с центром О;      < АВС  –вписанный.

 Доказать:                < АВС =   дуги АС

 Доказательство:   при доказательстве теоремы рассмотрим три случая:                                                                                

Следствие:

О

В

А

        Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны между собой.  (потому что каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги). Если величину одного из этих углов обозначить «α», то можно сказать, что сегмент АмВ (заштрихованный на чертеже) вмещает в себя угол, равный «α»О

В

А

        Всякий вписанный угол, опирающийся на диаметр, есть прямой угол (потому что, каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, следовательно, содержит 90⁰ )

Образцы решений.

Задачи по теме: «Вписанный угол».

№ 1.                Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰.                Найдите  каждый из этих углов.

В

                                        Дано:         окружность с центром Ох

                                        < АВС – вписанный2хх

А

                                        <АОС – центральный                                        < АВС + < АОС = 90⁰.

С

                                        Найти:         < АВС = ?,         <АОС         = ?                                        Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается.         < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30

< АВС = х= 30⁰,   < АОС = 2×30 = 60⁰

Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

№ 2                 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов.

                В                        Дано:        <АОС – центральный

А

                                                        < АВС – вписанный f                                                        <АОС - <АВС = 30⁰                

m        С                                        Найти:        < АВС = ?,         <АОС         = ?

                                                Решение:         пусть         < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).         <АОС - <АВС = 30⁰          (по условию),  2х-х =30        , х=30

                                < АВС = 30,         <АОС         = 2×30 = 60                                                                                                                 Ответ: < АВС = 30⁰,  < АОС  = 60⁰

№ 3                Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД,

если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰

        m                        Дано:         окружность,  АВ, СД – хорды,

А                        С                                М – точка пересечения хорд АВ и СД

h                                                        < СДА = 40⁰,  < АВД = 80⁰

 Д                        В                Найти:         < САД = ?

                                        Решение:        < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается)

        U АмС = 2х <СДА,

        U АмС = 2х40 = 80,  <АмС= 80  <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается).

        U АпД = 2×<АВД,  U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160

        < САД = ½ U СВД,  < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ -  80 – 160) = 60;                  < САД = 60

        Ответ: < САД = 60⁰

№ 4         Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰.

В

Д

С

А

                                        Дано:         окружность, <АВС=50,         <АСД=80⁰.                                                                                                                                                         Найти:         < САД = ?

                                                   Решение:         <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

U АмС = 2× <АВС,         U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰,         U АмС = 100⁰

<АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

U АВД = 2× < АСД

U АВД = 2× 80 = 160⁰,  U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный  угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается),

<САД = ½ (360⁰ -  U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ -  160⁰ ) =50⁰

Ответ: < САД = 50⁰

№ 5                доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

С

А

Дано:         ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность        О

Доказать:         О – центр окружностиВ

Доказательство:        все углы, опирающиесяна диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине  гипотенузы АВ

В

№ 6                сторона треугольника  равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус        описанной окружости.А

Дано:        ∆АВС вписан в окружность, О

в=АС=10 см, < АВС  = 150⁰С

Найти:         ОС = R = ?Решение:  =  =  = 2 R

(По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в,        R =  , R =  =  =  =  =5×2=10,  R = 10 cм.

Ответ: R = 10 cм.

№ 7                 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см.

                        В                Дано:         окружность с центром О,

А                                                        А, В, С – принадлежат окружности

                                                        < АВС = 30⁰,   2R = 10 см.

                С                        Найти:        АС=?

                С

Решение:         =  =  = 2 R

(По теореме синусов:  стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда                  = 2 R,    2R ×          = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5

Ответ:  АС = 5 cм.

№ 8                 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника.

