Векторы в пространстве
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

“ Математика - это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями“. Юджин Пол Вигнер американский физик

Слайд 2

Шарада Век - тор Мой первый слог – почтенный срок, Коль прожит он недаром. Модель второго – на столе, Румяна, с пылу, с жару. Меня вы встретите везде – Такой я вездесущий. А имя громкое мое – Латинское «несущий».

Слайд 3

Векторы в пространстве

Слайд 4

Задачи урока: рассмотреть понятие вектора в пространстве, его длины, понятие коллинеарных и равных векторов; определить действия над векторами в пространстве на основе сравнительного анализа темы «Векторы» 9 класса и темы «Векторы в пространстве» 11 класса и установления закономерностей.

Слайд 6

С какой скоростью и по каком курсу должен лететь самолет, чтобы за 2 ч пролететь точно на север путь, равный 300 км, если во время полета дует северо-западный ветер со скоростью 27 км/ч под углом 30 0 к меридиану?

Слайд 7

Координаты вектора. А 1 (х 1 ; у 1 ; z 1 ) А 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) A 1 А 2 (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 )

Слайд 8

1. Найдите координаты вектора МК, если М(10; -4; 2), К(16; 2; -5) МК (16 – 10; 2 – (-4); -5 – 2) Ответ: МК ( 6; 6; -7)

Слайд 9

Длина вектора. (модуль, абсолютная величина) a (x; y; z) І a І = √ x² + y² + z²

Слайд 10

2. Найдите модуль вектора а ( - 5; 1; 2) ІаІ = √ 25 + 1 + 4 = √30 Ответ : √30

Слайд 11

Любая точка пространства является нулевым вектором 0 Начало нулевого вектора совпадает с его концом (Можно обозначать 0 или ММ) Длина нулевого вектора равна 0

Слайд 12

Сонаправленные векторы

Слайд 13

Противоположно направленные векторы

Слайд 14

Противоположные векторы Направления противоположны Длины равны

Слайд 15

Векторы равны, если: 1. они сонаправлены 2. их длины равны Равные векторы

Слайд 16

Равные векторы. Сколько равных векторов изображено на рисунках? 2 0

Слайд 17

3. При каком значении n векторы а(4; 2 n - 1; -1) и в(4; 9 – 3 n ; -1) равны? 2n – 1 = 9 – 3n 2n + 3n = 9 + 1 5n = 10 n = 2 Ответ: при n = 2

Слайд 18

Лови ошибку: BD и NK сонаправлены ВА и MN противоположны N В и NC сонаправлены K N D С В А M противоположнонаправлены В N

Слайд 19

Назовите векторы

Слайд 20

Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС

Слайд 21

+ А В + В С = АС С В А Правило треугольника

Слайд 22

Правило параллелограмма +

Слайд 23

Сложение нескольких векторов в пространстве

Слайд 24

Сложение нескольких векторов в пространстве Правило многоугольника

Слайд 25

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М

Слайд 26

Сумма векторов Если a (х 1 ; у 1 ; z 1 ), а b (х 2 ; у 2 ; z 2 ), то a + b = c , где c (х 1 +х 2 ; у 1 +у 2 ; z 1 + z 2 )

Слайд 27

5. Найдите сумму векторов а и b , если а(2; 3; -1), b (3; -2; 0) Решение: а + b = (2 + 3 ; 3 – 2; -1 + 0) = (5; 1; -1) Ответ: (5; 1; -1)

Слайд 28

Разность векторов

Слайд 29

Разность векторов Если АВ(х 1 ; у 1 ; z 1 ), а АС(х 2 ; у 2 ; z 2 ), то А В - А С = СВ, где CB (х 1 - х 2 ; у 1 - у 2 ; z 1 - z 2 )

Слайд 30

6. Найдите разность векторов а и b , если a (3; 7; 10), b (1; 9; -6 ) Решение: a – b = (3 – 1; 7 – 9; 10 + 6) = (2; -2; 16) Ответ: (2; -2; 16)

Слайд 31

Умножение вектора на число λ (x; y; z) = ( λ x; λ y; λ z) 3 (1; - 2 ; 0) = ( 3 ; - 6 ; 0)

Слайд 32

Умножение вектора на число -3 (1; - 2 ; 0) = ( -3 ; 6 ; 0)

Слайд 33

Умножение вектора на число ½ (1; - 2 ; 0) = ( ½ ; - 1 ; 0) -½ (1; - 2 ; 0) = ( -½ ; 1 ; 0)

Слайд 34

7 . Найдите координаты вектора с = 2а -3 b , если а(7; -3; 0) и b (4; 1; -2) Решение: 2а(14; -6; 0) 3 b (12; 3; -6) 2а - 3 b = (14 – 12; -6 -3; 0 – (-6)) = (2; -9; 6)

Слайд 35

8. Найдите абсолютную величину вектора 3а, если а(4; -4; 2) 3а (12; -12; 6) І3аІ = √144+ 144+ 36 = = √324 І3аІ = 18 а (4; -4; 2) ІаІ = √16+ 16+ 4 = √36 = 6 3 ІаІ = 3 ·6 = 18

Слайд 36

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или параллельных прямых .

Слайд 37

Признак коллинеарности векторов: a (х 1 ; у 1 ; z 1 ) b(x 2 ; y 2 ; z 2 ) х 1 у 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = =

Слайд 38

9. При каких значениях m и n векторы а(4; -1; n ) и с(8; m ; 2 ) будут коллинеарны? Составим пропорцию: -1 n 8 m 2 m = (-1 · 8) : 4 = -2; n = ( 4 · 2): 8 = 1; Ответ: при m = -2 ; n = 1.

Слайд 39

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны.

Слайд 40

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k

Слайд 41

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ 1 , О D и ОЕ компланарными? В B 1

Слайд 42

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными?

Слайд 43

А В C D 1 В 1 А 1 С 1 D

Слайд 44

Устный тест 1.Что называется вектором? а)любой отрезок б)отрезок, обозначенный двумя заглавными латинскими буквами в) отрезок с выбранным направлением 2. Какой вектор является нулевым? а)длина вектора равна 0 б)вектор лежит на прямой в)вектор обозначен одной буквой 3. Векторы коллинеарны, если… а)лежат на прямых б)лежат на параллельных прямых в)один из векторов нулевой 5. Векторы называются равными, если … а)их длины равны б)их модули равны и векторы направлены в одну сторону в)они отложены от одной точки 6. Векторы компланарны, если … а) они отложены от одной точки б) они отложены от одной точки и при этом лежат в одной плоскости в) они лежат в одной плоскости

Слайд 45

Математический диктант Даны векторы: а (-3; 0; 4) и b (2; 4; -4) Запишите: Координаты вектора 2a Найдите сумму векторов a + b Найдите разность векторов b – a Длину вектора b . При каком значении k и m вектор n ( k ; -3; m ) коллинеарен вектору b? Из векторов l (1; 1; -2), f (-1; -2; 2), s (2; -4; 4), t (-4; -4; 2) укажите векторы противоположнонаправленные с вектором b .

Слайд 46

Домашнее задание Выучить определения: Вектор Коллинеарные векторы Сонаправленные и противоположно направленные векторы Равные векторы Сумма и разность векторов Умножение вектора на число Задача. Найти значения m и n , при которых векторы а(3; m ; 6) и b (-6; 4; n ) коллинеарны

Слайд 47

закончи предложения: Я знаю умею могу

Слайд 48

СПАСИБО ЗА УРОК