Методические материалы по систематизации подготовки к экзаменам по геометрии (ОГЭ, ЕГЭ).
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9, 10, 11 класс) по теме

Методические материалы

по систематизации подготовки к экзаменам по геометрии

(ОГЭ, ЕГЭ).

Применение теории и практики на одной задаче

Как показывают результаты ЕГЭ, за решение  геометрических задач берётся низкий процент выпускников, что свидетельствует о трудности восприятия условия таких задач и выполнения чертежей к ним.

Между тем развитое пространственное представление и воображение необходимо не только специалистам, непосредственно связанным с геометрией, но и любому рядовому гражданину: окружающий нас мир структурно является геометрическим.

Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки, формирует свои пространственные представления.

Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнения чертежа, и от того, насколько правильно он сделан, во многом зависит успешность получения результата.

В современных условиях в рамках подготовки учащихся к выпускным экзаменам за курсы основной и средней школы предлагается много различных пособий. В частности, интерес представляет пособие Б.И.Вольфсона и Л.И Резницкого по геометрии:

Б.И.Вольфсон, Л.И Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 224 с.

В книге излагается технология, позволяющая структурировать и тем самым облегчить процесс решения геометрических задач, приводятся примеры её применения, проанализированы задания ЕГЭ и ГИА-9. Имеется справочный теоретический материал и задачи для самостоятельного решения.

В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно будет повторение вопросов теории на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов решения.

Концептуальные идеи:

1. Освоение общей технологии решения геометрических задач.
2. Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева.
3. Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач.
4. Проблемный подход к организации повторения курса геометрии.
5. Последовательное применение принципа «чайника».
6. Этапы решение геометрических задач.
7. Задача о расчёте косоугольного треугольника.
8. Задача о расчёте правильной треугольной пирамиды.

Рассмотрение этих концептуальных идей подробно.

1. Освоение общей технологии решения геометрических задач.

Этот подход позволяет структурировать решение задачи и последовательно преодолеть возникающие трудности по аналогии с поэтапной своркой сложного изделия на конвейере.

Замечание.

Знание, а главное, понимание алгоритмов решения стандартных задач не отменяет самостоятельное творчество. Оно экономит время и даёт инструмент, который позволяет осуществлять творческий процесс на качественно более высоком уровне.

2. Использование метода укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева.

Применение разработанного П. М. Эрдниевым метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ) базируется на одновременом рассмотрении логически различных элементов, обладающих в то ж  время информационной общностью. Такой подход позволяет сформировать «стереоскопический» образ изучаемого объекта. Он стимулирует образование в мозгу функциональных систем, т.е. ансамблей нейронов, «специализирующихся» на решении сходных познавательных задач.

Отказ при использовании УДГ от традиционного «квантования» учебного материала способствует тому, что его запоминание приобретает не механических (эрудиционный), а ассоциативный характер. Таким образом, наряду с накоплением знаний (накоплением информации) идёт процесс обогащения мышления связями между знаниями, то есть повышается качество переработки информации.

3. Формирование семейств модифицируемых многопараметрических задач.

Данная методика предусматривает создание модифицируемых многопараметрических заданий по математике, в которых осуществляется циклическая замена известных и неизвестных величин. Методика ориентирована на формирование целостного мировосприятия и интеллектуальное развитие школьников. Предложенный подход к формированию модифицируемых учебных заданий лежит в русле метода укрупнения дидактических единиц (УДЕ).  Вслед за создателем метода УДЕ П.М. Эрдниевым мы обращаем внимание на необходимость рассмотрения всего блока заданий, относящихся к данной проблеме, в компактном временном промежутке. В этом случае многообразные связи,, возникающие в мозгу ученика в процессе работы, закрепляются в виде единой комплексной системы.

4. Проблемный подход к организации повторения курса геометрии.

Использование проблемного метода приводит ученика от пассивного потребления готовых истин, излагаемых учителем, к участию в их установлении. Это способствует лучшему запоминанию и, что особенно важно, формированию личностно-ценностного отношения к изучаемому материалу.

5. Последовательное применение принципа «чайника».

Этот принцип состоит в сведении данной задачи к той, решать которую мы уже научились.

6. Этапы решение геометрических задач.

1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3. Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4. Перенос данных условия на чертёж; выделение элементов чертежа различными цветами.
5. Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).
6. «Деталировка» – вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
7. Анализ данных задачи, привязка искомых величин элементам чертежа.
8. «Синтез» – составление «цепочки» действий (алгоритма решения).
9. Реализация алгоритма решения.
10. Проверка правильности решения.
11. Запись ответа.

7. Задача о расчёте косоугольного треугольника.

Дано:

В треугольнике АВС

АВ=с=13 см;  

ВС=а=14 см;  

АС=b=15 см.