С

Дано:         АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность,

Д

В

         < А: <В : <С = 4 : 3 : 5А

Найти:        <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=?Решение:        < А + < С = 180⁰,         < В + < Д = 180⁰,        

(т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х        < А + < С = < В + < Д,         < А + < С = 180⁰,          < А = 4 Х        <А= 80⁰        

4 Х + 5 Х = 3Х +<Д                4 Х + 5 Х = 180⁰,           < В = 3 Х         <В = 60⁰

< Д = 6 Х                        9 Х = 180⁰             <С = 5Х        <С = 100⁰

                                Х = 20⁰                < Д = 6 Х        < Д = 120⁰

Ответ:          <А= 80⁰,         <В = 60⁰,         <С = 100⁰,          < Д = 120⁰

Д

В

№ 9                В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения.        Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность.Е

С

Дано:         ∆ АВС, АЕ   ВС, СД   АВ,  О – точка пересечения СД и АВА

Доказать:         Около ВДОЕ можно описать окружностьДоказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰

< В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию)                                                                                                                                  < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180,         < Д + < Е = 180⁰,                                                                                                                                                         <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰,        < В + < О + 180⁰ =         360⁰,                 < В + < О = 180⁰        

< В + < О = < Д + < Е

В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных        углов        равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность.

В

№ 10                Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см.Е

Д

Дано:         ВДОЕ вписан в окружность        <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰        

С

А

                Найти:         R = ?                Решение:        все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности.  2R = 10,  R = 5 см.

Ответ: R = 5 см.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ».

№ 1                 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в).

        а                                        Дано:  а=5 см, в = 3,5 см

        в                                        Построить:  прямоугольный треугольник  с гипотенузой «а» и катетом «в»

С

1. Построение и доказательство:Возьмем произвольную прямую MN.
2. На этой прямой  возьмем произвольную точку А.

N

М

На прямой MN от точки А отложим отрезок АВ = аO

Разделим отрезок АВ пополам и отметим точку О.В

А

3. Радиусом ОА опишем полуокружность с центром в точке О.Затем проводим дугу радиусом, равным «в» с центром в точке А и на полуокружности отмечаем точку С.
4. Точку пересечения «С» полуокружности с радиусом ОА и дуги с радиусом АС соединим с концами диаметра АВ.

∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в».

№ 2                 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр.

B

C

A

D

1.                                                         Дано:   точка А, АВ –луч                                                                                Построить:          АД     АВ                                                                                                Построение и доказательство:Проведем луч АВ
2. Вне луча возьмем произвольную точку О
3. Проведем окружность радиусом ОА, так чтобы она пересекала луч АВ в точке С.
4. Через точку С и точку О проведем луч со.
5. На луче СО отложим ДО = ОС. ДС – диаметр окружности
6. Соединим конец диаметра точку Д с точкой А. Прямая АД есть искомый перпендикуляр, потому что угол  А –прямой, как вписанный и опирающийся на диаметр.  

        АД     АВ        

C

№ 3                 Через данную точку провести к данной окружности касательную.B

A

                                                Дано:   окружность с центром ОO

                                                                а ) С принадлежит окружности                                                                б) А лежит вне окружности                                                                                                                                                                Построить:  касательную к окружности, проходящую через данную точку.

                                                Построение и доказательство:

а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу.

O

B1

A

B

б) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив         А с О делим                                                         АО пополам в точке О1 и с центром                                                                         в этой точке радиусом ОО1,                                                                         описываем        окружность через точку                                                                        В и В1, в которых эта окружность                                                                         пересекается с данной, проводим                                                                         прямые  АВ и АВ1. Эти прямые и                                                                         будут касательными, т.к. углы ОВА и                                                         ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр                                                                 прямые, следовательно: АВ, АВ1 –                                                                         касательные  к  окружности с                                                                         центром ОСледствие:                 две касательные, проведенные к окружности из точки                                 вне её, равны и образуют равные углы с прямой,                                         соединяющей  эту точку с центром.

                        ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза)

Отсюда: АВ = АВ1,  < ВАО = <В1АО

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1 ступень.

1. Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец её, составляет  с её хордой угол в 37⁰23' ? (ответ: 105⁰14')
2. Дуга содержит 117⁰23'. Определить угол между хордой и продолжением радиуса, проведенного в конец дуги. (ответ: 148⁰41'30'' )
3. АВС – секущая; ВД – хорда; U ВД содержит 43⁰; U ВДС содержит 213⁰41'. Определить <АВД.                 (ответ: 94⁰39'30'')
4. Вычислить угол, вписанный в дугу, составляющую  окружности.

(ответ: 84⁰22'30'')

5. Сколько градусов и минут содержит дуга, которая вмещает угол, равный 37⁰21' ?                                (ответ: 285⁰18')
6. Дуга содержит 84⁰52'. Под каким углом из точек этой дуги видна ее хорда?                                 (ответ: 137⁰34')
7. Хорда делит окружность в отношении 5 : 11. Определить величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.

                                        (ответ: 123⁰45';  56⁰15')         и

8. АВ и АС – две хорды, U АВ содержит 110⁰23'; U АС содержит 38⁰. Определить <ВАС.                (ответ: 105⁰48'30'' или 36⁰11'30'')
9. Хорда АВ делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130⁰, а большая делится хордой АС в отношении 31 : 15 (начиная от А). Определить <ВАС.                  (ответ: 37⁰30')
10. Хорды АВ и АС лежат по разные стороны центра и заключают <ВАС, равный 72⁰30'; U АВ : U АС = 19 : 24. Определить эти дуги.

 (ответ: 95⁰ и 120⁰)

11. Окружность разделена в отношении 7 : 11 : 6, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

(ответ: 52⁰30';  82⁰30)

2 ступень

1. Определить, сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный в хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5:2.
2. Точки А и В соединены двумя дугами, обращенными выпуклостями в разные стороны: U АСВ содержит 117⁰23'; и U АВД содержит 42⁰37'; середины их С и Д соединены с А. Определить < САД
3. В сегмент АМВ вписана трапеция АСДВ, у которой сторона АС = СД и <САВ = 51⁰20'. Сколько градусов содержит дуга АМВ?
4. АВ – диаметр; С, Д и Е – точки на одной полуокружности АСДЕВ. На диаметре АВ взяты: точка М так, что < СМА = < ДМВ, и точка Н так, что < ДНА = <  ЕНВ. Определить < МДН, если дуга АС содержит 60⁰ и дуга ВЕ содержит 20⁰.
5. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40⁰. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими на три части. Найти эти части.
6. Основание равнобедренного треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность – сторонами треугольника?
7. Построить несколько точек окружности, имеющий данный диаметр, пользуясь лишь чертежным треугольником.
8. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с=5 см и высоте, опущенной из вершины прямоугольного угла на гипотенузу и имеющей длину 2 см.
9. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной 3,5 см, и проекции одного из катетов на гипотенузу, если эта проекция равна 2,9 см.
10.  Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Определить острый угол между хордой и касательной.
11.   АВ и АС – равные хорды, МАН – касательная; ВС – на которой лежит точка А,  содержит 213⁰ 42'. Определить углы МАВ и НАС.
12.  С – точка на продолжении диаметра АВ; СД – касательная; < АДС = 114⁰25'. Сколько градусов и минут содержит дуга ВД?
13.  АВ – диаметр окружности; ВС – касательная. Секущая АС делится окружностью (в точке Д)  пополам. Определить  < ДАВ.
14. М  - середина высоты ВД в равнобедренном треугольнике АВС; точка М служит центром дуги, описанным радиусом МД между сторонами ВА и

ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что  < ВАС=62⁰17'.

Дополнительный материал.

E

D

 C

A

Теорема:                 Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон.Дано:        Круг;

<АВС – угол, вершина которого внутри круга.

Доказать:         <АВС = ( АС + ДЕ)

Доказательство:  

Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС  служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ.

Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются.

< АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали:  <АВС = ( АС + ДЕ)

B

C

E

D

A

                                                Теорема:                Угол, вершина которого                                                         лежит вне круга и стороны пересекаются с                                                        окружностью, измеряется полуразностью дуг                                                           (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами.                                                        Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне                                                круга.        Доказать:         <АВС = ( U АС  -  U ДЕ)                                                                                                        Доказательство:  

Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним.

Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

                < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда

                <АВС = <АДС  -  <ДАЕ , но

<АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем:

<АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ).

Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ).

Задачи

(дополнительный материал)

1. Окружность разделена точками А,В,С и Д так,что U АВ : U ВС : U СД :

U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.

2. Диаметр АВ и хорда СД пересекаются в точке М; < СМВ = 73⁰; UВС содержит 110⁰. Сколько градусов содержит U ВД?
3. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М; < АМС = 40⁰; U АД более U СВ на 20⁰54'. Определить U АД.
4. Из концов дуги АВ, содержащей М⁰, проведены хорды АС и ВД так, что < ДМС, образуемый их пересечением, равен < ДНС, вписанному в U СД. Определить эту дугу.
5. В четырехугольник АВСД углы В и Д прямые; диагональ АС образует со стороной АВ угол в 40⁰, а со стороной АД – угол в 30⁰. Определить острый угол между диагоналями АС и ВД.
6. Окружность разделена точками А, В, С и Д т ак, что UАВ : UВС : UСД : UДА =   3 : 2 : 13 : 7. Хорды АД и ВС продолжены до пересечения в точке М. Определить < АМВ?
7. Дана окружность с хордой и касательной, причем точка касания лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой. Найти на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.
8. Секущая АВС отсекает U ВС, содержащую 112⁰, касательная АД точкой касания Д делит эту дугу в отношении 7 : 9. Определить < ВАД.

Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.

9. Из концов дуги в 200⁰30' проведены касательные до взаимного пересечения. Определить угол между ними.
10.  Описанный угол содержит 73⁰25'. Определить дуги, заключенные между его сторонами.
11.  Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Определить угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
12.  Внутри данной окружности помещается другая окружность. АВС и АДЕ – хорды большей окружности, касающейся в точках В и Д меньшей окружности; U ВМД – меньшая из дуг между точками касания; U СНЕ – дуга между концами хорд. Определить  U СНЕ, если U ВМД содержит 130⁰
13.  Внутри данной окружности находится другая окружность, САЕ и ДВК – две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках А и В; АМВ - меньшая из дуг между точками касания; U СНД и ЕРК  – дуги  между концами хорд. Сколько градусов содержит U СНД, если U АМВ содержит 154 и дуга ЕРК = 70⁰ ?

D

C

D

E

A

B

K

C

 E

14.          Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Определить больший угол в полученном треугольнике.
15.          АВ и АС – две хорды, образующие < ВАС в 72⁰24'. Через точки В и С проведены касательные до пересечения в точке М. Определить < ВМС.
16.          Определить величину описанного угла, если кратчайшее расстояние от его вершины до окружности равно радиусу.
17.          Дуга АВ содержит 40⁰24'. На продолжении радиуса ОА отложена часть АС, равная хорде АВ, и точка С соединена с В. Определить < АСВ.
18.          В треугольнике АВС угол С – прямой . Из центра О радиусом АС описана дуга АДЕ, пересекающая гипотенузу в точке Д, а катет СВ – в точке Е. Определить дуги АД и ДЕ, если < В = 37⁰24'.

