Число π – магический геометрический символ
план-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему

Урок 9 класс

Число π – магический геометрический символ

Урок исследования.

Форма обучения: комбинированная

Примерная технологическая карта урока:

Цель        деятельность учителя          деятельность ученика            результат

Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия.

Образовательная цель: расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов: Вычисление числа π. Логическое обоснование формулы длины окружности.

На доске записана:  Число π – магический геометрический символ

         Ресурсы:         Нить, цилиндры разной величины (стаканы, фигуры, имеющие форму окружности), линейки, учебник 7-9 класса. Атанасян Л.С.

Тема урока: (формулируют сами учащиеся, а учитель подводит учащихся к осознанию темы). Учитель ведет диалог с классом. Учащиеся вспоминают формулы, где фиксирована буква π,  в 5 классе изучали длину окружности и площадь круга. Там и впервые встречались греческой буквой π.

Учащиеся определили тему урока:    Длина окружности.

Цель урока: (формулируют сами учащиеся): Определение «магию» числа π. Вычисление числа π и обоснование формулы длины окружности.

        Задачи урока: Как мы должны определить «магию» числа π? 

- Найти способ определения и получить формулу;

- Применить полученную формулу при решении задач.

План урока: ( При планировании учитель помогает и советует)

1. Введение (наглядное представление о длине окружности) – учитель ведет представление о длине окружности.
2. Практическая работа, поиск нужной формулы – коллективная или индивидуальная работа учащихся.
3. Историческая справка о числе π – подготовил один из учеников в виде домашнего задания
4. Вычисление числа π. Логическое обоснование формулы длины окружности
5. Задача, связанные с числом π

        Ход урока: Деятельность учителя:

Наглядное представление о длине окружности:    

Берется нить, распрямленная нить, имеющая форму окружности. Можно измерить длину нити и получить длину данной окружности. Но это на практике очень неудобно, а порою невозможно, в таком случае непосредственные измерения заменяют косвенными. Для этого достаточно знать радиус окружности или диаметр. Чтобы найти радиус или диаметр нужно вписать в окружность правильный n-угольник. Длина окружности мало отличается от периметра вписанного правильного многоугольника с большим числом сторон. Чем больше число сторон правильного многоугольника , тем меньше его периметр отличается от длины окружности

1. Практическая деятельность учащихся:

Каждому ученику раздается фигура в форме окружности и предлагается

1. Измерить диаметр                
2. Измерить длину окружности
3. Вычислить отношение длины окружности к диаметру

В тетрадях записывают результат.

Вывод:

  Теорема: Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же число для любых окружностей

Это и есть постоянное число π = 3.14159265358979323846264.

2. Историческая справка о числе π :

Проблеме π – около 4000 лет. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3.1416. В Вавилоне в V веке до н.э. пользовались числом 3.14, а в древне Греции числом 3.1462643. В индийский сутрах (V-VI веков) имеются правила, из которых вытекает, что π=3.008. Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Ариабхаты (V – VI в):        

            Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

        Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь.

        Когда поделишь результат на двадцать тысяч,

        Тогда откроется значение

        Длины окружности к двум радиусам отношенья;

Т.е. длина окружности 62832

       Диаметр                     20000

Архимед (111 век до н.э.) для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных многоугольников от 6-ти до 96-ти. Такой метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет.

В XV веке иранский математик аль - Каши нашел значение π с 16-ю верными знаками, рассмотрев вписанные и описанные многоугольники с 80035168 сторонами. Голландский вычислитель Рудольф ВАН - Цейлен, вычисляя π дошел до многоугольников с 6020 сторонами и получил 35 верных знаков для π. Обозначение π(первая буква в греческом слове “окружность” ) впервые встречается у английского математика Уильяма Джонса (1706 г), а после опубликования работы Леонардо Эйлера, вычислившего значение π с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение π становится общепринятым. Самой важной, можно сказать переломной датой  в истории числа π был 1882 год, когда немецкий математик Карл Линдерман окончательно установил таинственный характер этого числа : Число π не может быть корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, т.е. оно трансцендентно.

        Самым неутомимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенке (конец XIX в). Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, он ошибся в 502- м знаке, и все последующие цифры были неверны. Ошибку обнаружили лишь в 1945 году

3. Теперь докажем Теорему:

Дано:

l и l - окружности

R и R- радиусы данных окружностей

Доказать:

Доказательство:

Предположим, что

  и пусть      l = P    l = P

                         P = a * n = 2 R * sin

                                 P = a * n = 2 R* sin

получаем  - противоречие

Значит   

 - окружность.   π   l=2 πR – длина окружности

Закрепление :

   Найдите радиус окружности, если ее длина равна 4 см.

4. Решение задач

1. Найдите отношение периметра правильного вписанного 24 – угольника к диаметру описанной окружности радиуса 2 и сравните его с приближенным значением π
2. Из учебника Атанасяна Л.С. 7 – 9 классы.
3. С вала сняли слой стружки толщиной 0.5 см. Определите длину окружности вала для обработки, если длина окружности вала после обработки стала 28.25 см.

Домашняя работа.

Используемая литература:

1. Энциклопедия педагогических технологий А.К.Колеченко. Издательство КАРО Санкт-Петербург 2005;
2. Самостоятельные  и контрольные работы по геометрии 9 класс;
3. Приложение «Математика» 1 сентября 2001 №3;
4. Учебник Атанасян Л.С. 7 – 9 классы.

Длина окружности