Методы решения задач по теме: "Расстояния в пространстве (10-11 классы)".
методическая разработка по геометрии (10, 11 класс)
Не каждый учитель может сам разработать методы решения задач и составить задачи, но каждый учитель в своей работе выступает в роли составителя дидактических материалов или методических пособий, систематизируя и перерабатывая информацию из различных источников. Данная методическая разработка создана для подготовки учащихся к ЕГЭ как на уроке, так и дистанционно. В пособии рассмотрены различные способы нахождения расстояний в прострвнстве.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Занятие № 1
Рассмотрим три типа стереометрических задач на нахождение расстояний в пространстве:
- нахождение расстояния от точки до прямой;
- нахождение расстояния от точки до плоскости;
- нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Расстояния в пространстве:
расстояние от точки до прямой в пространстве
Теория
Определение
Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.
Теорема о трёх перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Методы решения задач
При вычислении расстояния от точки до прямой необходимо:
- определить плоскость, в которой находятся данная точка и данная прямая;
- в этой плоскости построить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.
№ 1. Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)
Для нахождения расстояния от точки А до прямой а сначала находят основание А' перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. Если найти длину перпендикуляра АА' не удается непосредственно из условия задачи, то на прямой а выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС, в котором АА' является высотой. Для нахождения АА' используют теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов, формулы площади треугольника и др.
Задача № 1
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите
расстояние от точки А до прямой BD1.
Решение
- Расстояние от точки A до прямой BD1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую BD1.
Через точку А и прямую BD1 проводим плоскость АD1B.
АD1B – прямоугольный (, так как
D1D(ABC), D1А – наклонная, АD – проекция, АBAD, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах AB АD1.
Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1, проведенная к гипотенузе BD1.
- Длину отрезка AH можно найти различными способами.
Способ 1 (через площадь треугольника).
В треугольнике ABD1 АВ = 1 (по условию), AD1 = (как диагональ квадрата), BD1 =
(как диагональ куба).
Найдем площадь этого треугольника по формулам:
и
, откуда
AB ∙ AD1 = BD1 ∙ AH
=
.
Способ 2 (через подобие треугольников).
Треугольники BAD1 и ВНА подобны по двум углам:
,следовательно,
.
Откуда АН =
.
Способ 3 (через синус угла треугольника).
Из прямоугольных треугольников BAD1 и ВНА выразим синус угла В:
;
, откуда AH
.
Способ 4 (через теорему Пифагора).
Пусть
Из по теореме Пифагора находим
.
Из по теореме Пифагора находим
.
Откуда =
Тогда ,
.
Ответ:
Задача № 2
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.
Решение
- Расстояние от точки S до прямой BF есть длина перпендикуляра,
опущенного из точки S на прямую BF. Через точку S и прямую BF проводим плоскость FSB.
FSB – равнобедренный (SF = SB), следовательно искомый перпендикуляр – это высота и медиана SM равнобедренного треугольника FSB.
- AFEDCB – правильный шестиугольник, следовательно,
FB = 2r = FB =
,
.
- Из SMB (
по теореме Пифагора
, откуда
SM =
=
.
Ответ: .
№ 2. Метод параллельных прямых
Если искомый перпендикуляр выходит за пределы многогранника (точка А' находится вне участка прямой а, данного в задаче), то через точку А проводят прямую с, параллельную прямой а, и выбирают не ней более удобную точку С , из которой перпендикуляр опускаем на прямую а. Длина отрезка СС' будет равна искомому расстоянию от точки А до прямой а.
Задача № 3
В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АF1.
Решение
- Расстояние от точки B до прямой АF1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую АF1.
- О1 – центр верхнего основания призмы,
(ABO1F1 – параллелограмм, так как AB = F1O1 = 1 и AB
F1O1), следовательно, расстояние от точки В до прямой АF1 равно расстоянию от точки О1 до прямой АF1.
- Треугольник AF1O1 – равнобедренный: AF1 = AO1=
(AF1 = AO1 как равные наклонные на плоскость верхнего основания призмы и AF1 =
как диагональ боковой грани), O1F1 = 1.
- По теореме Пифагора из треугольника AF1K находим высоту AK треугольника AF1O1:
=
.
- Площадь треугольника AF1O1 найдем двумя способами:
и
, значит,
.
Ответ: .
Задача № 4
В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой А1F1.
Решение
- Расстояние от точки B до прямой А1F1 есть длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую А1F1.
, следовательно,
.