Найти:

1) площадь S; 

2) hb − высоту BD;

3) радиус вписанной окружности r;

4) величину наибольшего внутреннего угла треугольника АВС;

5) радиус описанной окружности R;

6) mb − длину медианы BF; 

7) Lb  − длину биссектрисы  ВЕ угла В (точка Е лежит на отрезке АС);  

8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности (Оо); 

9) расстояние между центрами вписанной (Ов) и описанной (Оо) окружностей.

1. Вычисление площади треугольника АВС.

База знаний.

Выпишем формулы, по которым можно найти площадь треугольника:

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

где  — полупериметр треугольника АВС.  

Поскольку в условии задачи даны только длины сторон треугольника АВС, то для вычисления его площади нам необходимо воспользоваться именно формулой Герона  (3).

Вычислим сначала полупериметр треугольника:

Тогда, по формуле (3),  

2. Вычисление высоты треугольника.

Используем формулу (1):

Так как площадь треугольника S и длина стороны АС нам уже известны, можем  вычислить hb ― длину высоты BD:

.

3. Вычисление радиуса вписанной окружности.

Для вычисления длины r радиуса вписанной окружности нам необходимо воспользоваться формулой площади треугольника (4):  

.  

Отсюда находим

4. Вычисление наибольшего угла треугольника.

Включаем в базу знаний теорему о том, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол. Из этой теоремы следует, что большим углом в треугольнике АВС является угол В. По формуле (2) можем записать:   

Отсюда получаем: .  

Поскольку нам в дальнейшем может пригодиться cosВ, то найдем также и его. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin2B+cos2B=1.

Учитывая, что ∠В — острый угол (так как b22+c2), а значит его косинус и синус — положительные величины, находим:

.

Следовательно, .

5. Вычисление радиуса описанной окружности.

Ответ на вопрос задачи о вычислении длины R радиуса описанной окружности требует включения в базу знаний теоремы синусов:

                                 (5)

Из соотношения (5) следует, что

Этот же результат можно получить, подставляя длины сторон и площадь треугольника в другую формулу, также следующую из (5):

6. Вычисление длины медианы треугольника.

Построим медиану BF и вычислим ее длину mb. Для этого

добавим в базу знаний теорему косинусов, согласно которой

в треугольнике АВС:                  

Дважды применим теорему косинусов, применив ее сначала к  треугольнику АВС, а затем к треугольнику АВF.

Выполним деталировку и рассмотрим треугольник АВF.

В этом треугольнике AB = c, AF = b/2, BF — искомая медиана m.

Тогда, по теореме косинусов,

Значение cosA находим (также с помощью теоремы косинусов) из формулы: , выведенной выше для треугольника АВС.  После преобразований получаем:  

.

Длину медианы можно также получить, достроив треугольник АВС до параллелограмма АВСК, в котором АС является диагональю, а BF — половиной другой диагонали.

Тогда для вычисления  можно воспользоваться тем, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

(этот факт также добавляем в базу знаний):

отсюда

7. Вычисление длины биссектрисы треугольника.

Построим биссектрису BЕ и вычислим ее длину Lb по схеме, описанной в предыдущем пункте.

Дополнительное затруднение связано с необходимостью вычисления длины отрезка AE. Найти ее нам помогает следующая теорема, включаемая в базу знаний:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные сторонам, образующим этот угол: .

Обозначим AE = x,  тогда EC = b – x.

Из упомянутой теоремы следует

пропорция: .

Отсюда находим:  .

Используя теорему косинусов, из треугольника АВЕ выражаем:

.

После преобразований получаем:

.

Отметим, что при выводе формул для вычисления  и  применяются тождества сокращенного умножения, которые также должны быть включены в базу знаний.

8. Вычисление расстояния между центром описанной окружности и точкой пересечения треугольника АВС.

Используем метод координат. Введём прямоугольную систему координат, связанную с треугольником АВС, так, чтобы начало координат совпало с вершиной А, ось абсцисс пошла по лучу АС, ось ординат была направлениа вертикально вверх.

Построим высоту BD и медиану BF.

Обозначим G – точку пересечения медиан треугольник АВС, Оо – центр описанной окружности.

В этой системе определим координаты точек: А(0;0), В(, С(b;0), D(, F(b/2;0).

Для определения координат точки пересечения медиан G необходимо дополнить базу знаний следующими фактами:

1. точка G делит медиану BF на отрезки BG и GF, отношение длин которых равно 2 : 1;
2. точка G, делящая данный отрезок BF в отношении m : n, имеет координаты:

.

3. ;        .

Вычислим координаты точки G (учтём, что ):

.

