Геометрия.Теорема Морлея.
презентация к уроку по геометрии (9 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества. Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.
Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части .
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника Дано: Δ ABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний A С B X Y Z
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z Пусть А=3 , B =3 , C =3 , тогда 3 +3 +3 =180 . Тогда + + =60 . В треугольнике ABC сторона AC =2 RsinB , поэтому в треугольнике AZC AC =2 Rsin ³ , ZAC = , ZCA = . Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к Z =180 - - и α+ + =60 , то sin С= sin (180- - )= sin ( + )= sin (60- ), следовательно, согласно формуле, Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z s in3 =4sin sin(60+ )sin(60- ), поэтому AZ =8 Rsin sin sin (60+ ) Аналогично из треугольника ABY находим: AY =8 Rsin sin sin (60+ ) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY ²: Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+ ) и (60+ ). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180 . Третий угол этого треугольника равен . Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2 rsin (60+ ), 2 rsin (60+ ) и 2 rsin . Применим к нему теорему косинусов: Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z С окращ аем на 4 r ² , делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin ² . Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8R sin sin sin . В это выражение углы , и входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ – равносторонний. Доказательство :
Задача 1. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Доказать, что угол СОВ на 90 º больше, чем половина угла А.
Теорема доказана. Спасибо за внимание!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка урока геометрии "Теорема Пифагора"
Урок разработала для оказания методической помощи молодым учителям...
![](/sites/default/files/pictures/2014/01/06/picture-116892-1388994972.jpg)
Презентация по геометрии "Теорема Пифагора"
Предлагаю Вашему вниманию презентацию по геометрии"Теорема Пифагора"...
Элективный курс по геометрии "Теорема Пифагора"
Цели курса: - помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение геометрических задач с помощью теоремы Пифагора;- создать в совокупности с основными разде...
7 класс Геометрия Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Урок 1
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Урок 1...
![](/sites/default/files/pictures/2014/12/11/picture-254605-1418325869.jpg)
Урок по геометрии "Теорема Пифагора и ей обратная", 8 класс
Методическая разработка урока с применением различных видов работы с классом....
Урок геометрии "теорема Пифагора"
Сценарий урока геометрии в 8 классе, содержит краткую биографию пифагора, доказательство теоремы, анимацию доказательства теоремы....
![](/sites/default/files/pictures/2013/12/01/picture-358362-1385878190.jpg)
Конспект урока по геометрии "Теорема Пифагора" 8 класс
Урок по геометрии по теме: "Теорема Пифагора" 8 класс. Технология проблемного обучения.Урок изложения нового материала....