- BEF1A1 – равнобедренная трапеция (BA1 = EF1 как диагонали граней правильной шестиугольной призмы), A1F1 = 1 (по условию), BE = 2 (как диагональ правильного шестиугольника),
ρ (В; A1F1) = BK = A1M , где ВК и A1M– высоты трапеции.
- В BА1М (М = 900): ВА1 =
(диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы),
ВМ =
, следовательно, по теореме Пифагора А1М =
.
Ответ: .
№ 3. Координатный метод
Пусть ,
, тогда расстояние между точками А и В можно вычислить по формуле
.
- Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (для нахождения координат точек)
Равносторонний треугольник
AC = AB = BC = a
=
=
=
BO = BM; MO =
BM; BP =
BM; OP =
BM
BM AC; AM = MC
FC = =
= =
=
Квадрат
AB = DC = CD = DA = a
AC = BD = a;
BO = OD = AO = OC =
BP = PO = OK = KD = AF =FO = OE = EC =
Правильный шестиугольник
AB = BC = CD = DE = EF = FA = a
AO = BO = CO = DO = EO = DO = a
AD = BE = FC = 2a
AE = = a
Задача № 5
В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найти расстояние от точки D1 до прямой PQ, где P и Q – середины соответственно ребер A1B1 и ВС.
Решение
- Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке А.
Найдем координаты точек
.
Тогда
- Из треугольника D1PQ по теореме
косинусов , откуда
- По основному тригонометрическому тождеству получаем
.
- Пусть
, тогда
Ответ: .
Полезные ссылки
- Расстояние от точки до прямой. Решение задач с №17 по № 20. Презентация.
- Расстояние от точки до прямой. Решение задач № 16, 17. Презентация.
- Расстояние от точки до прямой. Решение задач с №16 по №20. Презентация.
- Расстояние от точки до прямой. Решение задач с №19 по №22. Презентация.
- Расстояние от точки до прямой. Решение задач .
- Онлайн тесты ЕГЭ
- Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
- В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010
Предварительный просмотр:
Занятие № 2
Расстояния в пространстве:
расстояние от точки до плоскости в пространстве
Теория
Определение
Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α называется расстоянием от точки А до плоскости α.
α; А α.
Определение
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости)
Если прямая, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема (признак перпендикулярности плоскостей)
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Методы решения задач
При вычислении расстояния от точки до плоскости необходимо выполнить следующее:
- доказать, что некоторая прямая, проходящая через данную точку А, перпендикулярна плоскости α;
- вычислить длину перпендикуляра от точки А до плоскости α.
1. Метод построения перпендикуляра (поэтапных вычислений)
Для нахождения расстояния от точки А до плоскости α находят перпендикуляр АА', опущенный из точки А на плоскость α.
Если нахождение длины перпендикуляра не вытекает непосредственно из условия задачи, то на плоскости α выбирают какую-нибудь прямую а, проходящую через точку А', и находят длину перпендикуляра АА', опущенного из точки А на прямую а. Для этого используют теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.
Задача № 1
В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1.
Решение
Построим перпендикуляр из точки А к плоскости BDA1.
- Точка О — точка пересечения диагоналей основания куба,
следовательно, О – середина отрезка BD и АО BD.
Прямая BD перпендикулярна прямой АО, лежащей в плоскости АОА1, значит, прямая BD перпендикулярна плоскости АОА1 (по определению).
- Плоскость BDA1 проходит через прямую BD, прямая BD
перпендикулярна плоскости АОА1, следовательно, плоскости BDA1 и АОА1 перпендикулярны (по признаку перпендикулярности плоскостей).
- Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость BDA1
есть отрезок АН, проведенный из точки А на линию пересечения плоскостей BDA1 и АОА1 - прямую А1О (по определению).
- АН – высота прямоугольного треугольника АОА1 (А1А
АО), в
котором АА1 = 1 (по условию), АО = (половина диагонали основания), ОА1 =
(по теореме Пифагора).
Высоту АН можно вычислить различными способами.
Способ 1 (через площади треугольников).
Для площади S этого треугольника АОА1 имеют место равенства
и
AOAA1 = A1 O AН,
Откуда находим АН = .
Способ 2 (через подобие треугольников).
Треугольники АОА1 и НОА подобны по двум углам (. Следовательно,
. Откуда находим АН =
.
Способ 3 (через синус угла).
Из прямоугольных треугольников АОА1 и НОА выразим синус угла АОА1:
sinАОА1 = ,
sinАОА1 = , откуда АН = АО sinАОН =
.
Способ 4 (через теорему Пифагора).
Пусть А
Из по теореме Пифагора
.
Из по теореме Пифагора
.
Откуда 1 =
Тогда ,
.