Найдём координаты центра описанной окружности. Для этого необходимо вписать в базу знаний следующие факты:

1. окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности;
2. расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника равно радиусу окружности;
3. центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Тогда координаты точки Оо будут: ;

. По теореме Пифагора, из треугольника АОF,

. Очевидно, что .

Для вычисления расстояния между точками G и Оо включаем в базу знаний формулу вычисления расстояния между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), координаты которых известны:

.

Тогда, учитывая, что , получаем:

(см).

9. Вычисление расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей.

В координатной системе Аху вычислим координты центра окружности, вписанной в треугольник АВС.

Для этого дополним базу знаний теоремами о том, что центр вписанной окружности – это точка пересечения биссектрис треугольника, а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной.

Предположим, что точка Оb построена, соединим её с точкой А и опустим из точки  Оb перпендикуляр ОbH на прямую АС.

Рассмотрим прямоугольной треугольник AОbH.

В этом треугольнике катет ОbH = r = 4см; . Тогда катет  . Воспользуемся формулой .

Учитывая найденные ранее значения , получаем  и (см).

Таким образом, . Учитывая, что , получаем:

(см).

8. Задача о расчёте правильной треугольной пирамиды.

Дано МАВС – правильная пирамида;

АВ = ВА = СА = a, MN – высота пирамиды; MN = H.

        Найти:

1) Площадь основания Sосн;

2) высоту основания h;

3) радиус окружности, вписанной в основание rв;

4) радиус окружности, описанной около основания rо;

5) апофему h1;

6) площадь боковой поверхности Sбок;

7) плоский угол α при вершине пирамиды;

8) радиус rв1 окружности, вписанной в боковую грань;

9) радиус rв1 окружности, описанной около боковой грани;

10) угол  между боковым ребром и плоскостью основания;

11) угол ψ        между боковой гранью и плоскостью основания;                

12) угол ω между боковыми гранями;

13) радиус Rо сферы, описанной около пирамиды;

14) радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду;

15) расстояние d1 от центра основания до боковой грани;

16) угол γ и расстояние d2 между боковым ребром и скрещивающейся с ним стороной основания пирамиды.

Выпишем базу знаний для решения задач по стереометрии.

База знаний 1:

• Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник (в рассматриваемой задаче, треугольник), а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
• В правильной пирамиде боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.
• В правильной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.
• В правильном треугольнике все стороны равны, углы равны 60°, а каждая из его медиан является одновременно высотой, биссектрисой и лежит на серединном перпендикуляре к стороне треугольника.
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
• Центром правильного треугольника называется точка пересечения его медиан, которая совпадает с центром вписанной и описанной окружностей.

База знаний 2:

• Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон этого многоугольника.
• Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис.
• Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен к касательной, проходящей через эту точку.
• Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.
• Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

База знаний 3:

• Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной (теорема о трёх перпендикулярах).
• Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; причём в качестве коэффициента пропорциональности выступает удвоенный радиус окружности, описанной около этого треугольника (теорема синусов).
• Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в этот треугольник окружности:  = р ∙ rв; здесь  – полупериметр треугольника.
• Площадь треугольника равна частному от произведения всех его сторон на учетверённый радиус описанной около этого треугольника окружности:.

• Медиана, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, является также его высотой и биссектрисой.
• Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
• Двугранным углом называется угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями), имеющими общую границу (ребро двугранного угла).
• Двугранный угол измеряется его линейным углом. Линейным углом двугранного угла называется угол, вершина которого лежит на ребре, а стороны принадлежат граням двугранного угла и перпендикулярны к его ребру.
• Плоским углом при вершине пирамиды называется угол, образованный боковыми рёбрами, принадлежащими одной грани пирамиды.

Замечание. Задача по стереометрии разбивается на частные планиметрические подзадачи, в которых применяются все изученные в планиметрии теоремы и формулы.

Решение задачи.                 

Дано: АВ = ВА = СА = a = 2; MN = H = .

1. Sосн = ? Основание – правильный треугольник АВС, площадь которого можно находить с помощью разных формул, в частности, по специальной формуле .

Включим её в базу знаний.

Но здесь можно применить формулу

 , где a=с=2, .  

Тогда, .

2. высота основания h = ВК = ?

Сделаем выносной чертёж равностороннего

треугольника АВС.

Из прямоугольного треугольника АВК:

   ;  ;

.

Итак, h. Этот отрезок можно было бы найти и по теореме Пифагора.

3.  = р∙ rв; где  

Тогда rв.

4. ;         .

Как вывод из пунктов 3 и 4, включим в базу знаний формулу Rо = 2rв. Действительно, Rо и rв – две части медианы ВК, которая в точке пересечения медиан делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Факт Rо = 2rв можно доказывать и по-другому. 

