Теорема Пифагора и способы доказательства.
статья по геометрии (8 класс) на тему

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И СПОСОБЫ ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

          Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.  Эта  теорема  имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствуют о гигантском числе ее конкретных реализаций.

           Эта теорема была известна и в Древней Индии; об этом свидетельствуют следующие предложения,  содержащиеся в «Сутрах». В настоящее время известно более 150 доказательств теорема Пифагора.

           Сегодня теорема Пифагора применяется при решении задач и в строительстве. В школьной программе представлено простейшее доказательство этой теоремы, при этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине.

            Пифагор – великий учёный. Родился около 570 г. до н. э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери неизвестно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности.

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Простейшее доказательство этой теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников ( рис.1), чтобы убедиться  в справедливости теоремы. Например для треугольника АВС : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, содержат по два. Теорема доказана.

Древнекитайское доказательство.

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э., китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла «Тематика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений в книге «Математики» помещён чертёж (рис.2а),доказывающий теорему Пифагора.

Ключ к этому доказательству (рис.2) подобрать нетрудно.  В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 2б). если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушёванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.2в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с  одной стороны равна с2, а с другой – а2 +  b2 , т.е. с2  =  а2 +  b2

Теорема доказана.  Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис.2а), не используются.  По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно, если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис.2б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.2г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с2  =  а2 +  b2

Доказательство теоремы Пифагора.

Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами  а, b и гипотенузой с . Докажем, что

с2  =  а2 +  b2

 Построим квадрат  Е  со стороной а + b. На сторонах квадрата Е возьмём точки А,В,С,D так, чтобы отрезки АВ, ВС, СD, DА отсекали от квадрата Е прямоугольные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  с катетами а, b. Четырёхугольник АВСD обозначим буквой Р . Покажем , что Р – квадрат со стороной с. Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  равны треугольнику Т ( по двум сторонам и углу между ними). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе  треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырёхугольника прямые. Пусть  α и β - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, α + β = 90о. Угол  γ при вершине А четырёхугольника Р вместе с углами, равными α и β, составляет развёрнутый угол. Поэтому α + β + γ = 180о. И так как α + β = 90о , то γ = 90о. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырёхугольника Р прямые. Следовательно, четырёхугольник Р – квадрат со стороной с. Квадрат Е со стороной а + b слагается из квадрата Р со стороной с и четырёх треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(E) = S(Р) + 4S(Т).

Так как S(E) = (а + b)2  ; S(Р) = с2  и S(Т) = ½ (а b), то подставляя эти выражения в S(E) = S(Р) + 4S(Т) , получаем равенство (а + b)2  = с2 + 4 *(1/2) а b. Поскольку (а + b)2   = а2 +  b2+ +2 а b, то равенство (а + b)2  = с2 + 4 *(1/2) а b можно записать так : а2 +  b2 + 2 а b = с2 + 2аb

 Из равенства а2 +  b2 + 2 а b = с2 + 2аb следует , что с2  = а2 +  b2 , что и требовалось доказать.

                  В заключении хочется сказать о важности теоремы. Значение её состоит, прежде всего, в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако, хочется надеяться, что приведённые примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Использованная литература:

1. А.П.Кисилев, Элементарная геометрия, М., « Просвещение», 1980г.
2. Энциклопедия для детей, Математика, т.11, М., «Аванта», 2002г.
3. Г.И.Глейзер, История математики в школе, М., «Просвещение», 1982г.
4. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович, Математика, справочные материалы, М., «Просвещение», 1990г.