Ответ:
№ 2. Метод параллельных прямых и плоскостей
Если точка А' находится вне участка плоскости α, указанного в задаче, то через точку А проводят прямую с, параллельную плоскости α, и выбирают на ней более
удобную точку С, проекция которой С' принадлежит данному участку
плоскости α. Длина отрезка СС' равна искомому расстоянию от точки А до
плоскости α. Либо можно через точку А провести плоскость, параллельную
плоскости α, и найти расстояние от произвольной точки этой плоскости до
плоскости α.
Задача № 2
Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник ABC, АВ = АС = 5, ВС = 6. Высота призмы равна 3. Найдите расстояние от середины ребра
до плоскости
.
Решение
Пусть высота треугольника
, тогда
середина стороны
.
Прямая параллельна плоскости
, поэтому расстояния от точек
и
до плоскости
равны.
Плоскость пересекает плоскость
по прямой
, где D - середина отрезка BC. Прямая BC перпендикулярна плоскости
поскольку перпендикулярна прямым
и
. Следовательно, плоскости
и
перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки
до плоскости
равно высоте
прямоугольного треугольника
. Из условия следует, что
Отсюда
Ответ: 2,4
Задача № 3
В единичном кубе найти
расстояние от точки D до плоскости
Решение
- Так как плоскости
и
параллельны
() и D
, О1 – центр верхнего основания куба, то расстояние от точки D до плоскости
равно расстоянию от точки О1 до этой же плоскости.
- В плоскости АВ1С проведем прямую В1О, где О – центр нижнего
основания куба. Из точки О1 опустим перпендикуляр О1Е на эту прямую.
- Прямая О1Е лежит в плоскости ВВ1D1D, а прямая АС перпендикулярна
этой плоскости (АС BD), следовательно, О1Е
АС и О1Е
(
. Искомое расстояние – отрезок О1Е.
- В треугольнике ОВ1О1 (
О1 = 900) В1О1 =
(половина диагонали
квадрата), О1О = 1, ОВ1 =
. Откуда
.
Ответ: .
№ 3. Метод объемов
При нахождении расстояния от точки до плоскости искомое расстояние представляют как высоту подходящей треугольной пирамиды, так как при вычислении объема пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань. Объем пирамиды нужно выразить двумя способами по формуле , откуда
.
Задача № 4
В правильной треугольной призме
ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСА1.
Решение
= АО, где АО
.
- Рассмотрим пирамиду АА1СВ с основанием АВС и основанием ВА1С.
Найдем объем пирамиды АА1СВ двумя способами:
,
, где А1А и АО – высоты пирамиды.
- АВC – правильный, АА1 = 1, значит,
А1ВC – равнобедренный (А1В = А1С как диагонали граней призмы), , где
высота А1ВC,
=
,
AO =
.
Ответ: .
№ 4. Координатный метод
Расстояние от точки М ( до плоскости
, заданной уравнением
, можно вычислить по формуле
.
Для того, чтобы составить уравнение плоскости, необходимо знать координаты трех точек этой плоскости A (, B (
, C (
, не лежащих на одной прямой и подставить координаты этих точек в общее уравнение плоскости
. Затем решить систему уравнений
, найти числа
и составить уравнение плоскости.
- Соотношение отрезков в правильных многоугольниках (смотри выше)
Задача № 5
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости DEF1.
Решение
- Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек
,
- Пусть
– уравнение плоскости DEF1. Подставим координаты точек
D, E, F1 в это уравнение, решим полученную систему уравнений:
Откуда . Следовательно, уравнение плоскости имеет вид
.
- Применим формулу и вычислим расстояние от точки до плоскости
Ответ: .
Полезные ссылки
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задач с №7 по №11. Презентация.
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задач с №8 по №11. Презентация.
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задачи №13. Презентация.
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задач №1,2. Презентация.
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задач №10,11. Презентация.
- Расстояние от точки до плоскости, геометрические методы. Теория и задачи
- Расстояние от точки до плоскости. Решение задач С2.
- Онлайн тесты ЕГЭ
- Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
- В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010
Предварительный просмотр:
Занятие № 3
Расстояния в пространстве:
расстояние между скрещивающимися прямыми
Теория
Определение
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
(
)
Методы решения задач
При вычислении расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо::
- найти общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых а и b;
- вычислить длину общего перпендикуляра, используя теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, подобие треугольников, тригонометрические функции углов треугольника и др.
№ 1. Метод построения общего перпендикуляра (поэтапных вычислений).
В этом случае строится общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых а и b – отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный каждой из них, и находится его длина (см. рисунок выше).
Задача № 1
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти расстояние между прямыми BD и SA.
