Скалярное произведение векотров
презентация к уроку по геометрии

Слайд 1

Скалярное произведение векторов Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9"

Слайд 2

1 2 9 6 12 11 10 8 7 4 5 3 a b Угол между векторами a b a b  =  Градусную меру этого угла обозначим буквой  Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Угол между векторами и равен  a b О А В

Слайд 3

Угол между векторами a b a b  a b  Градусная мера угла не зависит от выбора точки О, от которой откладывают векторы и a b  Обоснуем это с помощью рисунка. О 1 О 2 

Слайд 4

a d Найти углы между векторами. b 30 0 a b = c f 30 0 a c = b c = d f = d c = 120 0 90 0 180 0 0 0 a b d f Два вектора называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 0 . b c  b d  b f 

Слайд 5

№ 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами. 45 0 АВ, АС = А В С D О АВ, D А = O А, OB = А O , OC = O А, O С = А C , BD = А D , DB = 90 0 90 0 180 0 90 0 135 0 0 0

Слайд 6

№ 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О, диагональ В D равна стороне ромба. Найдите углы между векторами. 60 0 АВ, А D = А В С D О АВ, D А = B А, AD = OC , OD = А B , DC = 12 0 0 12 0 0 9 0 0 0 0 А B , CD = 18 0 0

Слайд 7

Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos ( ) a b

Слайд 8

a b = a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. a b Обратно: если , то векторы и перпендикулярны. a b = 0 a b a b = 0 a b   Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0

Слайд 9

a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. a b > 0    > 0 > 0 a b < 90 0 a b < 90 0

Слайд 10

a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. a b < 0    < 0 < 0 a b > 90 0 a b > 90 0

Слайд 11

a b = a b = a b cos 0 0 a b 1 a b = 0 0 Если a b a b = a b cos 180 0 a b -1 a b = 180 0 Если a b = – a b

Слайд 12

a a = a a cos a 0 0  1 a a = 0 0 a a = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается a a a a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2 = a 2

Слайд 13

b a c a b < 0 35 0 a c c b = 0 > 0 a a n a n > 0 < 0 c n = 0 b n < 0 Определите знак скалярного произведения.

Слайд 14

Скалярное произведение в физике A = F MN cos  F  N M A = F MN точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в

Слайд 15

А В С Найти скалярное произведение векторов MN MB = MN MB MN , MB = cos M N 4 2 1 4 = 2 2 2 cos 60 0 = = 2 2 MN CA = MN CA MN , CA = cos 2 4 cos 180 0 = = 8 (-1) = – 8 NM CB = NM CB NM , CB = cos 2 4 cos 60 0 = = 4 2 1 8 =

Слайд 16

А В С Найти скалярное произведение векторов AC CB = AC CB AC , CB = cos D 4 – 8 4 4 cos 120 0 = 2 1 16 (– ) = 16 (– cos 60 0 ) = = CB CB = CB 2 = CB 2 = 4 2 =16 AC BD = 0 AC BD  т.к. CB BC = – BC 2 = – BC 2 = – 4 2 = – 16 – BC BC =

Слайд 17

Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание С А В 30 0 9 0 0 АС, СВ = АВ, СА = 15 0 0 АВ, СВ = 6 0 0 C В C А = 0 C В СА  т.к. АВ ВА = – B А 2 = – B А 2 = – 6 2 = –3 6 – B А B А = 6 … … … … …

Слайд 18

Маленький тест 9 18 2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка 9 С А В 30 0 6 ВС ВА = ВС ВА ВС, ВА = cos 2 1 18 6 3 cos 60 0 = 60 0

Слайд 19

Скалярное произведение векторов и : АС ВА отрицательно; положительно. 1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка (2) С А В 30 0 6 равно нулю; отрицательно, т.к. угол между векторами тупой

Слайд 20

Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямой i j О 1 x y i j 1 – 1 0

Слайд 21

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен: i 1 – 1 0 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. i 2 = i 2 = 1 2 = 1

Слайд 22

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! Проверка (4) a b = 0 0 если a b Если a b = 12, a = 3 , b = 4 , то векторы и : a b сонаправлены; противоположно направлены. перпендикулярны; 3 4 ПОДУМАЙ! 12 a b = a b cos a b cos = 1 a b 12 = 3 4 cos a b

Слайд 23

ПОДУМАЙ! 3 2 1 ПОДУМАЙ! Проверка ( 4 ) x y = 180 0 если x y Если x y = – 2 0 , x = 4 , y = 5 , то векторы и : x y сонаправлены; противоположно направлены. перпендикулярны; 4 5 – 20 x y = x y cos x y cos = x y – 20 = 4 5 cos x y ВЕРНО! – 1

Слайд 24

3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка 50 0 60 0 120 0 m n = –15 , m = 5 , n = 6 . Найдите угол между векторами и , если m n Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой

Слайд 25

ПОДУМАЙ! 2 3 1 ПОДУМАЙ! Проверка ( 3 ) a b = 60 0 Если a b = 12, a = 3, b = 8, то угол между векторами и равен: a b 3 8 12 a b = a b cos a b cos = a b 12 = 3 8 cos a b ВЕРНО! 30 0 60 0 120 0 2 1