Замечание. Из последнего факта следует, что радиусы вписанной и описанной окружностей можно было бы находить по-другому: разделить отрезок высоты ВК на три, тогда одна часть его – это радиус вписанной окружности, а две части – радиус описанной окружности. Но если говорим о последовательном и охватывающем повторении теории, то уместнее сначала найти радиусы по формулам, отмеченным выше, а потом вернуться к вычислению радиусов и посчитать их длины по-другому, с учётом свойств медианы.

5. Апофема – высота ML боковой грани, L – середина ВС. Боковая грань МВС– равнобедренный треугольник MNL. Чтобы найти ML, надо рассмотреть прямоугольный треугольник MNL, в котором известны катеты: высота пирамиды МN =    (по условию) и отрезок NL =  – как  медианы (высоты) АL треугольника АВС (см. пункт 2)

Делаем выносной чертёж треугольника  MNL.

                                По теореме Пифагора

                                .

6.                   Площадь боковой поверхности Sбок. 

.

7. Плоский угол α при вершине пирамиды

Плоский угол α при вершине пирамиды найдём по теореме косинусов:                

Для вычислений по этой формуле нужно знать боковую сторону равнобедренного треугольника МВС. Её найдём из треугольника МВL (см. рисунок пункта 6) по теореме Пифагора:

Тогда         .

8. радиус rв1 окружности, вписанной в боковую грань МВС.

Используем формулу  = р ∙ rв; где стороны треугольника МВС равны: ВС = 2, МВ = МС =  

 .        Тогда rв.

9. радиус rо1 окружности, описанной около боковой грани.

Используем формулу ; где стороны треугольника МВС равны:

ВС = 2, МВ = МС =  :                .

10. угол  между боковым ребром и плоскостью основания, это                                                        угол МВN.

Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник МВN.

                                                                                .

11. угол ψ между боковой гранью и плоскостью основания, это                                                        угол MLN                        

Для его нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник МВL.

                                                                                .

12. угол ω между боковыми гранями. Это угол ЕDL, где , . Треугольник ЕDL – равнобедренный, .

Точки Е и L – середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда ЕL – средняя линия, ЕL = .

Для нахождения DL рассмотрим прямоугольный треугольник МВL.

Проведём .

Введём в базу знаний метод площадей:

площадь одного и того же треугольника находят разными

способами. Из полученного равенства можно найти любую входящую величину.

                        ;                         .

Угол  найдём по теореме косинусов:                

                 .

13. радиус Rо сферы, описанной около пирамиды;

Включим в базу знаний теорему: Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой   H  и ребром основания  a, равен  . Здесь H = , а = 2.

Тогда

14. радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду.

Включим в базу знаний теорему: радиус Rв сферы, вписанной в пирамиду, у которой все боковые грани одинаково наклонены к основанию, находится по формуле         , где  – радиус вписанного шара,  – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, H – высота пирамиды, h – апофема.

Здесь , H = , h = . Тогда .

15. расстояние d1 от центра основания до боковой грани. Это расстояние NE. Найдём его из прямоугольного треугольника MLN методом площадей.

На рисунке изображена часть пирамиды.

, тогда ; .

16. угол γ и расстояние d2 между боковым ребром и скрещивающейся с ним стороной основания пирамиды.

Расстояние между скрещивающимися прямыми удобно находить не напрямую по определению. Можно построить плоскость, проходящую через одну из них перпендикулярно другой; определить точку, в которой вторая прямая пересекает эту плоскость; выделить в этой плоскости треугольник; найти в нём высоту из полученной точки на первую прямую.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые АС и МВ. Проведём плоскость через прямую МВ перпендикулярно АС. Эта плоскость пройдёт через точки М, В, К, получим плоскость МВК. Точка, в которой вторая прямая АС пересекает плоскость МВК – точка К.

Рассмотрим треугольника МВК и проведём в нём высоту из точки К на прямую МВ, получим отрезок КР. Отрезок КР – искомое расстояние.

Для удобства вычислений, не меняя сути задачи, примем другие числовые данные.

Пусть МК = 13, ВК = 14, МВ = 15.

Тогда площадь треугольника МВК

найдём по формуле Герона.

Вычисления в пункте 1 Задачи 8 о расчёте косоугольного треугольника.

Получаем .

Применяя традиционную формулу для вычисления площади треугольника, получим: ,

отсюда  

Заключение.

Основываясь на данном подходе к проработке теории и практики при подготовке к экзаменам, можно использовать его в текущей работе по разным темам и в разных параллелях: подбирать цельные задачи, содержащие объёмные блоки для решения.

Литература

Б.И.Вольфсон, Л.И Резницкий ГЕОМЕТРИЯ. Подготовка к ЕГЭ и ГИА-9: учимся решать задачи. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. – 224 с.