Решение
- Точка О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD (основания пирамиды). Точка О лежит на прямой BD.
Из точки О проведем перпендикуляр на прямую SA. Пусть Е – основание этого перпендикуляра.
- Прямая BD перпендикулярна плоскости AOS, так как BD
AО, АО
AOS. Значит, BD
ОЕ.
Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр скрещивающихся прямыx BD и SA.
AOS – прямоугольный (
), АО =
(половина диагонали квадрата), AS = 1 (по условию),
( по теореме Пифагора).
- Найдем ОЕ, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS:
и
, откуда АО
SO = AS
ОЕ,
ОЕ = 0,5
Ответ: 0,5.
№ 2. Метод параллельных прямой и плоскости
Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью. Значит, через прямую b можно провести плоскость β, параллельно другой прямой a и найти расстояние от прямой а до плоскости β.
Задача № 2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.
Решение
1) Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD.
2) Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF.
В треугольнике SEF имеем: EF = 1,
SE = SF = , высота SO равна
.
Для площади S треугольника SEF имеют место равенства
и
, откуда EF ∙ SO = SE ∙ FH,
получаем FH = .
Ответ: .
№ 3. Метод параллельных плоскостей
Если данные скрещивающиеся прямые а и b лежат соответственно в параллельных плоскостях α и β, то расстояние между прямыми а и b равно расстоянию между плоскостями α и β. В этом случае длина перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки С плоскости α на плоскость β, будет равна расстоянию между прямыми а и b.
Значит, можно построить через каждую из двух прямых аb плоскость, параллельную другой прямой и найти расстояние между этими плоскостями.
Определение
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.
Задача № 3
В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС1.
Решение
1) Плоскости АВ1D1 и BDC1, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими
прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.
2) Диагональ СА1 куба перпендикулярна
этим плоскостям. Обозначим Е и F точки
пересечения диагонали СА1
соответственно с плоскостями АВ1D1 и
BDC1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВ1 и ВС1.
3) Пусть О и О1 соответственно центры граней ABCD и A1B1C1D1 куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что О1Е — средняя линия треугольника А1С1F и, значит, А1Е = EF. Таким образом, FC = EF = A1E, следовательно, EF составляет одну треть диагонали СА1, т. е. EF =
Ответ: .
№ 4. Метод объемов
Расстояние между скрещивающимися
прямыми можно найти по формуле объема
тетраэдра (треугольной пирамиды):
откуда
,
где AB = a, CD = b – скрещивающиеся ребра
тетраэдра ABCD,
d – расстояние между ними,
– угол между AB и CD.
Задача 4
В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми А
и
.
Решение
- Найдем синус угла
между данными прямыми.
Проведем , углом между скрещивающимися прямыми будет угол между прямыми ВМ и ВС1.
Найдем косинус угла из треугольника
по теореме косинусов:
,
где ВМ = АВ1 = (диагональ квадрата АА1В1В), ВС1 =
(гипотенуза прямоугольного треугольника ВСС1), С1М = 1.
Тогда (по основному тригонометрическому тождеству).
- Расстояние h от точки
до прямой
равно
(находим из правильного шестиугольника в основании).
- Объём пирамиды
с основанием
равен V =
.
- Расстояние между прямыми
и
равно
Ответ: .
Полезные ссылки
- Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач с № 1 по №7. Презентация.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Теория и задачи №1.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Теория и задачи №2.
- Онлайн тесты ЕГЭ
- Расстояния и углы в пространстве. Газета Математика, с.14.
- В. А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задачи С2. Геометрия. Стереометрия. Под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. Разработано МИОО. Москва. Издательство МЦНМО, 2010
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 26. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.Теория. Ключевые методы решения задач.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации (ГИА) и единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, ...
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/08/picture-379952-1391880360.jpg)
Решение задач по теме "Расстояние от точки до плоскости"
Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме....
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/08/picture-379952-1391880360.jpg)
Решение задач по теме "Расстояние от точки до прямой"
Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме....
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/08/picture-379952-1391880360.jpg)
Решение задач по теме "Расстояние между скрещивающимися прямыми"
Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме....
Методы решения задач по теме: "Углы в пространстве (10-11 классы)."
Каждый учитель в своей работе выступает в роли составителя сборника задач или разработчика методических материалов. При этом учитель систематизирует и дорабатывает информацию, опубликованную в различн...
![](/sites/default/files/pictures/2013/07/17/picture-274618-1374085719.jpg)
Решение задач по теме "Векторы в пространстве" для 10 класса на интерактивной доске
Решение задач по теме "Векторы в пространстве" для 10 класса на интерактивной доске...