Задачи на доказательство

Углы в окружности

1. На окружности взяты четыре точки. Доказать, что прямые, соединяющие середины противолежащих дуг, взаимно перпендикулярны.
2. Две окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать,  что величина угла СВД не зависит от положения секущей.
3. Около треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д, а окружность в точке Е. Точки А и Е соединены отрезком прямой. Доказать, что треугольник АВЕ подобен треугольнику ВДС.
4. АВ – диаметр окружности О, радиус ОС I АВ. Через середину Д радиуса ОС проведена хорда ЕК   ⃦ АВ. Доказать, что угол АВЕ в два раза меньше угла СВЕ.
5. Точка Д лежит на радиусе ОА; хорда ВДС  I   АО. Через точку С проведена касательная до пересечения  с продолжением ОА в точке Е. Доказать, что прямая СА – биссектриса угла ВСЕ.
6. Две равные окружности пересекаются в точках А и В, САД – секущая. Доказать, что перпендикуляр из точки В на секущую СД делит ее пополам.
7. В треугольнике АВС АА1 и ВВ1 – высоты.  Доказать, что точки А, В, А1, и В1 лежат на одной окружности.
8. Доказать, что геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, диаметр которой в два раза меньше диаметра данной.
9. В треугольнике АВС сторона ВС меньше стороны ВА. Из В, как из центра, описана окружность радиусом ВС, которая пересекла сторону СА в точке Е и сторону ВА – в точке Д. Доказать, что угол ДЕА в два раза меньше угла АВС.
10.   В окружности проведены хорды АВ    ⃦ ЕД и АС    ⃦ КД. Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
11.  Две окружности внешне касаются. Через точку касания К проведены секущие АКВ и СКД (А и С на одной окружности). Доказать, что хорды АС и ВД параллельны.
12.  В круге проведены хорды МА > МВ > МС так, что МВ делит угол АМС пополам. К – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на МА. Л – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на продолжение МС. Доказать, что АК = СЛ.
13.  Через точку К окружности О проведены хорда КА и касательная ВС. Прямая, проведенная через центр О перпендикулярно к радиусу ОА, пересекает АК в точке М и ВС в точке Н. Доказать, что НК = НМ.
14.  На радиусе ОА окружности О, как на диаметре, построена другая окружность. Радиус ОС первой окружности пересекает вторую окружность в точке Е, а радиус ОД в точке К; СС1       ОД.  Доказать, что отрезок СС1 равен хорде ЕК.
15.  Через середину Д гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведена прямая перпендикулярно к АВ, и на этой прямой отложены отрезки ДЕ = ДК =  АВ. Доказать, что СЕ и СК – биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине С.
16.   В треугольнике АВС угол В больше угла С. Точка К лежит на стороне АВ. Из точки К, как из центра, радиусом КВ описана окружность, которая пересекает ВС в точке М, и проведена прямая МК до пересечения с продолжением СА в точке Д. Доказать, что угол АДМ равен разности углов В и С.
17.   Доказать, что если через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного угла провести хорду, параллельную одной стороне угла, то она будет равна хорде, служащей другой стороне вписанного угла.
18.   Две окружности пересекаются в точках А и В, КА и КВ – хорды одной окружности, и продолжения их пересекают вторую окружность в точках С и Д.  Доказать, что МН, касательная к окружности в точке К, параллельна хорде СД.
19.   В треугольнике АВС положение вершин В и С, а также величина угла А не меняются. Доказать, что геометрическое место ортоцентров – дуга сегмента, построенного на стороне ВС, вмещающая угол 180⁰ -   < А .
20.   Стороны равных углов проходят через точки А и В, а вершины их лежат по одну сторону прямой АВ. Доказать, что биссектрисы этих углов пересекаются в одной точке.
21.  Точка Н – ортоцентр треугольника АВС. Доказать, что окружности АВН, ВСН, САН равны между собой.
22.   В квадрате АВСД из точки Д, как из центра, радиусом, равным стороне, проведена четверть окружности АС и на АД, как на диаметре, построена внутри квадрата полуокружность. Р – точка дуги АС. Прямая РД пересекает полуокружность АД в точке К. Доказать, что длина отрезка РК равна расстоянию от точки Р до стороны АВ.
23.  В треугольнике АВС: АА1, ВВ1 и СС1 – высоты и А2 , В2, С2 – середины высот. Доказать, что окружности А1 В2 С2, А2 В1 С2 , А2 В2 С1 – проходят через ортоцентр треугольника АВС и каждая из них проходит через середину одной из сторон.
24.   Через точку окружности проведены три хорды, и на каждой, как на диаметре, построены окружности. Доказать, что три точки пересечения построенных окружностей лежат на одной прямой.