«Решение задач на построение методом подобных треугольников»
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Деятельность учителя

Деятельность ученика

длительность

Организационный момент

На экран   1 слайд

Тема урока: «Решение задач на построение методом подобных треугольников»

1 мин.

I Актуализация знаний учащихся

Устный опрос

1) - Что называется отношением двух отрезков?

- В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?

- Дайте определение подобных треугольников.

- Сформулируйте признаки подобия треугольников.

- Сформулируйте утверждение о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

- Найти BD? (см. рис.1)

        B

    A         C

D

Ответ: BD =

• Выразить из равенства DC

Ответ: BD²= AD DC

             DC =

2) – Постройте угол равный данному углу.

- Постройте медиану AM треугольника ABC

- Постройте прямую, параллельную стороне AB ΔABC и проходящую через точку C.

Ученики внимательно слушают вопросы и отвечают на них устно.

Слайд  2

Слайд 3

Практические задания на построения с помощью линейки и циркуля, ученики работают в тетрадях.

Слайд 4.

II Решение задач

- Сегодня на уроке мы будем решать задачи методом подобных треугольников.

- В чем заключается метод построения фигур методом подобия?

- Сколько и какие этапы включают в себя  задачи на построения?

Слайд 5.

- Ребята, сейчас все вместе разберем следующую задачу на построение.

Задача 1.

 Построить треугольник ABC по углу A , отношению сторон                     AB : AC= 2 : 1 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины C.

Решение (рис. 2 а) и б)):

Дано: A = , O – точка пересечения медиан, ΔABC, OC = m, AB:AC = 2 : 1.

Построить: ΔABC.( Слайд 7)

Построение: (Слайд 8)

а) Построить угол A, равный .

б) На сторонах угла A отложить отрезки AC1 и AB1так, что AB1 : AC1 = 2 : 1.

в) Построить точку пересечения медиан треугольник AB1C1  - точку O1.

г) На луче O1C1 отложить отрезок O1E, равный m.

д) Построить прямую EC, параллельную медиане AM1 треугольника AB1C1C = EC  AC1.

е) Через точку C провести прямую CB,параллельную C1B1, CBAB1 = B.

Треугольник ABC – искомый.

Доказательство: (Слайд 9)

а) В треугольнике ABC ∠A = .

б) AB : BC = 2 : 1, так как ΔABC  ΔAB1C1 по двум углам  так как AB1:AC1 = 2: 1 по построению ,то AB : AC = 2 : 1.

в) О – точка пересечения медиан треугольника ABC, так как если B1M1 = M1C1, то BM = MC (ΔAB1M1ΔABM,ΔAM1C1).

г) OC = m, так как O1E = m, а O1OCE параллелограмм по построению.

Треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи, следовательно, треугольник ABC – искомый.

Задача 2.

№ 588 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A и медиане  AM, если известно, что AB : AC = 2 : 3.  (Слайд 10)

Решение (рис.3 а) и б))

Дано: A = , AM = m, AB : AC = 2 : 3.

Построить: ΔABC (Слайд 11)

Построение: (Слайд 12)

а) Построить  ∠A =

б) На одной из сторон угла A отложить 2 одинаковых отрезка, а на другой 3 таких же отрезка, соединить FN

в) Найти середину NF

г) На луче AO  - отрезок AM = m

д) Через M строим прямую l параллельную NF

е) l  AF = C,  l  AN = B.

Треугольник ABC – искомый.

Доказательство: (Слайд 13)

а) ΔANF ΔABC, (∠A – общий ,∠ABC = ∠ANF при NF  BC и секущей AB)

б) NO = OF (по построению)

в) BM = MC , т.е. AM – медиана.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача  3.

№ 589 (из учебника)

Постройте треугольник ABC по углу A  и стороне BC, если известно, что AB : AC = 2 : 1. (Слайд №14)

Решение (рис.4 а) и б)):

Дано:

∠A = , BC = m,  AB : AC = 2 : 1

Построить: ΔABC (Слайд 15)

Построение: (Слайд 16)

а) ∠A =

б) AB1 = 2 PQ

в)  AC1= PQ

г) C1B2 = m

д) Через точку B2 проведем прямую, параллельную AC1 ,BB2|| AC1

е) Через точку B проведем прямую, параллельную С1B1., BC ||B2C1

Треугольник ABC  - искомый.

Доказательство: (Слайд 17)

Угол A равен данному углу по построению. Так как BC || B2C1 и B2B || C1C, то четырехугольник BCC1B2 – параллелограмм, и поэтому BC = C1B2, а значит, сторона BC треугольника ABC равна данному отрезку. Наконец, так как BC || B1C1, ТО  =  = . Таким образом, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.

Задача 4.

Постройте отрезок a= , если отрезки m  и n известны.

(Слайд 18)

Решение (рис. 5 а) и б)):

Дано:

См. рис. 5 (а)

Построить: отрезок a

 =  =  – m

В прямоугольном треугольнике ABC BD- высота, проведенная из вершины прямого угла, поэтому BD = , следовательно,

Если CK= m, то DK = /n – m. (Слайд 19)

Построение:

а) Построить ΔABD, в котором ∠D = 90°, BD = m, AD = n.

б) Провести прямую BC так, что B

в) На луче CA отложить отрезок CK, равный m

г) DK – искомый отрезок.

Задача не имеет решения, если m (Слайд 20)

- Сначала строят фигуру, подобную искомой, потом строят по заданным размерам саму искомую фигуру.

- Анализ задачи, построение, доказательство, исследование.

Слайд 6.

Рис.2

     m

        а)

                                   B

                      B1        M

                    K        M

            K1        O

                  O1      M1

A               C1                C            

                                  E

                 б)

Рис.3

   m

                a)

                          B

                 N             M

                        O

A

                           F         C

                     б)

Ученики решают самостоятельно. Кто решит первый, тот объясняет у доски.

Если ученик не решил № 588, то решают №589.

Если ученик справился с задачей №588, то решает задачу №4.

Рис. 4

                m

          а)

 P             Q

                       C

           C1

                                             B

A                          B1

                                         B2  

                      б)

Рис. 5.

   n

m

           а)

                                   A

                                   n          

   B                              D

                      m

                                   K

            C

б)

.

2мин.

1мин.

8мин.

 Итог урока

V Домашнее задание по выбору

1. Начертите отрезок  и с помощью циркуля и линейки разделите его в отношении 2 : 3.
2. Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.
3. Даны отрезки  m и n. Постройте отрезок y =

Слайд 21.