Исследовательская работа по математике
учебно-методический материал по геометрии (8 класс) по теме

Содержание

Введение        

Пьер Вариньон        

Теорема Вариньона и выпуклые четырехугольники        

Применение теоремы Вариньона к доказательству некоторых утверждений        

Заключение        

Литература        

Введение

В школьном курсе геометрии рассматривается достаточное количество теории и  решается множество задач по четырехугольникам. Возможно,  этого объема теоретического материала вполне достаточно для решения школьных задач и без знания теоремы Вариньона, но, используя эту теорему, наше решение может быть более компактным и интересным. Но, к сожалению, в школьном курсе не рассматривается такой простой и интересный факт, что фигура, полученная последовательным соединением середин сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

Теорема Вариньона поразила нас своей простотой, очевидностью, помогла нам разглядеть те удивительные факты, которые были для нас раньше незаметны и которые мы, используя эту теорему,  доказали самостоятельно.

Пьер Вариньон

Математик и механик Пьер Вариньон (Varignon Р., 1654 — 22.12.1722) родился в г. Каенне (Франция). Изучал философию и математику. Вариньон написал учебник по элементарной геометрии, который был издан после его смерти в 1731 году, и в котором впервые появилась рассматриваемая в нашей работе его теорема.

Теорема Вариньона и выпуклые четырехугольники

Теорема. Фигура, образованная путем последовательного соединения середин сторон четырехугольника, является параллелограммом, а его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Доказательство:   FM и KN – средние линии соответственно треугольника ABC  и треугольника ADC. Следовательно:  KN || AC,    KN || FM,  KN=FM= AC . Тогда делаем вывод, что FMNK – параллелограмм.

Обозначим площадь четырехугольника ABCD через .

 ,      

Аналогично рассуждая,  получаем:    

Следовательно:  

Применение теоремы Вариньона к доказательству некоторых утверждений

Утверждение 1.  В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей в 2 раза больше суммы квадратов отрезков соединяющих середины противоположных сторон.

Доказательство:  Так как FMNK – параллелограмм, а сумма квадратов его сторон равна сумме квадратов его диагоналей, то  

Так как    ,    , то получаем:

Утверждение 2. Если отрезки соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Доказательство:  Так как   , но FN и MK  являются диагоналями параллелограмма FMNK, тогда FMNK – прямоугольник, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника ABCD   BDAC.

Утверждение 3. Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны.

Доказательство:  Так как FNMK  и FMNK – параллелограмм, то FMNK –ромб, то есть FM=MN=NK=FK    AC=BD

Утверждение 4. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Доказательство: Диагонали прямоугольника равны, то есть AC=BD    FM=KN=MN=FK, тогда FMNK – ромб.

Утверждение 5. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Доказательство: Диагонали равнобедренной трапеции равны, то есть BD=AC , тогда FM=KN=MN=FK,  следовательно,  FMNK – ромб.

Утверждение 6. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Доказательство:  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть  ACBD , а так как MN||AC, FK||AC , FM||DB , NK||DB ,то FMNK – прямоугольник.

Заключение

В нашей работе мы рассмотрели теорему Вариньона и применяя ее, самостоятельно доказали несколько утверждений, которые могут пригодиться нам при решении  задач. Возможно, при дальнейшем рассмотрении нам удастся найти еще какие – либо утверждения получаемые  в результате использования теоремы Вариньона.

Может быть, тема, затронутая в нашей работе, покажется кому-то и простой, но и простое иногда бывает удивительным.

Литература

1. Адмар Ж. Элементарная геометрия, М., Учпедгиз, 1948.
2. Кокстер Г., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. М., 1978.
3. Вавилов В., Красников П. Бимедианы четырехугольника //Математика, М., 2006, №21