Компланарные векторы
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Компланарные векторы Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" 1

Слайд 2

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны. 2

Слайд 3

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k 3

Слайд 4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ 1 , О D и ОЕ компланарными? В B 1 4

Слайд 5

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными? 5

Слайд 6

B C A 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 . Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D 6

Слайд 7

A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. 7

Слайд 8

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1 , СС 1 , ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 8

Слайд 9

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D , АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. 9

Слайд 10

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. 10

Слайд 11

№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. А D , CC 1 , А 1 B 1 Векторы не компланарны 11

Слайд 12

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности 12

Слайд 13

c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору . c c a 13

Слайд 14

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение. Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b 14

Слайд 15

Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М 15

Слайд 16

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C П О В Т О Р И М 16

Слайд 17

Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М 17

Слайд 18

A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = 18

Слайд 19

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y 19

Слайд 20

p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P 1 A P P 2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у O В Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc 20

Слайд 21

Если предположить, например, что , то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. 21

Слайд 22

D В A С B 1 C 1 D 1 №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1 22

Слайд 23

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1 23

Слайд 24

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA 24

Слайд 25

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1 25

Слайд 26

В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = BD 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA + BB 1 + BC 26

Слайд 27

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 . A 1 B 1 В D 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда 27

Слайд 28

В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 . A 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1 28